德州学院初等数论期末复习题

初等数论一、单选题1.36和48的最大公约数是（）A.6B.12C.18D.24答案：B2.若a|(b+c)，且a|b，则下列结论正确的是（）A.a|cB.c|aC.a=cD.b=c答案：A3.5的n次幂的个位数字是什么？A.1B.3C.5D.7答案：C4.100以内最大的质数是（）A.97B.98C.99D.100答案：A5.若a≡4(mod5)，则下列哪个数也满足该同余式？A.14B.24C.34D.44答案：B6.二次同余方程x^2≡a(modp^α)的解可以通过从模p的解“提升”得到，这是A.亨泽尔引理B.中国剩余定理C.欧拉定理D.费马小定理答案：A7.已知a=2×3×5，b=2×3×7，则a和b的最大公约数是（）A.2B.3C.6D.210答案：C8.在整数中正素数的个数（）.A.有1个B.有限多C.无限多D.不一定答案：C9.36以内，既是2的倍数又是3的倍数的数有（）个A.5B.6C.7D.8答案：B10.如果一个整数是奇数，那么它的平方是什么？A.奇数B.偶数C.1D.不正确答案：B11.下列说法正确的是（）A.偶数都是合数B.奇数都是质数C.合数不一定是偶数D.质数一定是奇数答案：C12.以下哪个数字是8的约数？A.18B.24C.30D.36答案：B13.已知a=3×5×7，b=3×5×11，则a和b的最小公倍数是（）A.15B.105C.165D.1155答案：D14.100的质因数有（）种A.1B.2C.3D.4答案：B15.在模9的意义下，6的逆元是什么？A.2B.4C.6D.8答案：C16.若模m的单根存在，下列数中，m可能等于:()A.2B.3C.4D.12E.有时大于p但不大于n;F.可超过pG.等于pH.等于n答案：B17.求出17除以4的商和余数，正确的选项是：A.商是4，余数是1B.商是3，余数是1C.商是4，余数是3D.商是3，余数是2答案：C18.下列说法错误的是（）A.一个数的倍数一定大于它的因数B.质数只有1和它本身两个因数C.合数至少有三个因数D.1没有因数答案：A19.在模5的意义下，8的逆元是什么？A.2B.3C.4D.5答案：B20.若n为奇数，则n²除以2的余数是（）A.0B.1C.2D.无法确定答案：B21.以下哪个数字既是3的倍数，又是6的倍数？A.12B.18C.24D.30答案：B22.若p是素数且p|ab，则A.p|a或p|bB.p|a且p|bC.p不整除a,bD.以上都不对答案：A23.若a和b互质，则下列说法正确的是（）A.a和b都是质数B.a和b的最大公约数为1C.a和b的最小公倍数为1D.a和b中至少有一个是1答案：B24.质数是什么？A.不能被1和自身以外的数整除的数B.只有因子1和自身的数C.既有奇数因子，也有偶数因子的数D.在十进制下最后一位是0或5的数答案：B25.15的因数有（）个A.2B.3C.4D.5答案：C26.若n为正整数，则n²+1一定是（）A.偶数B.奇数C.质数D.无法确定答案：D27.若a≡10(mod14)，则下列哪个数也满足该同余式？A.106B.116C.126D.136答案：B28.45和60的最小公倍数是（）A.90B.120C.180D.270答案：C29.哪个数是4的倍数？A.15B.16C.17D.18答案：B30.给定两个整数a和b，它们的最大公因数等于1，那么它们是什么关系？A.a和b一定互质B.a和b一定没有公共因数C.a和b不一定互质D.a和b一定是相邻的奇数答案：A31.卡塔兰猜想：8和9是唯一的两个连续正整数都是正整数的幂，即3²-2³=1，此猜想A.已被证明B.未被证明C.是错的D.未定答案：A32.下列说法正确的是（）A.质数都是奇数B.合数都是偶数C.1既不是质数也不是合数D.0是质数答案：C33.给定两个数a和b，它们互质的条件是什么？A.a能被b整除B.b能被a整除C.a和b没有公共因子D.a和b都是质数答案：C34.求出101除以4的商和余数，正确的选项是：A.商是24，余数是3B.商是25，余数是2C.商是25，余数是1D.商是24，余数是1答案：B35.下列整数中，是质数的是（）A.1B.2C.4D.9答案：B36.若a和b都是质数，且a+b=10，则a×b=（）A.15B.21C.24D.25答案：B37.一个数的最大因数和最小倍数的和是20，则这个数是（）A.9B.10C.11D.12答案：B38.哪个数字是偶数？A.101B.102C.103D.104答案：B39.若n为正整数，下列式子一定能被2整除的是（）A.n+1B.2n+1C.2nD.n²答案：C40.下列各组数中，不互质的是（）A.5和7B.6和11C.8和9D.9和15答案：D41.哪个数既是3的倍数，又是5的倍数？A.10B.12C.15D.18答案：C42.华林问题：对于每个正整数k，存在一个最小的正整数g(k)，使得每个正整数都可表示为最多g(k)个k次幂之和。对于k=2，g(2)=4，这是A.四平方定理B.三平方定理C.费马大定理D.勾股定理答案：A43.对于整数a,b,c，若a|bc且(a,b)=1，则A.a|cB.a|bC.a|aD.b|c答案：A44.30和45的最大公约数与最小公倍数的比是（）A.1:2B.1:3C.1:6D.2:3答案：C45.一个数有6个因数，这个数最小是（）A.12B.16C.18D.24答案：A46.若a≡9(mod11)，则下列哪个数也满足该同余式？A.80B.91C.102D.113答案：B47.72除以8的商是整数，下列表述正确的是（）A.72是8的倍数B.8是72的倍数C.72是8的因数D.72和8互质答案：A48.整数5874192能被()整除.A.3B.3与9C.9D.3或9答案：A49.给定两个整数a和b，那么a、b的最大公因数等于下列哪个数？A.a+bB.a-bC.abD.a÷b答案：D50.下列数中，不是质数的是（）A.17B.29C.39D.43答案：C51.60和72的最大公约数是（）A.6B.12C.18D.24答案：B52.若a和b都是正整数，且a=b+1，则a和b的最大公约数是（）A.aB.bC.1D.ab答案：C53.25和35的最小公倍数是（）A.175B.125C.875D.75答案：A54.下列各组数中，最大公约数为1的是（）A.15和20B.12和18C.7和13D.9和27答案：C55.哪一个数字在模4的意义下等于2？A.11B.12C.13D.14答案：A56.哪个数字是5的倍数？A.23B.25C.27D.29答案：B57.若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:()A.3B.11C.13D.23答案：D58.若a和b互质，且a=5，b为正整数，则b可能是（）A.5B.10C.15D.11答案：D59.哪个数字是7的倍数？A.9B.14C.21D.24答案：C60.威尔逊定理的逆定理：若(n-1)!≡-1(modn)，则n是A.素数B.合数C.奇数D.偶数答案：A61.4和9的最小公倍数是（）A.1B.13C.36D.72答案：C62.下列数中，是合数的是（）A.23B.37C.49D.53答案：C63.小于30的素数的个数（）.A.10B.9C.8D.7答案：A64.56的质因数分解式是（）A.56=7×8B.56=2×2×2×7C.56=4×14D.56=1×56答案：B65.哪个数字是8的倍数？A.12B.16C.20D.24答案：B66.以下哪对数字互质？A.12和15B.14和15C.15和24D.16和24答案：B67.下列数中，既是质数又是偶数的是（）A.1B.2C.3D.4答案：B68.若n为正整数，n³-n一定能被（）整除A.2B.3C.6D.9答案：C69.若a是偶数，b是奇数，则a+b是（）A.偶数B.奇数C.质数D.合数答案：B70.模5的最小非负完全剩余系是().A.-2,-1,0,1,2B.-5,-4,-3,-2,-1C.1,2,3,4,5D.0,1,2,3,4答案：D71.若n为正整数，则下列数中一定是合数的是（）A.n+1B.n+2C.2n+1D.n(n+1)答案：D72.下列数中，是完全平方数的是（）A.28B.36C.44D.50答案：B73.哪个数字的因子包括1、2、4、8、16？A.12B.16C.20D.24答案：B74.下列说法错误的是（）A.1是所有正整数的因数B.所有质数都是正整数C.所有合数都是正整数D.0是所有正整数的倍数答案：D75.以下哪一个数是合数？A.2B.3C.4D.5答案：C76.一个数除以3余2，除以4余3，则这个数最小是（）A.11B.14C.17D.23答案：A77.48和64的最大公约数是（）A.8B.16C.24D.32答案：B78.孙子定理中，若模数两两互素，则解在模所有模数乘积下是A.唯一的B.不唯一C.有m个D.有n个答案：A79.下列数中，是质数的是（）A.51B.61C.71D.81答案：C80.求出21和28的最大公因数，正确的选项是：A.1B.2C.3D.7答案：D81.整数637693能被()整除.A.3B.5C.7D.9答案：C82.哪个数字不能被3整除？A.9B.12C.15D.18答案：A83.若a除以b余1，则下列说法正确的是（）A.b|(a-1)B.b|(a+1)C.a|(b-1)D.a|(b+1)答案：A84.若a≡12(mod15)，则下列哪个数也满足该同余式？A.117B.122C.127D.132答案：B85.若M_p是素数，则s_{p-2}≡0(modM_p)，其中s序列由卢卡斯-莱默定义，这是A.充分必要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件答案：A86.梅森素数的搜索使用A.卢卡斯-莱默检验法B.费马检验C.米勒-拉宾检验D.试除法答案：A87.一个数除以5余3，除以7余3，则这个数最小是（）A.38B.43C.48D.53答案：A88.大于10且小于30的素数有（）.A.4个B.5个C.6个D.7个答案：C89.给定两个整数a和b，它们的最小公倍数等于下列哪个数？A.a+bB.a-bC.abD.a÷b答案：D90.拉格朗日四平方定理：每个正整数可表示为最多几个平方数之和？A.4B.3C.2D.1答案：A91.模12的所有可能的指数为;()A.1，2，4B.1，2，4，6，12C.1，2，3，4，6，12D.无法确定答案：A92.若a|b，且b|a，则下列结论正确的是（）A.a=bB.a=-bC.|a|=|b|D.a+b=0答案：C93.若a和b互质，且a×b=36，则a和b可能是（）A.4和9B.6和6C.3和12D.2和18答案：A94.20以内所有质数的和是（）A.77B.78C.79D.80答案：A95.若a和b都是正整数，且a=2b，则a和b的最大公约数是（）A.aB.bC.2D.2b答案：B96.81的质因数分解式是（）A.81=9×9B.81=3×27C.81=3×3×3×3D.81=1×81答案：C97.哪个对象对应于素数14？A.只有因子1和14的数B.只有因子2和7的数C.不能被1和自身以外的数整除的数D.只有因子2、7、14的数答案：D98.一次同余方程ax≡b(modm)在模m下解的个数为A.0或d，其中d=(a,m)B.1C.mD.无限答案：A99.已知两个数的最大公约数是6，最小公倍数是36，则这两个数可能是（）A.6和12B.6和36C.12和18D.18和36答案：B100.若a|b，b|c，则下列结论正确的是（）A.a|cB.c|aC.a=cD.a+b=c答案：A二、多选题101.关于不定方程x²+y²=z²（勾股方程），下列说法正确的有（）A.(3,4,5)是方程的一组正整数解B.若(x,y,z)是方程的正整数解，且x,y,z互质，则x,y中必有一个是偶数C.方程的所有正整数解都可以表示为x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²（m>n>0，互质，奇偶性不同）D.(5,12,13)是方程的一组正整数解答案：ABCD102.关于模m的完全剩余系，下列说法正确的有（）A.模m的完全剩余系包含m个整数B.任意m个两两不同余的整数构成模m的完全剩余系C.{0,1,2,...,m-1}是模m的一个完全剩余系D.若{a₁,a₂,...,aₘ}是模m的完全剩余系，则{a₁+k,a₂+k,...,aₘ+k}（k为整数）也是模m的完全剩余系答案：ABCD103.下列同余式有解的有（）A.2x≡3(mod5)B.3x≡6(mod9)C.4x≡5(mod6)D.5x≡10(mod15)答案：ABD104.下列关于φ(n)的计算，正确的有（）A.φ(10)=4B.φ(12)=4C.φ(15)=8D.φ(16)=8答案：ABCD105.关于质数p，下列说法正确的有（）A.若p整除ab，则p整除a或p整除bB.任意大于1的整数都能唯一分解为质数的乘积（算术基本定理）C.质数p的正因数只有1和pD.最小的质数是1答案：ABC106.关于整除的性质，下列说法错误的有（）A.若a整除b，b整除a，则a=bB.若a整除bc，则a整除b或a整除cC.若a整除b，且a>0，b>0，则a≤bD.若a整除b+c，且a整除b，则a整除c答案：AB107.费马小定理的表述正确的有（）A.若p为质数，a为任意整数，则a^p≡a(modp)B.若p为质数，a与p互质，则a^(p-1)≡1(modp)C.若a^p≡a(modp)，则p必为质数D.费马小定理是欧拉定理的特殊情况答案：ABD108.下列欧拉函数值计算正确的有（）A.φ(6)=2B.φ(7)=6C.φ(8)=4D.φ(9)=6答案：ABCD109.下列关于二次剩余的说法正确的有（）A.设p为奇质数，a不被p整除，若存在整数x使得x²≡a(modp)，则a是模p的二次剩余B.模p（奇质数）的二次剩余和二次非剩余的个数均为(p-1)/2C.1是模任意奇质数p的二次剩余D.若a,b是模p的二次剩余，则ab也是模p的二次剩余答案：ABCD110.下列数中，是合数的有（）A.15B.23C.27D.31答案：AC111.关于中国剩余定理（孙子定理），下列说法正确的有（）A.适用于同余方程组中，各个模两两互质的情况B.若模不两两互质，则同余方程组一定无解C.满足条件的同余方程组有唯一解（模为各个模的最小公倍数）D.中国剩余定理是求解同余方程组的重要方法答案：ACD112.关于欧拉函数φ(n)，下列说法正确的有（）A.φ(n)表示1到n中与n互质的整数的个数B.若p为质数，则φ(p)=p-1C.若m,n互质，则φ(mn)=φ(m)φ(n)D.若p为质数，k≥1，则φ(pᵏ)=pᵏ-pᵏ⁻¹答案：ABCD113.下列运用费马小定理计算正确的有（）A.2^10≡1(mod11)B.3^6≡1(mod7)C.5^8≡1(mod9)D.4^10≡4(mod11)答案：ABD114.下列关于初等数论的应用，正确的有（）A.密码学中（如RSA加密）用到了质数分解的困难性B.中国剩余定理可用于时钟校准、日程安排等场景C.同余理论可用于判断一个数是否能被某个整数整除D.欧拉函数可用于求解同余式、密码学等领域答案：ABCD115.下列数中，是模7的二次剩余的有（）A.1B.2C.3D.4答案：ABD116.下列关于算术基本定理的说法正确的有（）A.任意大于1的整数都可以分解为有限个质数的乘积B.分解式中，质数的顺序不同，视为不同的分解C.分解式在不计质数顺序的情况下是唯一的D.1不能分解为质数的乘积答案：ACD117.关于整除与倍数，下列说法正确的有（）A.0是任何非零整数的倍数B.任何非零整数都是1的倍数C.若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数D.若a是b的倍数，c是任意整数，则a是bc的倍数答案：ABC118.下列同余方程组有解的有（）A.x≡2(mod3)，x≡3(mod5)B.x≡1(mod2)，x≡2(mod4)C.x≡3(mod7)，x≡5(mod11)D.x≡2(mod6)，x≡5(mod9)答案：AC119.关于同余式ax≡b(modm)（a,m不同时为0），下列说法正确的有（）A.若gcd(a,m)=d，d整除b，则同余式有解B.若gcd(a,m)=1，则同余式有唯一解（模m）C.若同余式有解，则解的个数为d=gcd(a,m)（模m）D.若d不整除b，则同余式无解答案：ABCD120.关于模m的简化剩余系，下列说法正确的有（）A.模m的简化剩余系包含φ(m)个整数B.简化剩余系中的每个数都与m互质C.若{a₁,a₂,...,a_φ(m)}是模m的简化剩余系，且gcd(k,m)=1，则{ka₁,ka₂,...,ka_φ(m)}也是模m的简化剩余系D.模m的简化剩余系一定是完全剩余系的子集答案：ABCD三、判断题121.互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。答案：正确122.若a是偶数，b是偶数，则a×b是偶数。答案：正确123.若a×b=36，且a和b互质，则a和b一定是4和9。答案：错误124.若a是偶数，b是奇数，则a+b是奇数。答案：正确125.若a|(b+c)，且a|b，则a|c。答案：正确126.28是完全平方数。答案：错误127.一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。答案：正确128.0是所有正整数的倍数。答案：错误129.36是完全平方数。答案：正确130.若n为奇数，则n²也是奇数。答案：正确131.9和15互质。答案：错误132.合数一定是偶数。答案：错误133.一个数除以5余3，除以7余3，这个数最小是38。答案：正确134.15的因数有4个。答案：正确135.20以内所有质数的和是77。答案：正确136.56的质因数分解式是2×2×2×7。答案：正确137.100的质因数有2和5两种。答案：正确138.若n为正整数，则2n一定是偶数。答案：正确139.81的质因数分解式是3×3×3×3。答案：正确140.质数只有1和它本身两个因数。答案：正确四、论述题141.解释同余的自反性，并说明其在数论推理中的作用。解析：同余的自反性是指，任何整数都与它自身关于任意模数同余，即a≡a(modm)（其中a是整数，m是正整数）。这一性质是同余关系的基本性质之一，在数论推理中的作用主要体现在：作为同余关系成立的基础，确保任何整数都能与自身建立同余关系，为后续的同余推理提供前提；在验证同余关系的正确性时，可利用自反性判断简单的同余式是否成立；在推导复杂的同余关系时，自反性是连接不同同余式的桥梁，确保推理的连贯性。；142.论述初等数论的核心研究内容，并说明其在数学中的地位。解析：初等数论的核心研究内容包括整数的整除性、素数与合数、最大公因数与最小公倍数、同余与同余方程、不定