【数学】浙江浙南名校联盟2025-2026学年高二下学期开学检测试题(解析版)

浙江浙南名校联盟2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，那么（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】由，得，即，整理得，解得或（舍去）.故选：C.2.已知，且，则（）A. B.0 C.1 D.3【答案】D【解析】由已知

，解得.3.若展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】对于，第项为：

，

其中，，根据题意可知的指数为，即，得，所以必须是的正整数倍，对比选项：选项中只有满足，故C正确.4.若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由双曲线方程为

，可得

，由题意焦距

，得

，根据双曲线性质

，代入得

，解得

，即

，焦点在轴的双曲线渐近线方程为

，整理得

.5.已知等比数列的前n项和为，且首项，公比为q，则下列选项不正确的是（）A.B.若，则C.D.若，则【答案】B【解析】由于等比数列的公比对于A，，指数是偶数，故，结合得，故A正确；对于B，若，不等式等价于：

，由，解得，故取反例，满足，此时，即不等式不成立，故B错误。对于C，当时，；当时，，若，分子分母均为负，负负得正；若，分子分母均为正，结果为正；若，分子分母均为正，结果为正；因此恒成立，故C正确；对于D，作差得：，因为，所以，结合，可得，即，故D正确.6.有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（）A.90 B.120 C.270 D.720【答案】A【解析】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法，再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法，最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即，即总站法数为：

.7.已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点.根据椭圆和双曲线定义，可得，即.又，当三点共线时取等号.所以，即周长的最小值为4.8.函数在区间上极大值点个数为（）A.49 B.50 C.99 D.100【答案】A【解析】令，故在区间上极大值点个数即为在上的极小值点的个数.而，令，则，故，故极值点的个数即为方程在上的变号零点的个数.令，方程在上的变号零点的个数即为在上变号零点的个数，考虑在上交点的个数，因为当时，，故在上无交点，如图，在，在上无零点，故在上共有不同的变号零点所以方程在上共有不同的变号零点，设它们为，则，，当，其中，，此时，故，故此时,当，其中，此时，而，故此时,故为的极大值点，共49个，所以在区间上极大值点个数为49个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（）A. B.0 C. D.2【答案】BD【解析】由到直线距离相等可得，即，分两种情况：①，解得，此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等；②，解得，此时中点为，代入直线得，即，符合条件；所以和都满足题意.10如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（）A.存在x，y，使得P在直线上B.当时，P在平面内C.当时，平面D.存在x，y，使得平面【答案】BC【解析】设，则，所以，要使得P在直线上，则，则满足，解得，这与已知条件相矛盾，故A错误；当时，，则，要使得P在平面内，则满足，因为则，所以，解得，即存在满足，故B正确；当时，，所以共面，且它们有公共点，即可得平面，又因为平面平面，所以平面，故C正确；要使得平面，则只需要证明平面，即假设存在使得：，又因为，所以，因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误.11.已知正项数列的前n项和为，则下列结论正确的是（）A.是递减数列 B. C. D.【答案】ACD【解析】由可知：，故单调递减，A正确；由A知，故当时，，即，B错误；由A知，故，即，进而，C正确；由条件可得，故，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】y＝x3的导数为y′＝3x2，即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5，切线方程为y+1＝5（x﹣1），即为5x﹣y﹣6＝0，故答案为5x﹣y﹣6＝0．13.已知过点的直线与过点的直线相交于点M，若的斜率与的斜率的差是2，则M到坐标原点O的距离的最小值为_______．【答案】##【解析】设交点，则直线的斜率，直线的斜率，由题意知，代入可得：

，即的轨迹为抛物线（）,由点到原点的距离，将代入得：

，令，则，这是开口向上的二次函数，对称轴为，在处取最小值：

，因此，此时由，符合定义域要求，即为所求最小值.14.某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_______（用数字作答）种不同的选科方法．【答案】5670【解析】第一步：甲从7门学科中选3门，共

种选法；第二步：因为乙和甲恰有1门相同，因此从甲的3门中选1门，再从甲没选的4门中选2门，共

种选法；第三步：最后选丙的3门选科，要分两类计数，设甲乙共同选的科目为，甲除外的两门为，乙除外的两门为，这5个科目互不相同，还剩余2个科目，情况1：丙也选了公共科目

，此时丙不能再与甲、乙有其他重复科目，只能从剩余2门科目中选，共

种选法；情况2：丙不选公共科目

，则丙需要和甲共1门（从中选）、和乙共1门（从中选），第三门从剩余2个科目中选，共

种选法；因此丙共有

种选法；根据分步计数乘法原理可得：总方法数为

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，圆．（1）求经过点M且斜率为1的直线被圆C截得的弦AB的长；（2）求经过点M且与圆C相切于点的圆的方程．解：（1）由题意得，直线AB方程，又圆，则圆心，所以圆心C到直线AB距离为，故弦长．（2）设所求圆心为点D，由两圆相内切于点，可知D是线段MN的中垂线与直线CN的交点，由，，可得线段MN中垂线的方程为：，由，，可得直线的方程为：，联立两方程求解得：，即点D的坐标为，则，故所求圆方程为．16.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点．（1）求点到直线的距离；（2）求直线EF与平面所成角的正弦值．解：（1）取BC中点O，由，结合菱形，可知，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面ABC，由于底面是等边三角形，所以，则建立如图空间直角坐标系，根据已知条件可知：，，所以，，所以点到直线EF的距离为．（2）根据已知条件可知：则，设是平面的法向量，则，令，可得，设直线与平面所成角为，则，故直线EF与平面所成角的正弦值为．17.已知数列的前n项和为分别为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由，得．两式相减得，①又，②①+②得，②-①得，又，所以,满足上两式，故的通项公式为．（2）由（1）知，所以，令③所以．④由④-③得，，所以18.已知点为抛物线的焦点，过点F且斜率不为0的直线l交抛物线于A，B两点，过点A与l垂直的直线与抛物线的另一交点为M，过点B与l垂直的直线与抛物线的另一交点为N．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）证明：M和N位于直线l的同侧；（3）设直线l与直线MN的交点为T，试问点T是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．（1）解：抛物线的焦点为，故，所以抛物线标准方程为，抛物线的准线方程为．（2）证明：设A，B坐标分别为，直线l的方程为，联立l与抛物线方程，可得，设，直线的方程为与抛物线方程联立得：，同理，设，可得，要证M，N位于l的同侧，即证，而，故M，N位于l的同侧．（3）解：直线MN的方程为，即，代入与得，再代入韦达定理知该直线方程为，与l的方程联立，解得，，即点在定直线上．19.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若实数，设函数．①证明：函数有唯一极值点；②设是的极值点，且是的最小零点，为的导函数，证明：．（1）解：求导得：，当时，，当时，，故在时单调递减，在时单调递增，所以的最小值为．（