初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）（解析版）

2/14专题拓展：一元二次方程的根的分布问题类型1：相对于1个值k角度1：两根均小于k【例1】关于x的方程x2+2x+m+1=0有两个负根，求实数m【答案】−1,0【详解】令fx=x根据题意，作函数fx的图象：则Δ=−4m≥0−1<0所以实数m的范围是−1,0；【方法总结】根据相对于1个值k之两根均小于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0−4、解不等式组即可得解.【变式1-1】已知方程x2−2ax+a2−4=0的两不相等实【答案】a【详解】令fx=x根据题意，作函数fx的图象：则Δ=−2a2角度2：一根小于k，一根大于k【例2】已知方程x2−2ax+a2−4=0【答案】0,4【详解】设fx根据题意，作函数fx的图象：则满足f2=a2−4a<0，解得0<a<4【方法总结】根据相对于1个值k之一根小于k，一根大于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式即可得解.【变式2-1】关于x的方程x2+2x+m+1=0，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m【答案】−【详解】令fx=x2+2x+m+1综上，实数m的范围是−∞角度3：两根均大于k【例3】已知方程x2+2mx−m+12=0的两根都大于−2，则实数m的取值范围是（A．m<−4 B．−5<m<−4C．m≤−4 D．m>4或m<−4【答案】C【详解】令fx因为方程x2+2mx−m+12=0的两根都大于−2所以由题意可得Δ=2m2【方法总结】根据相对于1个值k之两根均大于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0−4、解不等式组即可得解.【变式3-1】关于x的方程x2+m−4x【答案】−7<【详解】令fx因为方程x2+m−4则Δ=⇒m类型2：相对于2个值m,n（m<n）角度1：一根小于m，一根∈(m,n)【例4】已知关于x的方程ax2−2a+1x+a−1=0，方程一根小于1，【答案】a>【详解】f(1)=a−2(a+1)+a−1=−3<0方程一根小于1，一根大于1且小于2，则fx大致图象所以f1<0,f所以当a>5时，方程一根小于1，一根大于1且小于2【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：f4、解不等式组即可得解.角度2：一根∈(m,n)，一根大于n【例5】方程7x2−a+13x+a2−a−2=0的一个根在区间【答案】−2,−1【详解】令fx因为程7x2−a+13x+a2−a−2=0所以f0=a2−a−2>0所以实数a的取值范围为−2,−1∪【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根∈(m,n)，一根大于n的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：f4、解不等式组即可得解.角度3：有且只有一根∈(m,n)【例6】若关于x的方程x2−2ax+a+2=0(a∈R)有且只有一个根在区间1,4上，则【答案】18【详解】令fx当两个根相等时，∆=−2a2当a=−1时，x2+2x+1当a=2时，x2−4x+当两个根不相等时，因为程x2−2ax+a+2=0有且只有一个根在区间1,4上，所以当a=187时，此时方程为x2−367x+327当a=3时，此时方程为x2−6x+5=0，根为x=1和x=5，1∉1所以实数a的取值范围为187【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之有且只有一根∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：或或3、控制条件：两根不相等：fmfn<04、解不等式组即可得解.角度4：两个根均∈(m,n)【例7】若关于x的方程x2−2ax+a+2=0(a∈R)的两个根x1,x2都在区间【答案】2,【详解】设f(x)=x2−2ax+a+2，由题可知，若x1,x则需满足f1>0,f4>0,故答案为：2,18【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之两个根均∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0f4、解不等式组即可得解.角度5：一根小于m，一根大于n【例8】关于x的方程x2+(m−3)x+m=0一个根小于2，一个根大于4，求【答案】(−【详解】设f(x)=x由方程x2+(m−3)x+m=0的一个根小于2，一个根大于4，作则满足f2=3m−2<0f4=5m+4<0，解得m<−【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根大于n的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.类型3：相对于三个值m,n,k（m<n<k）角度1：一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)【例9】关于x的方程x2−2m−1x+m−1=0的两个根分别位于区间0,1，1,2内，则实数【答案】2,【详解】令fx方程x2−2m−1x+m−1=0的两根分别在区间0,1和1,2则f0>0f1【方法总结】根据相对于三个值m,n,k（m<n<k）之一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.【变式9-1】方程4x2+(m−2)x+m−5=0的一根在区间−1,0内，另一根在区间0 【答案】−【详解】∵方程4x∴函数fx另一个在区间(0，2)内，则f(−1)=4−(m−2)+m−5>0f(0)=m−5<0f(2)=16+2(m−2)+m−5>0，解得∴m的取值范围是−7类型4：相对于4个值m,n,k,t（m<n<k<t）角度1：一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)【例10】方程x2−2mx+m2−1=0的一根在1,2内，另一根在3,4【答案】2,3【详解】设f(x)=x由题意得f1>0实数m的取值范围是2,3.【方法总结】根据相对于4个值m,n,k,t（m<n<k<t）之一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.【变式10-1】方程x2+m−2x+5−m=0的一根在区间2,3内，另一根在区间3,4内，则【答案】−【详解】令fx由二次函数根的分布性质，若一根在区间2,3内，另一根在区间3,4内，只需f2=m+5>0f3=2m+8<0f4一、单选题1．一元二次方程axA．a<0 B．a>0 C．a<−1 D．a>1【答案】C【详解】∵一元二次方程ax∴Δ=16−12a>03a故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a<0}的真子集，结合选项可知选C.2．若函数f(x)=3ax−2a+1在区间(−1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是（

）A．a>15或a<−1 B．a>15 C．【答案】A【详解】当a=0时，fx=1，在当a≠0时，fx函数f(x)=3ax−2a+1在区间(−1,1)上存在零点的充要条件为f(−1)f1即(−3a−2a+1)(3a−2a+1)<0，即(5a−1)(a+1)>0．解得a>15或3．关于x的方程x2+a−2x+5−a=0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数A．{a|a<−5或a>−4} B．aC．aa<−5 D．【答案】C【详解】设f(x)=x则由题意可知f(2)<0f(3)<0Δ=(a−2)2−4(5−a)>0故实数a的取值范围是{a|a<−5}.4．“m>2”是“一元二次方程x2−mx+m+1=0有两个正实根”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】设一元二次方程x2−mx+m+1=0的两个正实根分别为x1由题意可得Δ=m2因为mm>2m所以，“m>2”是“一元二次方程x25．若关于x的方程mx2−mx+4=0恰有一根在[−1,1]上，则mA．m≤−2 B．m≥−2 C．−2<m≤16 D．m≤−2或m=16【答案】D【详解】当m=0时,不符合题意，所以m≠0，记f(x)=mx2−mx+4,f(x)对称轴为①当m>0时，Δ=m2②当m<0时，f(−1)=2m+4≤0，所以m≤−2，综上m≤−2或m=16．6．若方程ax2−4x+1=0至少有一个正根，则实数aA．a≤0 B．a<0 C．a≤4 D．0≤a≤4【答案】C【详解】若a=0，则方程为−4x+1=0，解得x=1设fx若a<0，因为f0所以函数fx与x所以方程ax若a>0，因为f0所以若方程ax则函数fx的图象与x所以Δ=16−4a≥02a>0综上，实数a的取值范围是a≤4，二、多选题7．已知一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1，x2，且0<xA．−4 B．−4.5 C．−4.6 D．−5【答案】ABC【详解】因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1且0<x1<2<则由题意可得f(0)>0f(2)<0f(4)>0解得−198．已知关于x的方程mx2+A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1或m<−3C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0【答案】BC【详解】对于A:当m=1时，方程为：x2−2x+1=0解得：对于B：若方程mx2+m−3x+m=0无实数根，则m≠0对于C：方程有两个正根等价于m≠0Δ≥0−对于D：当m=3时，方程为：x29．已知m为任意实数，关于x的方程x2−2x+m−1=0，则（A．当m≤2时，方程有两实数根B．当m<1时，方程有两异号的实数根C．当m=4时，方程有两实数根x1，x2D．若方程有两个实数根x1，x2【答案】AB【详解】对于A：因为Δ=−22−4m−1所以方程有两实数根，故A正确；对于B：若方程有两异号的实数根，则Δ=8−4m>0m−1<0，解得即当m<1时，方程有两异号的实数根，故B正确；对于C：当m=4时Δ=对于D：若方程有两个实数根x1，x2，则Δ=8−4m≥0当m=1时，方程x2−2x=0的两根x1=2，三、填空题10．关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,【答案】−【详解】由题意可知a≠0，由ax2+设fx则f1=11+2所以a的取值范围为−2故答案为：−211.方程7x2−a+13x+a2−a−2=0的一个根在区间【答案】−2,−1【详解】解：令fx因为程7x2−a+13x+所以f0即a2−a−2>07−a−13+a2所以实数a的取值范围为−2,−1∪故答案为：−2,−1∪12．关于x的方程x2−a−1x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，则实数【答案】(5,【详解】关于x的方程x2−a−1x+4=0在区间则有Δ=a−12所以实数a的取值范围是(5,16故答案为：(5,四、解答题13．已知关于x的方程x2(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于−1且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？【答案】(1)aa<1；(2)a−3<a<0；【详解】（1）二次函数y=x故方程x2则12−2+a<0，解得a<1，所以a的取值范围是（2）方程x2−2x+a=0的一个根大于作满足题意的二次函数y=x由图知，1+2+a>01−2+a<0解得−3<a<0．所以a的取值范围是a−3<a<0（3）方程x2则Δ=4−4a≥0a>0，解得0<a≤1，所以a的取值范围是14．关于x的方程x2+(m−3)x+m=0满足下列条件，求(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(−2,0)内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)0<m≤1，(2)m<1，(3)−45<m<0，