4.2 对数与对数函数

4.2对数与对数函数教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标理解对数的核心概念，熟练掌握对数式与指数式的互化规则，明确对数中底数、真数的取值范围及负数和零没有对数的性质。精通对数的运算法则（积、商、幂的对数）和换底公式，能灵活运用这些知识进行对数的化简与计算，掌握常用对数和自然对数的表示方法及基本运算。理解对数函数的概念，熟记对数函数的图像特征和性质（定义域、值域、单调性、过定点等），能运用性质解决比较大小、求定义域和值域等问题。培养数学运算、逻辑推理和实际应用能力，熟练掌握对数相关题型的解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，能将对数知识应用于实际情境问题。二、教学重难点（一）教学重点对数的概念、对数式与指数式的互化，对数的基本性质和恒等式。对数运算法则、换底公式的灵活运用，常用对数与自然对数的计算。对数函数的图像和性质，以及利用性质解决比较大小、求定义域、值域等问题。高考常考题型的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点对数运算法则的逆向运用和复杂对数式的化简计算，换底公式的推导与灵活应用。对数函数单调性的综合应用，尤其是在比较大小、解对数不等式中的运用。对数与指数的综合问题，以及对数知识在实际情境中的建模与解答。高考中对数与其他函数、方程结合的综合题的解题思路构建。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念：对数定义：在代数式ab=N（a>0且a≠1，N∈0+∞）中，幂指数b称为以a为底N的对数，记为b=logaN对数与指数的关系：当a>0，a≠1时，ab基本性质：①loga1=0，loga常用对数与自然对数：常用对数log10N简写为lgN；自然对数loge对数运算法则：若a>0且a≠1，M>0，N>0，则①logaMN=logaM+lo换底公式：logab=logcblogca对数函数：一般地，函数y=logax（a>0且a≠1）称为对数函数，定义域为0+∞，值域为R，过定点10关键性质速记：对数“三要素”：底数a>0且a≠1，真数N>0，对数值b∈R。运算法则“核心”：乘变加、除变减、幂提到前。对数函数“单调性”：底数大于1增，小于1（大于0）减，过定点10（二）考点考频及常考题型1.对数概念与指数式、对数式互化（考频：10年9考，近5年全覆盖）①考频分析基础必考点，多在选择题第2-3题、填空题第1-2题出现，难度低（分值2-3分）。核心考查对数的定义、底数和真数的取值范围、指数式与对数式的互化，以及对数基本性质的应用。②常考题型题型1：概念判断题（占比60%）示例：下列说法正确的是（）A.负数和零有对数B.loga1=1（a>0C.若23=8D.logaa2=a答案：C解题核心：紧扣对数定义和基本性质，A违背“负数和零没有对数”；B中loga1=0题型2：指数式与对数式互化（占比40%）示例：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）34=81答案：（1）log381解题核心：根据指数式与对数式的互化关系ab2.对数的运算（考频：10年10考，近5年高频考查）①考频分析核心基础考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-5分，难度低-中档。核心考查对数运算法则、换底公式的应用，以及常用对数、自然对数的计算，是对数部分的重点题型。②常考题型题型1：直接利用运算法则计算（占比50%）示例：计算lg4+lg25的值答案：2解题核心：利用积的对数法则logaMN题型2：换底公式的应用（占比30%）示例：计算log答案：9解题核心：利用换底公式将不同底数的对数转化为同底数对数，再结合运算法则计算。题型3：对数恒等式的应用（占比20%）示例：计算2lo答案：8解题核心：利用对数恒等式alogaN=N3.对数函数的图像与性质（考频：10年9考，近3年稳定考查）①考频分析中档考点，多在选择题第4-6题、填空题第3-4题出现，分值3-4分，难度中档。核心考查对数函数的定义域、值域、单调性、过定点等性质，以及利用性质比较大小、解不等式等。②常考题型题型1：求对数函数的定义域（占比30%）示例：求函数y=log答案：−∞解题核心：对数函数的真数大于0，即4−x>0，解得x<4。题型2：比较对数大小（占比40%）示例：比较log0.32答案：lo解题核心：利用对数函数的单调性，0<0.3<1，函数y=log0.3x为减函数，因为2<3题型3：求对数函数的值域（占比30%）示例：求函数y=log答案：0解题核心：先分析真数x2+1≥1，再根据对数函数y=log2t（三）经典例题解析（35分钟）例题1：指数式与对数式互化及对数基本性质应用（基础题·一题多解）题目：已知a>0且a≠1，（1）若ax=6，ay=3，求解法1：直接利用指数运算法则和对数定义（常规法）步骤：解答（1）：根据指数运算法则am−n=aman，amn=解答（2）：设loga1a=b，根据对数定义可得a核心依据：指数运算法则和对数与指数的互化关系，直接推导计算。解法2：利用对数运算法则间接求解（拓展法）步骤：解答（1）：由ax=6得x=loga6，由ay=3解答（2）：根据对数运算法则logaM核心依据：通过对数式与指数式的转化，结合对数运算法则，间接求解，适合强化知识间的联系。技巧解题：“定义+法则”速解技巧技巧：解决指数与对数互化问题时，紧扣“ab适用场景：指数与对数互化、对数基本计算类题目，高考选择、填空题速解。例题2：对数运算法则与换底公式的综合应用（中档题·一题多解）题目：计算log解法1：连续应用换底公式（常规法）步骤：根据换底公式loglog23=lg3lg2相乘可得：lg3lg2化简lg8lg2核心依据：换底公式的本质是统一对数底数，通过约分简化计算，是解决不同底数对数相乘的常规方法。解法2：利用对数运算法则转化底数（拓展法）步骤：将各对数的真数和底数转化为同底数幂：log34=lo原式转化为：log利用换底公式推论logab×logb核心依据：利用对数的幂运算法则将对数转化为便于计算的形式，结合换底公式推论，减少计算步骤，提高效率。技巧解题：“换底约分+推论”技巧技巧：遇到多个不同底数对数相乘的题目，优先使用换底公式转化为同底数对数，利用分子分母约分简化；记住推论logab×lo适用场景：多步换底计算、不同底数对数乘积类题目，高考填空题、解答题基础问。例题3：对数函数单调性的综合应用（中档题·一题多解）题目：已知loga−12x−1解法1：分类讨论结合单调性（常规法）步骤：对数函数有意义的条件：a−1>0且a−1≠12x−1>0x+2>0，解得分类讨论底数范围：当a−1>1，即a>2时，函数y=loga−1t为增函数，所以不等式等价于2x−1<x+2，解得x<3当0<a−1<1，即1<a<2时，函数y=loga−1t为减函数，所以不等式等价于2x−1>x+2，解得x>3综上，当a>2时，x的取值范围为123；当1<a<2时，x的取值范围为核心依据：对数函数的单调性由底数决定，需先保证函数有意义，再根据底数的范围分类讨论，转化为普通不等式求解。解法2：图像法辅助分析（拓展法）步骤：确定对数函数的定义域：x>1画出两类对数函数图像：当a>2时，底数大于1，函数图像过定点10且单调递增，在定义域内，真数大的函数值大，故2x−1<x+2，得1当1<a<2时，底数大于0小于1，函数图像过定点10且单调递减，在定义域内，真数大的函数值小，故2x−1>x+2，得x>3得出结论（同解法1）。核心依据：利用对数函数的图像特征直观判断单调性，进而转化不等式，适合对图像性质掌握熟练的学生，可快速理清逻辑关系。技巧解题：“定义域优先+分类讨论”技巧技巧：解决对数不等式问题时，先保证对数有意义（真数大于0、底数大于0且不等于1），这是前提；再根据底数与1的大小关系分类讨论函数单调性，将对数不等式转化为普通不等式，最后求解集的交集。适用场景：对数不等式、比较对数大小等涉及对数函数单调性的题目，高考解答题中档问。（四）高考真题解析（20分钟）（2024·浙江杭州，3分）已知log2a=3A．6B．8C．9D．16答案：B解析：根据对数定义，log2a=3等价于2（2024·四川成都，3分）计算lg100+lneA．2B．3C．4D．5答案：C解析：lg100=lg102=2，ln（2023·山东青岛，3分）函数y=logA．1+∞B．1+∞C．−∞答案：A解析：对数函数的真数大于0，即x−1>0，解得x>1，故定义域为1+∞（2023·湖北武汉，3分）比较大小：log34与A．log34>log35答案：C解析：函数y=log3x是增函数，因为4<5（2022·江苏苏州，4分）计算log答案：1解析：log28=log223=3（2022·湖南长沙，3分）若loga2<loga3（A．01B．1+∞C．0答案：B解析：因为2<3且loga2<loga（2021·陕西西安，4分）已知2m=5，2n=3，则log答案：2m−n解析：25=52=2m（2021·河南郑州，3分）计算logA．1B．2C．3D．4答案：C（2020·辽宁沈阳，3分）函数y=logA．RB．0+∞C．−∞0答案：A解析：令t=x2−1，则t>0，函数y=log2t的定义域为（2020·江西南昌，4分）已知函数fx=logax+1（a>0且a≠1）的图像过点1答案：2；lo解析：函数过点11，则loga1+1=1，即lo四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-3分）：对数概念辨析、指数式与对数式互化、对数基本性质应用（选择/填空）。中档题（3-5分）：对数运算法则、换底公式的应用，对数函数的定义域、值域、单调性应用（填空/解答题基础问）。高档题（4-6分）：对数与指数的综合应用、对数函数与其他函数（一次函数、二次函数）的结合、对数不等式的求解、实际情境中的对数应用（解答题中档问）。命题趋势：从“纯概念计算”到“综合应用”：逐渐减少单一知识点的考查，增加对数与指数、函数、方程、不等式的综合题型，强调知识的融会贯通。从“基础运算”到“能力立意”：注重考查学生的逻辑推理、数学运算和转化与化归能力，尤其是换底公式的灵活运用和对数函数单调性的综合应用。情境化命题：偶尔结合实际情境（如pH值计算、增长率问题、衰减问题）考查对数的实际应用，强调数学与生活的联系。细节考查：重视对数的定义域、底数和真数的取值范围等细节，这是学生易失分的点。解题技巧总览：基础题：定义法（直接利用对数定义和性质）、互化法（指数式与对数式互化）、公式法（直接套用基本运算法则）。中档题：换底公式法（统一底数）、分类讨论法（对数函数单调性）、整体换元法（处理复合对数函数）。高档题：转化与化归法（将对数问题转化为指数问题或代数问题）、数形结合法（利用对数函数图像分析问题）、综合分析法（结合多个知识点逐步推导）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2024·云南昆明，3分）计算logA．1B．2C．3D．4答案：A解析：log525=2，lo（2023·广西南宁，3分）函数y=ln3−2xA．−∞32B．32+∞答案：A解析：真数大于0，即3−2x>0，解得x<3（2022·贵州贵阳，3分）比较log0.50.6A．log0.5C．log答案：A解析：函数y=log0.5x是减函数，0.6<0.7（2021·甘肃兰州，4分）已知log3x=2，则x=答案：9；4解析：log3x=2等价于32=x（2020·海南海口，3分）若loga14<logaA．01B．1+∞C．0答案：A解析：14>15且log（2024·安徽合肥，4分）计算log答案：−解析：log28=log223六、课堂小结（5分钟）核心知识：对数的概念、指数式与对数式的互化、对数的性质和运算法则、换底公式、对数函数的图像与性质。解题方法：一题多解（常规法+拓展法）、技巧解题（换底约分、分类讨论、定义域优先、对数恒等式应用）。高考策略：基础题保分（熟练掌握概念、互化和基本运算），中档题稳分（灵活运用运算法则和函数性质），高档题突破（强化综合分析和转化能力），注重细节（定义域、底数范围）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.2中所有概念辨析、简单运算和定义域、值域求解题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题。提高层：完成2021-2024高考对数相关真题汇编（侧重运算法则和函数性质综合题型）；整理错题本，分析错误原因（如概念混淆、运算法则误用、定义域遗漏、分类讨论不全面等）。拓展层：设计一道对数与指数结合的综合题，或结合实际情境（如pH值、增长率）编写一道对数应用题目，要求包含多种解法和解题技巧，并写出详细解答过程；尝试推导换底公式的多种方法。八、教学反思需关注学生对对数概念的理解，尤其是对数与指数的互化关系，部分学生容易混淆指数式和对数式中各量的对应关系，可通过多组实例对比强化记忆。对数运算法则的应用是重点也是难点，学生容易出现“乘变乘、除变除”等法则误用的情况，需通过大量基础练习巩固法则，同时强调法则的适用条件（真数大于0、底数大于0且不等于1）。换底公式的推导和应用较为抽象，学生掌握起来难度较大，可通过具体例题展示换底公式的作用，让学生理解“统一底数”的核心思想，再逐步讲解推导过程。对数函数的单调性应用中，学生容易忽略定义域的限制，直接转化不等式，导致解题错误，需在例题和练习中反复强调“定义域优先”的原则，强化分类讨论的意识。情境化题目中，学生对实际背景的理解存在差异，导致无法将实际问题转化为对数问题，需结合更多生活实例（如地震震级、声音响度、溶液pH值）帮助学生建立情境与数学知识的联系。课堂练习可增加1-2道对数与二次函数结合的综合型高考真题，进一步提升学生的综合解题能力；课后可布置实践类作业（如查询pH值与氢离子浓度的关系，计算不同pH值对应的氢离子浓度），深化知识应用。部分学生对数的运算能力较弱，影响对数计算的准确性，可在课前适当复习指数运算法则，为对数运算奠定基础；课堂中可增加口算、速算练习，提升运算速度和准确率。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(43)23+(32(2)∵xlog32=1,∴x=log23,∴2x+2-x=2log23+(3)∵a=lg