面面垂直的判定

平面与平面垂直的判定*问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

思考：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？发射人造卫星、修水坝、建造房屋等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？想一想

AOBBBBBBB

角两个面组成的图形?平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。1、半平面：2、二面角：半平面及二面角的定义棱面面半平面半平面2、二面角的记法：面1－棱－面2（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：

（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：AB二面角的画法与记法l

AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—

或二面角—AB—

图形角与二面角的比较

上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定？注意二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10

lOAB

AOB二、二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。==?

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为[0°,180°]。

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.记作:三、两个平面互相垂直（表示两平面的平行四边形有一组边互相垂直）问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

已知：AB⊥β，ABα求证：α⊥β.∪

证明：αβCDABE在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，设α∩β=CD,则B∈CD.∪∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD.∪∵AB⊥β，BEβ，∴AB⊥BE.∴二面角α--CD--β是直二面角，∴α⊥β.αβCDABE线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.证明面面垂直的本质和关键是什么？本质：线面垂直面面垂直关键：找垂直平面的线三、两个平面垂直的判定定理课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一ABCDA1B1C1D1例1:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：变式:（1）找出二面角A-BD-A1的平面角；（2）求二面角B-CC1-A1的大小.∠AOA145°例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：PABCO（选讲）例3：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小.练习1：AB⊥平面BCD,BC⊥CD问：(1)图中哪些面互相垂直,为什么？(2)图中有几个直角三角形？并证明之.ABCD答案：四个面都是直角三角形练习2、如图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE练习3：如图，已知三棱锥的三个侧面与底面是四个全等的三角形，，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：

①定义法②