北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 压轴题专题训练

北师大版八年级数学上册第四章一次函数压轴题专题训练一次函数作为初中数学的重要基石，不仅是后续学习反比例函数、二次函数的基础，其自身也蕴含着丰富的数学思想与方法。在各类考试中，以一次函数为背景的压轴题更是屡见不鲜，这类题目往往融合了代数计算与几何直观，对同学们的综合分析能力和问题解决能力提出了较高要求。本专题旨在通过对一次函数核心知识的梳理、常见压轴题型的剖析以及解题策略的归纳，帮助同学们提升应对此类难题的信心与能力。一、一次函数核心知识回顾与深化要攻克一次函数的压轴题，首先必须对其核心概念和性质有深刻的理解和灵活的运用。1.函数的定义与表示：深刻理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的含义。掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，并能根据实际情境选择合适的表示方法，实现三者之间的转化。2.一次函数的表达式：形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，即y=kx(k≠0)，是正比例函数，是特殊的一次函数。要明确表达式中k和b的几何意义与代数意义。3.一次函数的图像与性质：*图像：一次函数的图像是一条直线。绘制图像时，通常选取与坐标轴的两个交点（(0,b)和(-b/k,0)，当k≠0时）较为简便。*性质：*k的作用：k决定了直线的倾斜方向和倾斜程度。k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。|k|越大，直线越陡。*b的作用：b是直线与y轴交点的纵坐标，即直线在y轴上的截距。4.一次函数与方程、不等式的关系：*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。*一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（或下方）部分所对应的x的取值范围，就是一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集。*两条直线的交点坐标，就是由这两条直线的表达式所组成的二元一次方程组的解。二、一次函数压轴题常见类型与解题策略一次函数压轴题形式多样，但万变不离其宗。常见的类型主要有以下几种：（一）动态几何与一次函数结合这类题目通常涉及一个或多个动点在直线、射线或线段上运动，探究动点运动过程中，某些几何量（如线段长度、图形面积、角度等）与时间t之间的函数关系，并根据函数关系解决相关问题。解题策略：1.化动为静，分类讨论：明确动点的运动轨迹、速度、起点、终点及运动时间范围。将运动过程按关键位置（如相遇、转折、特殊图形形成等）分割成不同阶段，分别研究每个阶段的情况。2.数形结合，建立模型：根据图形的性质（如全等、相似、勾股定理、面积公式等），用含t的代数式表示出相关线段的长度或图形的面积，从而建立函数关系式。注意自变量t的取值范围要与每个阶段对应。3.利用函数性质，解决问题：得到函数关系式后，根据题目要求（如求最值、判断图形形状、求特定值等），结合一次函数的性质（增减性、与坐标轴交点等）进行求解。（二）一次函数与图形面积这类题目通常给出一次函数的图像（或表达式），要求求出图像与坐标轴围成的图形面积，或图像与其他直线围成的图形面积，有时也会反过来，已知面积求函数表达式中的参数或点的坐标。解题策略：1.求出关键点坐标：如函数图像与坐标轴的交点、两条直线的交点等，这些点的坐标是计算面积的基础。2.选择合适的面积公式：根据图形的形状（通常是三角形或四边形）选择面积公式。对于三角形，若以坐标轴上的线段为底，则高容易求得。3.“割补法”的灵活运用：对于不规则图形，通常采用“割”或“补”的方法，将其转化为几个规则图形（如三角形、矩形）的面积之和或差。4.注意坐标符号与线段长度的转化：坐标可能为负，但线段长度为正，计算时需取绝对值或根据图形判断正负。（三）一次函数与方案选择/最值问题这类题目常常结合实际生活情境，如购物、运输、生产等，需要根据题意列出两个或多个一次函数关系式，然后通过比较函数值的大小来确定最优方案，或利用一次函数的增减性求最值。解题策略：1.仔细审题，明确变量：找出题目中的自变量和因变量，通常自变量是影响方案的某一因素（如购买数量、运输路程等），因变量是费用、利润等。2.根据题意，列出函数关系式：针对不同的方案，分别列出对应的一次函数表达式，并注明自变量的取值范围（往往由实际意义决定）。3.求解函数交点，划分区间：求出不同函数图像的交点坐标，这些交点是函数值大小关系发生变化的临界点。4.分类讨论，确定最优方案：在各个区间内比较不同函数值的大小，或根据一次函数的增减性（k的正负）确定在自变量取值范围内的最值，从而选择最优方案。（四）一次函数与几何变换这类题目会涉及一次函数图像的平移、对称（关于x轴、y轴、原点或某条直线）等几何变换，要求求出变换后所得图像的函数表达式，或研究变换前后图像的性质关系。解题策略：1.掌握变换规律：*平移：“上加下减常数项，左加右减自变量”。即对于y=kx+b，向上平移m个单位得y=kx+b+m，向下平移m个单位得y=kx+b-m；向左平移n个单位得y=k(x+n)+b，向右平移n个单位得y=k(x-n)+b。*对称：关于x轴对称，将y变为-y；关于y轴对称，将x变为-x；关于原点对称，将x变为-x，y变为-y。可通过找原函数图像上的两个关键点（如与坐标轴交点），求出其对称点坐标，再用待定系数法求出对称后的函数表达式。2.待定系数法的应用：若变换规律不熟悉，可先求出原函数图像上两个点变换后的坐标，再设出变换后函数的一般形式（仍为一次函数，k值可能不变或改变，视变换类型而定），代入点的坐标求解。三、典型例题精析例题1（动态几何与一次函数结合）：如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B。点P(m,0)是x轴上的一个动点（点P不与点A重合），过点P作x轴的垂线，交直线l1于点C，连接BC。设线段PC的长度为d，求d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。分析与解答：首先，我们需要明确点A和点B的坐标，这是解决问题的基础。对于直线l1：y=-x+6，令y=0，则-x+6=0，解得x=6，所以点A的坐标为(6,0)。令x=0，则y=6，所以点B的坐标为(0,6)。点P(m,0)在x轴上，过点P作x轴的垂线，此垂线的方程为x=m。这条垂线与直线l1交于点C，所以点C的横坐标也是m。将x=m代入直线l1的方程y=-x+6，可得点C的纵坐标为y=-m+6。因此，点C的坐标为(m,-m+6)。线段PC是点P(m,0)和点C(m,-m+6)之间的距离。由于PC垂直于x轴，两点的横坐标相同，所以PC的长度d就等于两点纵坐标差的绝对值。即：d=|(-m+6)-0|=|-m+6|=|m-6|。接下来考虑自变量m的取值范围。题目中明确点P不与点A重合，点A的坐标是(6,0)，所以m≠6。又因为点P是x轴上的动点，理论上m可以取任意实数，但PC的长度d是一个非负数，而|m-6|本身对于任意实数m都有意义且非负。因此，自变量m的取值范围是m≠6的全体实数，即m∈R且m≠6。反思：本题的关键在于用含m的代数式表示出点C的坐标，然后利用两点间距离公式（由于是垂直于坐标轴的线段，简化为坐标差的绝对值）求出PC的长度。特别要注意绝对值的处理，以及自变量的取值范围要考虑实际情况（点P不与A重合）。例题2（一次函数与图形面积）：已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B。(1)求点A、点B的坐标；(2)求直线AB与两坐标轴围成的三角形AOB的面积；(3)若点C在x轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。分析与解答：(1)对于直线y=2x+4：令y=0，则2x+4=0，解得x=-2，所以点A的坐标为(-2,0)。令x=0，则y=4，所以点B的坐标为(0,4)。(2)直线AB与两坐标轴围成的三角形AOB，其中O为坐标原点(0,0)。OA是点A到原点的距离，A点坐标(-2,0)，所以OA=|-2|=2。OB是点B到原点的距离，B点坐标(0,4)，所以OB=|4|=4。三角形AOB是直角三角形，∠AOB为直角，所以其面积S=(OA×OB)/2=(2×4)/2=4。(3)点C在x轴上，设点C的坐标为(c,0)。已知△ABC的面积为12。点A(-2,0)，点B(0,4)，点C(c,0)。观察可知，点A和点C都在x轴上，因此线段AC可以作为△ABC的底边。AC的长度为|c-(-2)|=|c+2|。底边AC上的高，就是点B到x轴的距离，因为x轴是底边AC所在的直线。点B的纵坐标为4，所以高为4。根据三角形面积公式：S=(底×高)/2，可得：12=(|c+2|×4)/2化简得：12=2|c+2|两边同时除以2：6=|c+2|所以c+2=6或c+2=-6解得c=4或c=-8。因此，点C的坐标为(4,0)或(-8,0)。反思：第(3)问中，关键在于确定以AC为底边，其长度用含c的绝对值表示，高则是点B的纵坐标的绝对值（因为B到x轴的距离就是其纵坐标的绝对值，这里B在y轴正半轴，所以就是4）。解方程时要注意绝对值方程有两个解，对应点C在点A左侧或右侧两种情况。四、专题训练题1.已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(2,0)和点B(0,-3)。(1)求此一次函数的表达式；(2)若点P(x,y)是该函数图像上的一个动点，且点P在第一象限内，过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，设矩形PDOE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值。2.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)。(1)求b的值及点P的坐标；(2)若直线l2经过点Q(-1,2)，求直线l2的表达式；(3)直接写出当x取何值时，l1的函数值大于l2的函数值。3.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的八五折优惠。设顾客累计购物x元（x>300）。(1)分别写出在甲、乙两家超市购物所付的费用y甲、y乙与x之间的函数关系式；(2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明理由。4.在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B。点C是线段AB上一个动点（不与A、B重合）。(1)求A、B两点的坐标；(2)过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，设矩形CDOE的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值。5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)。(1)求直线BC的函数表达式；(2)点P是直线BC上的一个动点，当△AOP的面积为2时，求点P的坐标。6.已知直线y=2x+1。(1)求将此直线向右平移2个单位长度后得到的直线表达式；(2)求将此直线关于x轴对称后得到的直线表达式。五、总结与提升一次函数的压轴题虽然形式多变，但核心始终围绕着一次函数的表达式、图像、性质以及与其他数学知识（如几何图形、方程不等式、实际应用）的综合运用。要想熟练掌握这类题目的解法，同学们在平时的学习中应注意以下几点：1.夯实基础，深刻理解：对一次函数的定义、图像、性质（特别是k和b的作用）要烂熟于心，这是解决一切综合题的前提。2.数形结合，直观感知：时刻不忘“数”与“形”的联系，看到函数表达式要能联想到其图像的大致形状和位置；看到图像要能想到对应的函数性质和表达式特征。画图、识图、用图是关键技能。3.勤于思考，善于转化：面对