初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14专题拓展：一元二次方程的根的分布问题类型1：相对于1个值k角度1：两根均小于k【例1】关于x的方程x2+2x+m+1=0有两个负根，求实数m【方法总结】根据相对于1个值k之两根均小于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0−4、解不等式组即可得解.【变式1-1】已知方程x2−2ax+a2−4=0的两不相等实角度2：一根小于k，一根大于k【例2】已知方程x2−2ax+a2−4=0【方法总结】根据相对于1个值k之一根小于k，一根大于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式即可得解.【变式2-1】关于x的方程x2+2x+m+1=0，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m角度3：两根均大于k【例3】已知方程x2+2mx−m+12=0的两根都大于−2，则实数m的取值范围是（A．m<−4 B．−5<m<−4C．m≤−4 D．m>4或m<−4【方法总结】根据相对于1个值k之两根均大于k的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0−4、解不等式组即可得解.【变式3-1】关于x的方程x2+m−4x类型2：相对于2个值m,n（m<n）角度1：一根小于m，一根∈(m,n)【例4】已知关于x的方程ax2−2a+1x+a−1=0，方程一根小于1，【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：f4、解不等式组即可得解.角度2：一根∈(m,n)，一根大于n【例5】方程7x2−a+13x+a2−a−2=0的一个根在区间【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根∈(m,n)，一根大于n的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：f4、解不等式组即可得解.角度3：有且只有一根∈(m,n)【例6】若关于x的方程x2−2ax+a+2=0(a∈R)有且只有一个根在区间1,4上，则【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之有且只有一根∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：或或3、控制条件：两根不相等：fmfn<04、解不等式组即可得解.角度4：两个根均∈(m,n)【例7】若关于x的方程x2−2ax+a+2=0(a∈R)的两个根x1,x2都在区间【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之两个根均∈(m,n)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：两根可相等：Δ≥0f4、解不等式组即可得解.角度5：一根小于m，一根大于n【例8】关于x的方程x2+(m−3)x+m=0一个根小于2，一个根大于4，求【方法总结】根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根大于n的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.类型3：相对于三个值m,n,k（m<n<k）角度1：一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)【例9】关于x的方程x2−2m−1x+m−1=0的两个根分别位于区间0,1，1,2内，则实数【方法总结】根据相对于三个值m,n,k（m<n<k）之一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.【变式9-1】方程4x2+(m−2)x+m−5=0的一根在区间−1,0内，另一根在区间0 类型4：相对于4个值m,n,k,t（m<n<k<t）角度1：一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)【例10】方程x2−2mx+m2−1=0的一根在1,2内，另一根在3,4【方法总结】根据相对于4个值m,n,k,t（m<n<k<t）之一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)的根的分布求参数范围：1、令fx=a2、作图：3、控制条件：f4、解不等式组即可得解.【变式10-1】方程x2+m−2x+5−m=0的一根在区间2,3内，另一根在区间3,4内，则一、单选题1．一元二次方程axA．a<0 B．a>0 C．a<−1 D．a>12．若函数f(x)=3ax−2a+1在区间(−1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是（

）A．a>15或a<−1 B．a>15 C．3．关于x的方程x2+a−2x+5−a=0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数A．{a|a<−5或a>−4} B．aC．aa<−5 D．4．“m>2”是“一元二次方程x2−mx+m+1=0有两个正实根”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若关于x的方程mx2−mx+4=0恰有一根在[−1,1]上，则mA．m≤−2 B．m≥−2 C．−2<m≤16 D．m≤−2或m=166．若方程ax2−4x+1=0至少有一个正根，则实数aA．a≤0 B．a<0 C．a≤4 D．0≤a≤4二、多选题7．已知一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1，x2，且0<xA．−4 B．−4.5 C．−4.6 D．−58．已知关于x的方程mx2+A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1或m<−3C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．当m=3时，方程的两个实数根之和为09．已知m为任意实数，关于x的方程x2−2x+m−1=0，则（A．当m≤2时，方程有两实数根B．当m<1时，方程有两异号的实数根C．当m=4时，方程有两实数根x1，x2D．若方程有两个实数根x1，x2三、填空题10．关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,11.方程7x2−a+13x+a2−a−2=0的一个根在区间12．关于x的方程x2−a−1x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，则实数四、解答题13．已知关于x的方程x2(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于−1且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当