【数学】山东济南市2025-2026学年高二下学期学习质量检测(开学考)试题(解析版)

山东济南市2025-2026学年高二下学期学习质量检测（开学考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数在处可导，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有，有.故选：B2.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选：C.3.若，则的值为（）A.14 B.84 C.34 D.204【答案】C【解析】因为，所以或，解得或，因为，所以，可得，所以.故选：C4.若随机变量的分布如下表：123P0.20.12m0.25m则的值为（）A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.85【答案】B【解析】，解得；，故选：B.5.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令函数，则，函数在上单调递增，则，即，所以.故选：B6.已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，则，由时，，故，即在上单调递减，又为偶函数，则，则也是定义在的偶函数，由，则，则当时，，且，当时，，且，令，则有或，对，解得；对，解得，故的解集为.故选：A.7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（）A.第二天去甲影院的概率为0.54B.第二天去乙影院的概率为0.46C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为【答案】D【解析】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院，可得，，，，A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C错误；D：，故D正确；故选：D8.已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，令，则，由得；得；则在单调递增，在上单调递减，则，因为时；时，且时，所以的函数图象如图：因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，但方程的两根的乘积为，所以一个根位于，另一根位于，则，得，故的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意，此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，A错误；对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确；对于C，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，C正确；对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确.故选：BCD10.设随机事件A，B满足，，，则（）A. B.，相互独立 C. D.【答案】ABD【解析】随机事件A，B满足，，，又，所以，又，所以，相互独立，故A,B正确；，故C不正确；因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立，所以，故D正确.故选：ABD.11.1715年英国数学家布鲁克•泰勒在他的著作中陈述了泰勒公式，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中.则（）A.BC.当时，函数值域为D.当函数，且的图象恒过定点时，【答案】ACD【解析】对于A，因为，令，可得.根据交错级数的性质，其和小于任意奇数项的部分和，故，A正确；对于B，因为.因为，令，可得，所以B错误；对于C，因为，则.当时，为增函数，则其最小值为，所以其值域为，C正确；对于D，因为函数，，且的图象恒过定点，所以令，则，所以，又，故，而，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_______.【答案】48【解析】求不同的涂色方法有两类办法：用4种颜色涂4个区域有种；若同色，用3种颜色，有种，由分类加法计数原理，不同的涂色方法共有（种）.故答案为：48.13.若在上单调递增，则的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意得，因为在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，函数在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以，即的取值范围是.故答案为：.14.已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】当直线平移到与曲线相切于点，此时切点是曲线上的点到直线的距离最小的点，由，得，因为直线的斜率为，所以令，整理得，解得（舍去）或，又，故此时切点，且此时到直线的距离为，又，故此时到直线的距离为，取的中点为，时，的长取得最小值，如图所示：由直线，可得，所以，所以，又,故最小时，的最小值，且最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．15.已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.（1）求展开式中所有二项式系数的和；（2）求展开式中的常数项.解：（1）前三项的二项式系数和为，解得或-11（舍去），中，展开式中所有二项式系数的和为.（2）的展开式通项公式为，令得，故.16.甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分.（1）求随机变量的分布列；（2）设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求.解：（1）因为甲队中每人答对的概率均为，由题意可知：，则的可能取值为0，1，2，3，且，，，，所以的分布列为0123（2）甲得2分，乙得1分，两事件是相互独立的，由（1）可知：甲得2分，其概率，乙得1分，用表示事件“乙得1分”，则．根据相互独立事件的概率公式得.17.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性．解：（1）当时，函数的定义域为，求导得，由，得或；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.18.（1）证明：当时，；（2）已知数列的通项公式为，证明：．（1）证明：令，则，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，所以，即；将中的都换成得，，即，即.综上，当时，.（2）解：令，则，将中的都换成得：，所以，所以在上单调递增，因为，所以，则，即，即，所以，即；将中的换成得：，当且仅当时取等号；因为，所以，即，