湖南省湘西自治州2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版版）

湖南省湘西自治州2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DBDBBACDBCAD题号11答案ACD1．D【解析】根据已知，利用，可得，即得.【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.故选：D【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.2．B【分析】将新数据的方差表示为关于m的函数，通过配方法求最小值.【详解】插入一个数m后，平均数为，化简，得，当时，取最小值.3．D【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值.【详解】①当时，．因为，所以．因为，所以不符合题意．②当时，．因为，所以．因为，即，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值是．4．B【分析】应用捆绑法解决相邻问题，应用间接法解决不相邻计算求解.【详解】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法．将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法，所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）．5．B【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有＝126种选法，其中只有男生没有女生的选法有＝5种，只有女生没有男生的选法有＝1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，灵活利用间接法，属于基础题．6．A【分析】由，则，从而可求解.【详解】因为，所以，又，所以.故选：A.7．C【分析】先用分步乘法计数原理得到共有6种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，从而得到概率.【详解】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为.故选：C8．D【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性并求出m，再逐项判断得解.【详解】函数的定义域为R，由，得，函数f(x)是R上的偶函数，即，则，，对于AB，，AB错误；对于C，当时，，当时，令，求导得，函数在(0,+∞)上单调递增，，函数无零点，C错误；对于D，函数有唯一零点0，D正确.故选：D9．BC【分析】对于A，命题的前提发生变化；对于B，求出满足条件的集合个数即可；对于C，由题意计算出即可判断；对于D，先求出a，再算出即可判断.【详解】对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，所以命题“，”的否定是，，故选项A错误；对于B，满足的集合M的个数为，故选项B正确；对于C，，，所以，故选项C正确；对于D，已知指数函数（且）的图象过点，所以，所以，故选项D错误.故选：BC.10．AD【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间向量判断空间直线、平面的位置关系的方法，可判断A，B；判断为异面直线，可判断C；根据空间直线和平面的垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，可判断D.【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则,则,则，故，即，而平面，故平面，A正确；由于，且没有倍数关系，即两向量不共线，故不平行，B错误；由于平面，平面，,故为异面直线，则B，D，M，N四点不共面，C错误；由于平面，故平面，又平面，故平面平面，D正确，故选：AD11．ACD【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数fx的值域即可.【详解】对于A，当时，则，,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以，故A对.对于B，时，令,解得，由f(x)是定义在R上的奇函数，所以x=−1时，又；故函数f(x)有3个零点，故B不对.对于C，对求导得，所以，故所求切线为，即，所以C对.对于D，当时，，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且当时，，时，所以由f(x)是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.故选：ACD.12．【分析】由题意可得“都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案．【详解】若命题“，都有”是假命题,则“都有”是真命题，当时，不等式为，恒成立，符合题意；当时，要使得，则，解得，综上，实数m的取值范围为.故答案为：.13．/0.4【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及和事件得概率公式，即可求解.【详解】，则，即，解得，故.故答案为：214．1【分析】利用导数分析函数fx的单调性，结合题意得出，进而可得出，令，，利用导数求出函数gt的最大值，即可得解.【详解】因为，则，（i）若，则对任意的恒成立，由f′x<0可得，由f′此时函数fx的减区间为，增区间为，不合乎题意；（ii）若，由可得或，①若，由f′x>0可得或，由f′x<0此时函数fx的增区间为、，减区间为，不合乎题意；②若，由f′x>0可得或，由f′x<0此时函数fx的增区间为、，减区间为，不合乎题意；③当时，对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立，此时函数fx在上为增函数，合乎题意，所以，故，所以，令，，则，由可得，由可得，所以函数gt的增区间为0,1，减区间为，故.综上所述，的最大值为1.故答案为：1.15．(1)；(2).【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解；（2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解.【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于x的方程无实数根.当时，方程无解，符合题意；当a≠0时，，解得.故实数a的取值范围是.（2）由（1）知若命题是真命题，则或.因为命题是命题的必要不充分条件，所以或⫋或，则解得，所以实数m的取值范围是.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.（2）取AB的中点O，作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值.【详解】（1）由平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，得BC⊥平面，而平面，则，又，平面，所以平面．（2）取AB的中点O，连接，由，得，由，，得四边形为平行四边形，，而BC⊥平面，则平面，又平面，则，令，则，，取中点F，连接，则，是二面角的平面角，，，，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.17．(1)认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化(2)分布列见解析，【分析】（1）求出χ2（2）由分层抽样确定5人中来自乙校的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，计算出各概率的分布列，再由期望公式计算期望.【详解】（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异.因为，依据小概率值的χ2独立性检验，没有充分的理由推断不成立，所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．所有数据都扩大10倍后：．依据小概率值的χ2独立性检验，可以认为不成立，即学校与数学成绩有关联结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化.（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名来自乙校．所有可能的取值为0，1，2，知，，，所以的分布列为：012P3故．18．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据表格数据可分别计算出x与y的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知y与x相关程度较高；（2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程.【详解】（1）由题意得，，，，，因此相关系数.即相关系数近似为，y与x负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）由（1）中数据，得，，所以y关于x的回归方程为.19．(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即得切线方程；（2）解法一：将函数求导，根据参数a的取值，判断函数的单调性，验证是否满足条件，可发现在a<0时，需使，用换元后，讨论函数的单调性和零点即得参数a的范围；解法二：将f(x)进行整理，通过换元，从而将不等式化简为恒成立，继而利用其单调性推得，即得，通过求函数的最小值即得参数a的范围.【详解】（1）当时，，函数定义域为(0,+∞)，则，所以，，所以切线方程为，即.（2）解法一：，，，∵，∴，当时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+当时，，不满足恒成立，故舍去；当a<0时，当时，f′(x)=0当时，f′(x)>0，则f(x)在上单调