德州学院高等代数期末复习题

高等代数一、单选题1.下列哪个矩阵是正交矩阵？A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,1],[0,1]]C.[[0.6,0.8],[0.8,-0.6]]D.[[1,1],[1,-1]]答案：C2.内积必须满足对称性。A.是B.否C.只有当真内积时D.只有当复内积时答案：A3.特征向量对应于不同特征值是线性独立的。A.是B.否C.只有当特征值实数时D.只有当矩阵对称时答案：A4.行列式不为零的齐次方程组解的情况是（）。A.只有零解B.有非零解C.无解D.无穷解答案：A5.矩阵[[0,-1],[1,0]]表示什么变换？A.90度旋转B.反射C.缩放D.剪切答案：A6.如果A是实对称矩阵，则它的特征向量是：A.正交的B.单位向量C.零向量D.无法确定答案：A7.向量空间的维度是基中向量的个数。A.是B.否C.有时D.从未答案：A8.矩阵的迹是特征值之和。A.是B.否C.只有当可逆时D.只有当对称时答案：A9.如果A是可逆矩阵，则Ax=0只有零解。A.是B.否C.有时D.从未答案：A10.线性系统有解当且仅当秩(A)=秩([A|b])。A.是B.否C.只有当齐次时D.只有当非齐次时答案：A11.矩阵的秩在初等行变换下不变。A.是B.否C.有时D.从未答案：A12.特征向量对应于相同特征值可能线性相关。A.是B.否C.有时D.从未答案：A13.线性变换的核是子空间。A.是B.否C.有时D.从未答案：A14.如果A是矩阵，则A和A^T有相同的特征值吗？A.是B.否C.只有当A对称时D.只有当A可逆时答案：A15.下列哪个不是向量空间的性质？A.封闭于加法B.封闭于标量乘法C.有乘法逆元D.有零向量答案：C16.零空间是齐次系统Ax=0的解空间。A.是B.否C.有时D.从未答案：A17.矩阵的秩表示：A.行数B.列数C.线性独立行或列的最大数D.特征值的个数答案：C18.向量空间必须包含无穷多个向量。A.是B.否C.只有当维度大于0时D.只有当是R^n时答案：B19.特征向量可以为零向量。A.是B.否C.有时D.从未答案：B20.属于不同特征值的特征向量一定（）。A.线性相关B.线性无关C.相等D.正交答案：B21.内积空间中的柯西-施瓦茨不等式是：A.|<x,y>|≤||x||||y||B.|<x,y>|≥||x||||y||C.|<x,y>|=||x||||y||D.|<x,y>|<||x||||y||答案：A22.行列式为零的矩阵是奇异的。A.是B.否C.只有当方阵时D.只有当实矩阵时答案：C23.n维向量组极大线性无关组所含向量个数称为（）。A.维数B.秩C.基数D.阶数答案：B24.线性变换的矩阵表示依赖于：A.基的选择B.坐标系统C.向量空间D.以上所有答案：D25.矩阵的奇异值分解总是存在吗？A.是，对于任何矩阵B.否，只对于方阵C.只对于对称矩阵D.只对于可逆矩阵答案：A26.齐次方程组基础解系所含向量个数为（）。A.r(A)B.n-r(A)C.nD.0答案：B27.相似矩阵有相同的特征值。A.是B.否C.只有当对称时D.只有当可逆时答案：A28.柯西-施瓦茨不等式在任何内积空间都成立。A.是B.否C.有时D.从未答案：A29.特征向量对应于特征值必须是非零向量吗？A.是B.否C.有时D.从未答案：A30.格拉姆-施密特过程可以应用于任何向量集。A.是B.否C.只有当线性独立时D.只有当正交时答案：C31.正交矩阵的行列式是：A.±1B.1C.-1D.0答案：A32.相似矩阵一定具有相同的（）。A.矩阵结构B.特征值C.特征向量D.行列式答案：B33.正交向量组中任意两个不同向量的内积为（）。A.1B.0C.-1D.任意值答案：B34.向量(1,2,3)和(4,5,6)的叉积是：A.(-3,6,-3)B.(3,-6,3)C.(-3,6,3)D.(3,6,-3)答案：A35.线性变换可以改变向量的维度。A.是B.否C.有时D.从未答案：A36.如果A和B是矩阵，则(A+B)^2=A^2+2AB+B^2总是成立吗？A.是B.否C.只有当AB=BA时D.只有当A和B可逆时答案：C37.二次型与什么相关？A.对称矩阵B.反对称矩阵C.正交矩阵D.对角矩阵答案：A38.向量(1,2)和(2,4)是线性相关吗？A.是B.否C.可能D.无法确定答案：A39.向量(1,0,0)和(0,1,0)在R^3中张成什么？A.xy-planeB.xz-planeC.yz-planeD.整个空间答案：A40.如果A是正定，则A可逆。A.是B.否C.有时D.从未答案：A41.二次型x^TAx是正定如果所有特征值正。A.是B.否C.只有当A对称时D.只有当x≠0时答案：A42.线性系统Ax=b有解当且仅当b在A的列空间中。A.是B.否C.只有当A可逆时D.只有当b是零时答案：A43.下列哪个是线性变换从R到R？A.T(x)=2xB.T(x)=x+1C.T(x)=x^2D.T(x)=|x|答案：A44.如果两个向量正交，则它们线性独立吗？A.是B.否C.只有当非零时D.只有当在R^n中时答案：C45.n阶行列式共有（）个元素。A.nB.2nC.n²D.n!答案：C46.二次型可以通过变量变换对角化。A.是B.否C.有时D.从未答案：A47.如果A是正定矩阵，则它的所有特征值是正数。A.是B.否C.只有当A对称时D.只有当A可逆时答案：A48.计算行列式:|123;014;560|A.1B.-1C.0D.2答案：A49.如果A是投影矩阵，则A^2=A。A.是B.否C.有时D.从未答案：A50.内积<x,y>在R^n中定义为x^Ty，则<x,y>=<y,x>吗？A.是B.否C.只有当x=y时D.只有当x和y正交时答案：A51.矩阵[[1,2],[2,4]]的行列式是：A.0B.4C.8D.-4答案：A52.二次型的矩阵一定是（）。A.可逆矩阵B.对称矩阵C.正交矩阵D.三角矩阵答案：B53.行列式函数是线性的。A.是B.否C.只有对行D.只有对列答案：B54.线性变换T:R^3->R^2definedbyT(x,y,z)=(x,y)的核是：A.x-axisB.y-axisC.z-axisD.xy-plane答案：C55.正交补空间包含所有与子空间正交的向量。A.是B.否C.部分正确D.以上都不对答案：A56.子空间必须具有与父空间相同的维度。A.是B.否C.有时D.从未答案：B57.向量范数必须满足什么性质？A.正定、齐次、三角不等式B.对称、传递、反射C.线性、连续、可微D.有界、单调、凸答案：A58.特征多项式是det(A-λI)。A.是B.否C.有时D.从未答案：A59.如果向量u和v正交，则||u+v||^2=||u||^2+||v||^2吗？A.是B.否C.只有当||u||=||v||时D.只有当u和v单位向量时答案：A60.特征值的和等于矩阵的迹。A.是B.否C.只有当可逆时D.只有当对称时答案：A61.如果A是3x3矩阵，且特征值为1,2,3，则det(A)是多少？A.6B.5C.0D.1答案：A62.如果A是4x4矩阵，且rank(A)=3，则零空间的维度是：A.1B.2C.3D.4答案：A63.如果线性系统Ax=0有非零解，则A是：A.可逆的B.奇异的C.对称的D.正交的答案：B64.向量空间的维数等于（）。A.向量个数B.极大无关组向量个数C.矩阵行数D.矩阵列数答案：B65.线性变换的像是子空间。A.是B.否C.有时D.从未答案：A66.正定二次型的所有特征值均为（）。A.正数B.负数C.零D.非正数答案：A67.n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）。A.秩=nB.秩<nC.秩>nD.系数矩阵可逆答案：B68.矩阵的范数测量什么？A.大小或长度B.行列式C.特征值D.秩答案：A69.正交矩阵的行是单位向量且两两正交。A.是B.否C.有时D.从未答案：A70.计算矩阵乘法:[[1,2],[3,4]][[5],[6]]A.[[17],[39]]B.[[23],[34]]C.[[16],[19]]D.[[18],[32]]答案：A71.实对称矩阵的特征值一定是（）。A.整数B.实数C.正数D.负数答案：B72.方阵A的特征值λ，对应的特征向量x满足（）。A.Ax=λxB.Ax=0C.Aλ=xD.xA=λA答案：A73.向量组线性无关的定义是（）。A.存在不全为零的系数使组合为0B.只有全零系数组合才为0C.向量个数多D.向量长度不为0答案：B74.如果A是幂等矩阵（即A^2=A），则它的特征值可能是：A.0或1B.0或2C.1或2D.任何数答案：A75.内积空间中的平行四边形法则是什么？A.||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2B.||u+v||=||u||+||v||C.||u-v||=||u||-||v||D.||u+v||^2=||u||^2+||v||^2答案：A76.二次型x^2+2xy+y^2的矩阵是：A.[[1,2],[2,1]]B.[[1,1],[1,1]]C.[[1,2],[0,1]]D.[[1,1],[0,1]]答案：B77.如果A是2x2矩阵，特征值为3和4，则A的行列式是12。A.是B.否C.可能D.无法确定答案：A78.矩阵的迹是：A.特征值之和B.特征值之积C.行列式D.秩答案：A79.矩阵可逆的充要条件是（）。A.矩阵对称B.行列式不为0C.矩阵正交D.矩阵正定答案：B80.如果A是厄米特矩阵，则它的特征值是实数。A.是B.否C.只有当A对称时D.只有当A正定时答案：A81.矩阵的列空间是：A.所有列的线性组合B.所有行的线性组合C.特征向量的集合D.零空间答案：A82.如果A是3x3矩阵，且det(A)=2，则det(3A)=54。A.是B.否C.可能D.无法确定答案：A83.齐次线性方程组一定存在（）。A.唯一解B.零解C.无穷多解D.无解答案：B84.向量(1,1,1)在R^3中的长度是：A.1B.√2C.√3D.3答案：C85.特征值的几何重数总是小于或等于代数重数。A.是B.否C.有时D.总是相等答案：A86.可逆矩阵又称（）。A.奇异矩阵B.非奇异矩阵C.对称矩阵D.三角矩阵答案：B87.下列哪个是向量空间R^2的基？A.{(1,0),(0,1)}B.{(1,1),(2,2)}C.{(1,0)}D.{(1,2),(3,4)}答案：A88.两个向量的叉积在R^3中结果是一个：A.标量B.向量C.矩阵D.数字答案：B89.下列哪个操作是线性的？A.T(f)=f'(导数)B.T(f)=∫fdxC.T(x)=|x|D.T(x)=x^2答案：A90.正交矩阵保持向量长度。A.是B.否C.有时D.从未答案：A91.行列式的性质中，交换两行，行列式的值（）。A.不变B.变号C.变为0D.加倍答案：B92.格拉姆-施密特过程应用于向量集{(1,0),(1,1)}在R^2中，结果是什么？A.{(1,0),(0,1)}B.{(1,0),(1,0)}C.{(1,0),(0,0)}D.{(1,1),(0,1)}答案：A93.A与B均为方阵，则(AB)ᵀ=（）。A.ABB.BAC.AᵀBᵀD.BᵀAᵀ答案：D94.如果A是奇异矩阵，则它的行列式是：A.0B.1C.-1D.正数答案：A95.下列哪个是线性方程？A.2x+3y=5B.x^2+y=1C.sinx+y=0D.xy=1答案：A96.矩阵的范数可以从向量范数诱导。A.是B.否C.有时D.从未答案：A97.若行列式中有两行完全相同，则行列式值为（）。A.1B.-1C.0D.任意数答案：C98.矩阵的秩和零度之和等于：A.列数B.行数C.矩阵的维度D.特征值个数答案：A99.子空间的交集是子空间吗？A.是B.否C.有时D.从未答案：A100.向量空间的定义包括以下哪个操作？A.加法和标量乘法B.乘法和除法C.减法和除法D.加法和减法答案：A二、多选题101.设为阶幂零矩阵（即存在使），则：A.的特征值全为0B.C.一定相似于零矩阵D.不可逆（若）答案：ABD102.下列属于向量空间基本性质的有（）。A.加法交换律B.加法结合律C.数乘分配律D.存在零元、负元答案：ABCD103.向量组线性相关的判定条件有（）。A.向量个数大于向量维数B.含零向量C.存在两向量成比例D.秩小于向量个数答案：ABCD104.下列行列式值一定为0的有（）。A.两行相同B.两行成比例C.有一行为全零行D.上三角行列式答案：ABC105.下列属于行列式基本性质的有（）。A.两行互换，行列式变号B.两行相同，行列式为0C.某行倍数加到另一行，行列式不变D.数乘某行，行列式乘以该数答案：ABCD106.初等行变换的类型有（）。A.交换两行B.某行乘以非零常数C.某行倍数加到另一行D.交换两列答案：ABC107.极大线性无关组的特点有（）。A.本身线性无关B.可线性表示原向量组所有向量C.所含向量个数唯一D.是向量组中最多无关向量子集答案：ABCD108.矩阵与的关系：A.它们有相同的特征值B.它们有相同的特征向量C.它们相似D.它们的秩相同答案：ACD109.齐次线性方程组Ax=0的结论正确的有（）。A.永远有零解B.r(A)<n有非零解C.r(A)=n只有零解D.一定有无穷多解答案：ABC110.矩阵秩的性质正确的有（）。A.秩(A)=秩(Aᵀ)B.初等变换不改变秩C.r(AB)≤min(r(A),r(B))D.零矩阵秩为0答案：ABCD111.非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件错误的有（）。A.r(A)≠r(Ā)B.r(A)=r(Ā)C.|A|≠0D.秩一定小于未知数个数答案：ACD112.关于合同矩阵，下列说法正确的是：A.若与合同，则B.若与合同，则它们有相同的正负惯性指数C.实对称矩阵合同的充要条件是秩相同且正惯性指数相同D.合同矩阵一定相似答案：ABC113.向量空间基的特点有（）。A.线性无关B.可表示空间所有向量C.基向量个数为空间维数D.唯一不变答案：ABC114.关于伴随矩阵性质正确的有（）。A.AA*=|A|EB.A*A=|A|EC.(A*)⁻¹=(A⁻¹)*D.|A*|=|A|ⁿ⁻¹答案：ABCD115.向量组线性无关的性质有（）。A.任意部分组也线性无关B.只有全零组合为零向量C.秩等于向量个数D.必不含零向量答案：ABCD116.逆矩阵的性质正确的有（）。A.(A⁻¹)⁻¹=AB.(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹C.(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀD.kA的逆为1/kA⁻¹(k≠0)答案：ABCD117.关于若尔当（Jordan）标准型，下列说法正确的是：A.任何复数域上的矩阵都相似于一个若尔当标准型B.若尔当标准型在不计若尔当块次序下是唯一的C.若尔当块的对角元是特征值D.若尔当标准型一定是对角矩阵答案：ABC118.方阵可逆的等价条件有（）。A.|A|≠0B.r(A)=nC.齐次方程组只有零解D.列向量组线性无关答案：ABCD119.实二次型正定的充要条件是：A.的所有特征值大于0B.的所有顺序主子式大于0C.的正惯性指数等于D.存在可逆矩阵，使得答案：ABCD120.矩阵运算满足的性质有（）。A.加法交换律B.加法结合律C.乘法结合律D.乘法分配律答案：ABCD三、判断题121.线性空间V的子空间W是σ-不变子空间当且仅当σ在W上的限制σ|W是W的线性变换。答案：正确122.n维线性空间中，线性变换的秩等于其像空间的维数。答案：正确123.若σ是线性变换，且σ²=σ，则Imσ中的向量都是σ的特征向量（特征值为1）。答案：正确124.不可约多项式p(x)是f(x)的重因式当且仅当p(x)|f(x)且p(x)|f’(x)。答案：正确125.若σ是线性变换，