8.2 三角恒等变换 教案

8.2三角恒等变换教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，半角公式，积化和差、和差化积公式及辅助角公式，能熟练进行公式的正用、逆用与变形应用。能运用三角恒等变换公式进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明，掌握常见的变换技巧（如齐次化、角的配凑、辅助角转化）。结合高考命题规律，提升数形结合、逻辑推理和运算求解能力，能解决与三角函数性质、解析几何结合的综合问题。培养严谨的运算习惯，注重公式应用的准确性和变换的合理性，体会三角恒等变换的工具性作用。二、教学重难点（一）教学重点核心公式的记忆与灵活应用（两角和差、二倍角、辅助角公式）。三角函数式的化简、求值、恒等式证明的基本思路与技巧。高考常考题型（给角求值、给值求值、给值求角、化简证明）的解题方法。（二）教学难点角的配凑与转化（如α=α+β−β、公式的逆用与变形（如两角和正切的变形式、二倍角公式的降幂变形）。与三角函数性质、解析几何、向量结合的综合题建模与变换。含参数问题的分类讨论与符号判断。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心公式：￮两角和与差公式：余弦：cos正弦：sin正切：tanα±β=tan￮二倍角公式：正弦：sin余弦：cos2α=cos2α−sin正切：tan￮辅助角公式：asinx+b￮半角公式（常用）：sinα2=±1−￮积化和差与和差化积公式（了解应用）：积化和差：sinα和差化积：sinx+关键技巧速记：￮角的配凑：“大角拆小角，复角变单角”（如75∘=45￮化简原则：“降幂、化单角、消去差异”（函数名、角、次数的差异）。￮求值策略：“先定范围，再定符号，最后求值”。（二）考点考频及常考题型1.给角求值（考频：10年9考，近5年全覆盖）①考频分析•基础必考点，多在选择题、填空题出现，分值5分，难度低-中档。•核心考查特殊角的和差、二倍角公式应用，或非特殊角转化为特殊角。②常考题型：直接求值或化简求值（占比100%）2.给值求值/给值求角（考频：10年10考，近5年全覆盖）①考频分析•核心必考点，覆盖选择、填空、解答题，分值5-12分，难度中档。•核心考查角的配凑、公式逆用，结合同角三角函数关系。②常考题型：已知单角或复角的三角函数值，求目标角的三角函数值或角（占比100%）3.三角函数式化简与证明（考频：10年8考，近4年稳定考查）①考频分析•中档考点，多在解答题基础问出现，分值4-6分，难度中档。•核心考查公式变形、降幂、辅助角转化，注重变换的合理性。②常考题型：化简三角函数式、证明三角恒等式（占比100%）4.辅助角公式应用（考频：10年10考，近5年全覆盖）①考频分析•高频考点，覆盖选择、填空、解答题，分值5-8分，难度中档。•核心考查asin②常考题型：函数解析式化简、性质求解（占比100%）（三）经典例题解析（30分钟）例题1：给角求值（基础题·一题多解）题目：求cos105解法1：两角和余弦公式（常规法）•步骤：a.拆角：105∘b.代入公式：cos60c.计算：12•核心依据：两角和的余弦公式，将非特殊角转化为特殊角的和。解法2：两角差余弦公式（拓展法）•步骤：a.拆角：105∘=180b.代入公式：cos135c.计算：−2•核心依据：两角差的余弦公式，灵活选择拆角方式，验证结果一致性。技巧解题：“特殊角拆凑”技巧•技巧：给角求值时，优先将非特殊角拆为30°、45°、60°、90°等特殊角的和或差，再代入公式计算；注意角的范围对符号的影响（本题无符号争议）。•适用场景：所有给角求值问题，高考选择、填空题速解。例题2：给值求值（中档题·一题多解）题目：已知sinα=35，α∈解法1：直接代入公式法（常规法）•步骤：a.求cosα：由sin2α+cos2b.代入两角和正弦公式：sinα+c.计算：35•核心依据：两角和正弦公式，先求所需的同角三角函数值，再代入计算。解法2：辅助角公式变形（拓展法）•步骤：a.整理目标式：sinα+b.同解法1求cosα=−c.计算：22•核心依据：将两角和公式提前变形，简化计算步骤，适合快速求解。技巧解题：“先求所需，再代公式”技巧•技巧：给值求值时，先根据目标公式确定需要的已知角的三角函数值（如本题需要cosα•适用场景：所有给值求值问题，高考解答题规范解题。例题3：辅助角公式应用（中档题·一题多解）题目：将函数fx解法1：辅助角公式直接法（常规法）•步骤：a.确定参数：a=3，b=4，则a2b.求\varphi：tanφ=bc.转化：fxd.求性质：最大值为5，周期T=2π。•核心依据：辅助角公式asin解法2：三角恒等变换验证法（拓展法）•步骤：a.设3sinb.对比系数：Ccosφ=3c.平方相加：C2(cosd.求φ：cosφ=35，•核心依据：通过待定系数法推导辅助角公式，强化对公式的理解，避免死记硬背。技巧解题：“辅助角公式三步骤”技巧•技巧：第一步算“模长”a2+b2，第二步求“相位”φ=arctanba•适用场景：所有asin（四）高考真题解析（15分钟）（2024·新高考全国Ⅰ卷，5分）已知tanα=2，则sinA．2B．4C．6D．8答案：B解析：齐次化处理，sin2α（2023·全国甲卷，5分）若sinα−π4A．−13B．13C．答案：A解析：角的配凑，α+π4=（2022·全国Ⅰ卷，5分）函数fxA．π和2B．2π和2C．π和2D．2π和2答案：B解析：辅助角公式，fx=2sinx+（2021·新高考全国Ⅱ卷，5分）已知sinθ+cosθ=15A．−43B．−34答案：A解析：平方得1+2sinθcosθ=125，故sinθcosθ=−1225；结合θ∈（2020·全国Ⅰ卷，10分）已知函数fx（1）函数fx（2）函数fx在区间0答案：（1）2π；（2）最大值1，最小值−解析：（1）fx=2sinx−π4，周期T=2π；（2）x∈0π（2019·全国Ⅱ卷，5分）已知α∈π2π，sinA．−1010B．1010C．答案：A解析：cosα=−25（2018·全国Ⅰ卷，5分）已知函数fxA．fx的最小正周期为πB．fx的最小正周期为πC．fx的最小正周期为2πD．fx的最小正周期为2π答案：B解析：降幂变形，fx=2×1+cos2x（2017·全国Ⅲ卷，5分）已知sinα−cosα=A．−79B．−29答案：A解析：平方得1−2sin2α=16（2024·浙江卷，6分）化简：sinπ−α答案：tan解析：利用诱导公式化简，sinπ−α=sinα，cosπ2（2023·浙江卷，10分）已知函数fx（1）fx（2）fx在区间0答案：（1）π；（2）0解析：（1）化简fx=sin2x+cos2x=2sin2x+π4四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：￮基础题（5分）：给角求值、简单给值求值、辅助角公式应用（选择/填空）。￮中档题（5-10分）：复杂给值求值、三角函数式化简、函数性质求解（选择/填空/解答题基础问）。￮综合题（10-12分）：与三角函数图像性质、解析几何、向量结合的综合应用（解答题）。命题趋势：￮从“单一公式应用”到“综合变形”：强调公式的逆用、变形，角的配凑技巧，如齐次化、降幂、辅助角转化。￮从“纯运算”到“性质关联”：化简后常结合三角函数的周期、最值、单调区间考查，注重数形结合。￮强调“基础核心”：两角和差、二倍角、辅助角公式是永恒考点，复杂题均围绕这些核心展开，注重运算准确性。解题技巧总览：￮基础题：公式直接法（给角求值）、辅助角公式法（函数变形）。￮中档题：角的配凑法（给值求值）、齐次化法（分式求值）、降幂变形法（化简）。￮综合题：先化简再分析（性质问题）、数形结合法（图像关联）、分类讨论法（含参数问题）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024·四川卷，5分）已知cosα=35A．−725B．725C．答案：A解析：二倍角公式，cos（2023·山东卷，5分）函数fxA．5B．6C．7D．8答案：A解析：辅助角公式，f(x)=5sin（2022·福建卷，5分）已知tanα+π4A．13B．−13C．答案：A解析：两角和正切公式，tanα+11−tan（2021·安徽卷，5分）化简：sinα+βA．sinαB．cosαC．sin答案：A解析：两角差正弦公式，原式=sin（2020·江西卷，10分）已知α∈0π2，sin答案：0解析：α=π6，六、课堂小结（5分钟）核心知识：三角恒等变换的核心公式（两角和差、二倍角、辅助角），角的配凑、公式变形技巧。解题方法：一题多解（公式正用与逆用、直接法与变形法）、技巧解题（辅助角公式、齐次化、降幂变形）。高考策略：基础题保分（熟练掌握核心公式），中档题稳分（规范变换步骤、准确判断符号），综合题突破（先化简再分析、数形结合）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题8.2中给角求值、简单化简题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题，确保运算准确。提高层：完成2021-2024高考“三角恒等变换”相关真题汇编（侧重给值求值、函数性质）；整理错题本，标注错误原因（如公式混淆、角的配凑错误、符号判断失误）。拓展层：设计一道含参数的三角恒等变换综合题（如给值求值结合范围讨论），编写解答过程；探究三角恒等变换在物理中的应用（如振动方程化简），撰写简短分析。八、教学反思需关注学生对公式的记忆与灵活应用，部分学生易死记硬背公式，忽略逆用和变形，可通过多举例、多练习强化公式的双向应用。角的配凑是难点，学生易找不到合适的拆角方式，需总结常见的拆角模型（如α=α+β−β、符号判断是易错点，学生常忽略角的范围对三角函数值符号的影响，需在例题和练习中强调“先定范围，再定符号”的原则。综合题中，学生易在化简后忘记结合三角函数性质，需强化“化简先行，性质跟进”的解题思路，将恒等变换与性质分析紧密结合。课堂可增加1-2道与向量、解析几何结合的综合题，提升学生的跨模块应用能力；课后可布置实践类作业（如用三角恒等变换化简实际问题中的函数表达式），深化知识的应用意识。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[河北邢台月考]已知向量a,b,下列条件中,能得到a=b的是()A.|a|=|b|B.a与b的方向相同C.a=0,b为任意向量D.a=0且b=02.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是()A.35,-4C.-45,3.在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()A.1 B.2 C.5 D.34.[广东潮州检测]已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角的余弦值为()A.55 B.255 C.105.[北京海淀期末]已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b与c共线,则k=()A.1 B.3 C.12 D.6.[天津和平三模]如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,AD=23cosA的值为()A.66 B.306 C.637.[2022新高考Ⅱ卷,4]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=()A.-6 B.-5 C.5 D.68.[湖南娄底模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3sinB+2cos2B2=3,cosBb+cosCA.12π B.16π C.24π D.64π二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有()A.(a+2b)∥cB.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10D.|a+c|=2|b|10.[四川成都青羊月考]如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若BM=λBE+μBD,则λ+μ的值可以是()A.32 B.12 C.111.已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是()A.5 B.6 C.7 D.812.在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是()A.A+B=πB.|tanA|=cosBcosC.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+2tanA+tanD.sin2A+sin2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为3π4,则F3的大小为14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

15.已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,则|a-b|=.

16.[2022全国甲,理16]已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).(1)求a·b,|a+b|;(2)求a与b的夹角的余弦值.18.(12分)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.19.(12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行202海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.20.(12分)[江西赣州章贡期中]如图,在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.(1)用AB和AC分别表示(2)若直线EF交AB于点E,交AM于点G,交AC于点F,AE=λAB,AF=μAC(λ,μ均为正实数),AG=2GM,求λ+2μ21.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.22.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.参考答案课后测评1.D由|a|=|b|,可得它们的模相等,但方向不确定,故不能推出a=b,故排除A;a与b的方向相同,但不知它们的模是否相等,故不能推出a=b,故排除B;由于零向量的模为零,而|b|不一定为零,故排除C;由于所有的零向量都相等,故D正确.2.A∵A(4,1),B(7,-3),∴AB=(3,-4),故与向量AB同向的单位向量为AB|AB|=3.D设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.4.C设a与b夹角为θ,由b=(1,3),得|b|=1+9=10,又|a|=2,a·b=4,∴cosθ=5.Aa-2b=(3,3),由a-2b与c共线得3·3=3k⇒k=6.AMN=MD+DB+BN=12ED+13AB+12BC=12(AD−AE)+13AB+12(AC−AB)=1223AB−137.C由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|故选C.8.B因为3sinB+2cos2B2=3,所以3sinB+2·1+cosB2=3,所以3sinB+cosB=2,即sinB+π6=1,又B∈(0,π),所以B+π6∈π6,7π6,所以B+π6=π2,解得B=π3.因为cosBb+cosCc=sinAsinB6sinC,由余弦定理得a2+c2-b22bac+a2+b2-c22cab=sinAsinB6sinC9.ADa+2b=(-3,5),故A正确,B错误;|a+c|=(1+3)2+(3-5)2=25=2故选AD.10.ACD已知在正方形ABCD中,E为AB的中点,M为线段AD上的动点,设AM=kAD,其中0≤k≤1,则BM−BA=k(BD−BA),所以BM=(1-k)BA+kBD,因为E为BA的中点,则BA=2BE,所以BM=2(1-k)BE+kBD,又因为BM=λBE+μBD且BE,BD不共线,则λ=2(1-k),μ=k11.ABC在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即4sin30°=bsinB,解得sinB=b8.由题意知,当sinB∈12,1时,满足条件的△ABC有两个,12.BC对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cosB|=|sinA|,可得A+B=π2或A-B=π2,故A错误;对于B,由|cosB|=|sinA|,得|tanA|=cosBcosA,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tanAtanB=-1,所以A,B中必有一角大于π2,所以C∈0,π2,tanC>0,所以tan(A+B)+2tanA+tanB=-tanC+2(tanAtanB-1)·tanC=-tanC+1tanC≤-2,当且仅当tanC=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=4sinAsin13.1∵三个力F1,F2,F3处于平衡状态,∴F1+F2=-F3,∵|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为3π4,∴F32=(F1+F2)2=F12+F22+2F1·F2=1+2∴F3的大小为1.14.22由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.15.3由a+b+c=0,得a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2.∵a,b,c是单位向量,∴a·b=-12∴|a-b|=(a16.3-1(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,3),B(-t,0),AC2AB2=(2t-1)2+3(t+1)2+3=4-12t+1+3t+1≥4(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t2-4t17.解(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10,a+b=(7,-1),所以|a+b|=72+(-1(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·18.解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.故b=(3,6),c=(2,-1).(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=(-1)2+(-2∴cos<m,n>=m·n|又0≤<m,n>≤π,∴向量m,n