2027届新高考数学热点突破复习抽象函数求解模型化

2027届新高考数学热点突破复习抽象函数求解模型化所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些

特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函

数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等

函数为背景抽象而得到的，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模

型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比猜想出它可能为某种基

本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，会起到事半功倍的效果.常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：基本初等函数模型抽象函数性质一次函数f（x）＝kx＋b

（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b二次函数f（x）＝ax2＋

bx＋c（a≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c幂函数f（x）＝xn基本初等函数模型抽象函数性质指数函数f（x）＝ax（a

＞0且a≠1）对数函数f（x）＝logax

（a＞0且a≠1）余弦函数f（x）＝A

cos

ωx（Aω≠0）正切函数f（x）＝tan

x

一次函数模型

〔一题多解〕（2026·重庆学业质量调研）已知定义在R上的函数f

（x）满足：f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0.

则关于x的不等式f（x2）＋f（2x）≥0的解集为（

）A.

[－2，0]B.

[0，2]C.

（－∞，－2]∪[0，＋∞）D.

（－∞，0]∪[2，＋∞）√解析：

法一（常规解法）

由题意得f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）

＋f（x2），即f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2），不妨令x1＞x2，则x1－x2

＞0，所以f（x1－x2）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f

（x2），故f（x）在R上是减函数.在f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）

中，令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），得f（0）＝0.令x1＝x，

x2＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x），所以f（x）＋f（－x）

＝0，故f（x）是奇函数.由f（x2）＋f（2x）≥0，得f（x2）≥－f

（2x），即f（x2）≥f（－2x），所以x2≤－2x，解得－2≤x≤0，即

x∈[－2，0].故选A.

法二（模型解法）

因为f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），所以可令f

（x）＝kx，又当x＞0时，f（x）＜0，所以k＜0，所以f（x2）＋f（2x）

≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2，

0].故选A.

二次函数模型

〔一题多解〕定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f

（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（

）A.2B.3C.6D.9√解析：

法一（常规解法）

f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f（－

1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，所以f（0）＝0，又f（0）＝f（1

－1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6.法二（模型解法）

由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f

（x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－

3）＝6.

幂函数模型

[0，2]

指数函数模型

〔一题多解〕已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f

（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时，f

（x）的取值范围为

⁠.（0，1）

对数函数模型

〔一题多解〕已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满

足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，

则x的取值范围为

⁠.

（3，4]

余弦函数模型

A.

－3B.

－2C.0D.1√

1.

已知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且xf（x）＝

（y＋1）f（y＋1），则（

）A.

f（x）≥0B.

f（1）＝1C.

f（x）是偶函数D.

f（x）没有极值点√

2.

〔一题多解〕已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）

＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n

（n∈N*）的n的个数是（

）A.1B.2C.3D.4√

3.

（2026·河南焦作质检）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x1，

x2∈R都有f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2），则下列结论一定正确的是

（

）A.

f（x）是偶函数B.

f（x）是周期函数C.

存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x）D.

对任意m∈R，存在x0∈R，使得f（x0）＝m√

4.

〔一题多解〕〔多选〕（2026·江西南昌模拟）已知函数f（x）对任意

的x，y∈R，都有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y），且f（0）

≠0，f（2）＝－1，则（

）A.

f（0）＝1B.

f（x）是奇函数C.

f（x）的周期为4√√√

log2x（答案不唯一）

6.

〔一题多解〕已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f

（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等

式f（a2－2a－2）＜3的解集为

⁠.解析：法一（常规解法）

设x1＜x2，则x2

－x1＞0，∵当x＞0时，f（x）

＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）

＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f

（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f

（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f

（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等

式的解集为{a｜－1＜a＜3}.{a｜－1＜a＜3}

法二（模型解法）

由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝

f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x