湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷01人教A版原卷版

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷01数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（

）A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（

）A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，44．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（

）A． B． C． D．5．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的形状一定是（

）A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰钝角三角形 D．不确定的6．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形7．如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．8．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．下列说法中正确的是（

）A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内B．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行C．若直线不在平面内，则直线平行于平面D．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线10．某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（

）A．B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c为连续正整数，且，则下列说法正确的是（

）A．存在唯一的，使得B．存在唯一的，使得C．存在唯一的，使得D．不存在，使得三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知向量的夹角为，，则＝______．13．已知复数z满足，则的最小值是__________14．在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P－BD－C的大小为，则四面体PBCD的外接球的表面积为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知平面内一三角形，点为其外心.(1)点为边的中点，，，求的值；(2)若过点的直线分别交边、于点，证明：.16．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．17．已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.(1)求的单调递减区间；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.18．已知直三棱柱面为的中点.

(1)证明：平面；(2)若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值.19．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为