1.1.1空间向量及其线性运算（题型专练）解析版

1/101.1.1空间向量及其线性运算题型一：空间向量相关概念辨析1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）零向量没有方向()（2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量()（3）空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向()（4）若a=−b，则（5）若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同()【答案】错误错误错误正确错误【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可.【详解】（1）错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的.（2）错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点，不能确定向量的方向.（3）错误.当λ>0时，λa与向量a的方向相同；当λ<0时，λa与向量（4）正确.由相反向量的概念可知正确.（5）错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定.故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误.2．下列命题中为真命题的是（

）A．向量AB与BA的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.【详解】选项A：因为空间向量AB与BA互为相反向量，所以空间向量AB与BA的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB与BA的模相等，所以D错误；故选：A.3．给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足其中假命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.【详解】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.4．下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量a,b平行，则B．若向量a,b所在直线是异面直线，则C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面【答案】D【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答.【详解】向量a,b平行，可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量AB，AC，AD不共面，D正确.故选：D题型二：空间向量的线性运算1．（多选）已知正方体ABCD−A1B1CA．AB+AD+C．AB+BC+【答案】ABC【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.【详解】选项A中，AB+选项B中，AA1+选项C中，AB+选项D中，AB+故选：ABC.2．已知A、B、C、D为空间中任意四点，化简AB−CD【答案】0【分析】利用空间向量的加法法则可求得结果.【详解】AB故答案为：0.【点睛】本题考查利用空间向量的加法法则化简计算，属于基础题.3．化简12(【答案】5【分析】利用空间向量的数乘运算法则即可得解.【详解】1=1故答案为：564．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12A．AD B．FA C．AF D．EF【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.【详解】因为BC−BD=所以AD+故选：C5．在三棱锥A−BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB+12【答案】0【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.【详解】延长DE交边BC于点F，则DE=2EF，则有AB+12故AB+

故答案为：0.6．已知正方体ABCD−A1BA．OA−OD与B．OB−OC与C．OA+OB+D．OA1−【答案】C【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可【详解】OA所以OA−OB−OA+OA故选：C题型三：空间向量共线求参1．若空间非零向量e1,e2不共线，则使2ke1−【答案】－1【分析】根据空间共线向量可得2ke【详解】由题意知，存在实数λ使得2ke即λ=2k2λ(k+1)=−1，解得λ=−1故答案为：−2．已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量共线设AB=xBC，从而得到方程组，求出【详解】因为A,B,C三点共线，所以AB=x即e1+e2+所以λ+μ=1+1=2.故选：C3．已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2A．−3 B．−13 C．3 【答案】C【分析】由m∥n，得到关于x，【详解】m=a+2因为m∥n，所以x+31所以xy故选：C题型四：空间向量共面定理及推论求参1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM=xOA+1【答案】1【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得x.【详解】由于M∈平面ABC，所以x+13+故答案为：12．若空间四点M､A､B､C共面且OA+2OB+3OC=kA．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】化简可得OM=1k【详解】依题意OM=由四点共面,则系数和1k+2故选：D3．已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM=3OA−OB+λOC确定的点M与A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】B【分析】由向量共面定理可知3−1+λ=1，进而可得解.【详解】由点M与A,B,C共面，且OM=3可得3−1+λ=1，解得：λ=−1，故选：B.4．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD=6PA−4PB+λA．2 B．−2 C．1 D．−1【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】BD=6PA整理得PD由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6−3+λ=1，解之得λ=−2故选：B题型一：线性运算的线性表示1．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1A．AM=−12C．AM=12【答案】C【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体ABCD−A1B1C1D所以M为A1C1所以AM=A故选：C.2．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为A．−12,12,1 B．1【答案】C【分析】由已知，根据题意，将C1M利用线性运算表示成AB,【详解】由已知，在平行六面体ABCD−A1B1C1D所以C=−=−所以x,y,z=故选：C.3．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G满足MG=2GN，设OA=a，OB=b，A．13a+13b+13【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量OG化为关于OA，OB，OC，即可整理得出答案.【详解】OG==1=1=1=1故选：B.4．在平行六面体ABCD−A′B′C′DA．52 B．2 C．32 【答案】A【解析】根据空间向量的线性运算，得出AC′→=AC【详解】解：由空间向量的线性运算，得AC由题可知，AC则x=1,y=1,2z=1，所以y=1,z=1∴x+y+z=1+1+1故选：A.【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.5．如图所示,在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,A．12a+C．15a−【答案】D【分析】在平行六面体ABCD−A1B【详解】连接C∵AN=可得:C∵A∴C又∵C∴MN=−=∴MN故选:D.题型二：判断空间向量共面1．若a,b,A．a+b，a−b，b B．aC．a+2b，a−2b，a+c 【答案】C【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.【详解】因为a,b,由于b=12a+b−由于a−b+c=a−由于4b−2a=−2a−2b对于C，不存在实数λ,μ，使得a+2b=λa−2b+μ故选：C2．若{a,bA．c+b，b，c−b B．aC．a+c，a−c，b D．a【答案】C【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为b=12(c+b对于B，因为a=12(a+b对于C，假设a+c，a−c，b三个向量共面，则存在实数所以a,因为{a,b所以假设错误，所以a+c，a−对于D，因为a+b+c=(a+故选：C3．若a,b,A．a，b−c，b−a−c C．a−2b，b+c，a+2c 【答案】B【分析】根据共面向量定理，逐项考查每个选项中三个向量是否共面即可.【详解】对于A,因为a=对于B,

假设a+b，a−2则∃λ,μ∈R，使得a故有λ=1−2λ+μ=1即a+b，a−2对于C,a−2对于D,a−故选：B4．若a,b,A．a−3b，a+2b−c，5aC．a−3b，a+2b−c，5a【答案】C【分析】若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，方程组有解.若无解则不共面.【详解】已知a,b,c构成空间的一个基底，a,选项A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对x,y，使5a则5a−3b则由空间向量基本定理得，x+y=5−3x+2y=−3所以a−3选项B，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对x,y，使5a则5a−4b则由空间向量基本定理得，x+y=5−3x+2y=−4所以a−3选项C，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对x,y，使5a则5a−5b则由空间向量基本定理得，x+y=5−3x+2y=−5−y=−2解得，即：3a所以a−3选项D，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对x,y，使4a则4a−5b则由空间向量基本定理得，x+y=4−3x+2y=−5所以a−3故选：C.题型三：共面定理证明四点共面1．对于空间一点O和不共线三点A,B,C，且有2OP=−OAA．O,A,B,C四点共面 B．P,A,B,C四点共面C．O,P,B,C四点共面 D．O,P,A,B,C五点共面【答案】B【分析】根据题意，化简得到BP=2PC+AP，得到【详解】由2OP=−OA即BP=2PC+又因为三个向量有公共点P，所以P,A,B,C四点共面.故选：B.2．如图，已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，【答案】证明见解析【分析】取ED′=a，EF=b，EH=【详解】取ED′=a，则HG===所以HG与b,c共面，又EF=所以HG与EF、EH共面，所以E,F,G,H四点共面．3．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿OB,OC折起使得A与A1重合，如图②，其中D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC(1)用OA,OB,(2)证明：D,E,F,G四点共面．【答案】(1)DE=−12(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；（2）根据空间向量的基本运算，证明DF=【详解】（1）因为D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点，所以DE=12（2）因为DF=DG+所以DF=DG+1．如图，在四面体OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c，G为A．16a−C．16a−【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】如图，连接OH，连接OG并延长交AB于点D，则D为AB中点，且OG=∴OG=∵H为AC的中点，∴OH=∴GH=故选：A.2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若AB=CD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与B．若AD=1C．若Q为△ABC的重心，则PQD．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面【答案】BC【分析】根据向量相等不能得出线段相等判断A选项，根据向量减法得出判断B选项，根据重心性质得出向量关系判断C选项，应用特殊向量判断共面判断D选项.【详解】在平行四边形ABDC中，满足AB=CD，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与因为AD=1