1.3.1空间直角坐标系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 - 副本

空间直角坐标系课程标准课时目标1.了解空间直角坐标系．2.会用空间直角坐标系刻画点的位置．1.了解空间直角坐标系的建系方式．(直观想象)2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(直观想象)3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(直观想象)导学问题1数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？问题2直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？问题3如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1．空间直角坐标系(1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以（）的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．(2)有关概念：坐标轴（）轴、（）轴、（）轴原点点（）坐标向量（），（），（）坐标平面（）平面、（）平面和（）平面，它们把空间分成（）个部分(3)建系的常用规则．①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向（）的正方向，食指指向（）的正方向，如果中指指向____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．思考：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0).y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0).z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z).2．点的坐标和向量的坐标(1)在空间直角坐标系中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝（），则（）叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作（），（）叫做点A的横坐标，()叫做点A的纵坐标，()叫做点A的竖坐标．(2)给定向量，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝，则＝x＋y＋z，有序实数组(x，y，z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作().教材解析：1．(x，y，z)的双重意义(x，y，z)既可以表示向量，也可以表示点，要根据问题的情境辨别此符号的含义．2．确定空间任意一点P的坐标的方法过点P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于三个点，设这三个点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点P的坐标为(x，y，z).思考：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标也为(x，y，z).自我检测1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1，0，0)B．(1，0，1)C．(1，1，1) D．(1，1，0)2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3)) D．(1，eq\r(2)，0)3．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(2，3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称C．关于xOy平面对称 D．关于坐标原点对称4．若向量，，为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且设＝2－＋3，则向量的坐标为______．5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为________，的坐标为________．类型一求空间点的坐标(直观想象)典例1．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标．2．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标．解题策略：题1建系方法虽然计算量小，但是多数顶点不在坐标轴上，导致求点的坐标较复杂；题2建系方法虽然计算量大，但是顶点都在坐标轴上，较容易写出点的坐标．跟踪训练：1，如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．2.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标．类型二空间点的对称问题(直观想象)1．若点P(－4，－2，3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7B．－7C．－1D．12．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称 D．以上都不对3．点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．解题策略：1．在空间直角坐标系中，任意一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，－b，－c)y轴(－a，b，－c)z轴(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐标原点(－a，－b，－c)2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2)，eq\f(z1＋z2,2)).微提醒：求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”类型三空间向量的坐标(直观想象)典例在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．解题策略：用坐标表示空间向量的方法步骤跟踪训练：1.棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：(1)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))；(2)e