浙江杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”,并将自

己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上。

3.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题

区内。答案写在试题卷上一律无效。

4.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，则复数i³(1-i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列样本数据散点图中，变量x和变量y的样本相关系数分别为r₁,r2,r3,则()

相关系数r₁相关系数r₂相关系数r₃

A.r₁<r₂<r₃B.r₃<r₂<r₁C.r₂<r₃<r₁D.r₃<r₁<r₂

3.已知函数f(x)=3²+x³,则“x₁=x₂”是“f(x₁)=f(x₂)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.以A(1,1),B(2,-2)为直径的圆的方程是()

A.x²+y²-3x+y=0

C.x²+y²+3x+y=0

5.已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点都在球O上，若∠ABC=90°,AA₁=5,AB=3,BC=4,

则球O的表面积为()

A.169πB.120πC.100πD.50π

6.已知x=3是函数f(x)=x(x-a)²的极小值点，则()

A.f(x)一f(-x)=0B.f(1+x)-f(1-x)=0

C.f(2+x)-f(2-x)=2D.f(2+x)+f(2-x)=4

7.设x₁,x₂是函数f(x)=3sinx+4cosx-2的两个不同的零点.若x₁-xz≠kπ(k∈Z),则tan

(x₁+x₂)=()

ABCD

8.从如图所示的4×4方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰

0000

有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为-1”的概

0010

率为()

0-100

A.B1000

CD(第8题)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件A,B的对立事件分别记为A,B,若,则()

A.事件A与B互斥B

CD

10.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为S元，,则()

A.a₁=1B.S²+S²+2=2S²+1

C.an>an+1D.S„Sn+2=2S²+1

11.在区块链中，常用椭圆曲线进行加密.已知椭圆曲线Γ:y²=x³-x+1,则()

A.曲线Γ关于x轴对称

B.曲线T与x轴有两个交点

C.曲线Γ上点P(x,y)(x>0)到x轴的最小距离不小于

D.曲线Γ上点P到原点的最小距离为·

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。

12.《莱茵德纸草书》记载：把30个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且

较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为◆

13.如图，在圆锥PO中，AB,CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E

是母线PB的中点.已知平面CDE与圆锥侧面的交线是抛物线的一

部分，设该抛物线的焦点为F.若PA=AB=2,则|EF|=

14.已知空间向量a,b,c满足a·c=b·c=2,|a|=|b|=1,Ic|=6,

(第13题图)

<a,b>=120°,则Vx,y∈R,|c-ma-yb|的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知空间向量,b=(sin2x,cos4x,1),设函数f(x)=a·b

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当时，求f(x)的值域。

16.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,AB//CD,AB=AD=PD=2,

PC=2√5,CD=4.

(1)证明：PD⊥BC;

(2)若AC=PC,

(i)设DQ=λDP(A>0),点Q到直线BC的距离为3,求λ的值；

(ii)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值.

A

(第16题图)

17.(15分)

已知双曲线,过点B(1,0)的直线l与T的上、下两支分别交于点M,N.

(1)若点P是P上的动点，求|PB|的最小值；

(2)设O为坐标原点，直线OM,ON的斜率分别为k₁,k₂,

求直线l的方程；

(ii)的取值范围.

18.(17分)

已知函数

(1)求曲线y=f(x)在点M(π,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线是轴对称图形；

(3)若Vx∈(0,π),a(π-x)≤f(x)≤b(π-x)恒成立，求a的最大值和b的最小值.

19.(17分)

口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只.现从口袋中有放

回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分.

(1)在取球过程中，记事件“恰好得n分”的概率为pn(n=1,2,3,…),

(i)求p₂;

(ii)求pn;

(2)若共取球2n次(n∈N"),X表示2n次取球中取到红球的次数，记

.求证：

2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学学科参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

12345678

CBCADDBB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.BD10.ABC11.ACD

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.213.14.2√5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(1)因

所以f(x)的最小正周期为--------7分

(2)当时，,则,1],

所.--------13分

16.(1)因为PD²+CD²=PC²,所以PD⊥CD,

又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PDC平面PCD,

所以PD⊥平面ABCD.

所以PD⊥BC.---------5分

(2)因为AC=PC,所以AD⊥CD,如图建系直角坐标系.

所以D(0,0,0),A(0,2,0),B(2,2,0),C(4,0,0),P(0,0,2).

(i)因为CB=(-2,2,0),CQ=(-4,0,22),

则直线BC的一个单位方向向量为,0),

点Q到直线BC的距离,解得

---------10分

(ii)已知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),

由,取n=(1,1,2).

所以|cos<m,---------15分

1

17.(1)设P(xo,yo),

所以(xo∈R),

即当,|PB----------5分

(2)设l:x=ny+1与C:1联立，有(4-m)y²—2my-5=0,

由△=80-16m²>0,得m∈(-√5,√5),

设M(x1,yi),N(x₂,y2),则

得m∈(一2,2),

---------10分

(i)时，m=0,直线I的方程为x=1;----------13分

(ii)因为直线OM,ON存在斜率，所以m≠±1,

故m∈(一2,一1)U(-1,1)U(1,2),

的取值范围.----------15分

18.(1)由题知

又f(π)=0,

所以切线方程为,即----------4分

所以曲线关于直线对称；---------8分

(3)(i)先求b的最小值

由题

由于y=φ(x)关于直线,故只需考虑x∈(0,

,令μ(x)=(-x²+mX)cosx+(2x-π)sinx,

则μ(x)=(x²-πx+2)sinx,

由μ(x)=0,得：

μ(x)在(0,x₁)上单调递增，)上单调递减，

,μ(0)=0,

所以当),μ(x)>0,φ(x)>0,φ(x)单调递增，

即b的最小值---------13分

(ii)再求a的最大值.

2

由题意，Vx∈(0,π),ax(π-x)<sinx恒成立，令g(x)=ax(π-x)-sinx,x∈

[0,π],

因为g(0)=0,所以g(0)≤0,即aπ-1≤0,

下面证明寸，