湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题题号12345678910答案CCDDDDBDADAB题号11答案ACD1．C【详解】对于（1），，由正弦定理得，因为且，所以为锐角，所以只有一解，对于（2），，因为，所以三角形有两个解；对于（3），，由余弦定理可得，则，所以三角形有唯一解；对于（4），，由余弦定理可得，所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解，综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个.2．C【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球.【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确；B选项，如图，该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为，B正确；C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心，设该点为，到这6个正方形距离为，设到8个正三角形的距离为，则，解得，所以该多面体不存在内切球，C错误；D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2，所以球表面积为，D正确.3．D【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放2、3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，所以1疏散乘客比3快；同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快，2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4．4．D【分析】根据异面直线的定义、平面的基本性质及线面平行的判定定理逐项判断即可.【详解】如图，，是异面直线，设不在，上的任意一点为．假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误；若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误；若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误；在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面，即平行于，此时在平面上，故D正确．5．D【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件．【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件，由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D.6．D【解析】由题意知在R上为减函数有，即可求的取值范围.【详解】由题意，要使在R上的减函数，故需要满足：，解得，故选：D【点睛】本题考查了根据分段函数的单调性求参数范围，结合对数函数、一次函数的性质，注意分界点处函数值的大小关系，属于基础题.7．B【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解.【详解】如图，取的中点，连接、BD，易知，

所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为，则，，，因为，所以为直角三角形，所以即异面直线与所成角的余弦值为.故选：.8．D【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，则，可得，所以长方体的外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.

故选：.9．AD【分析】由共轭复数的定义及复数的性质及乘法运算判断各项的正误即可.【详解】由题设，则，A对；由，，而复数不能比较大小，B错；由，C错；由，D对.故选：AD10．AB【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D.【详解】A：若事件两两独立，则，，，抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同，所以，，显然满足前提，而，此时，不满足，即A错；B：对于样本空间，若，，，则，所以，且，此时满足，但，即，显然，显然不相互独立，即B错；C：若，而，所以，必有，即事件两两互斥时成立，即C对；D：若事件两两互斥，必有，即D对.故选：AB11．ACD【分析】根据向量运算的坐标表示，列出关系式，根据三角恒等变换中的二倍角公式和两角和的余弦公式对各等式化简，运用三角函数的值域，分别判断各选项正误，结合单位圆的切线情况，判断D的正误.【详解】已知，，，，所以，，，，，，所以A正确.，则，由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误.，因为，所以，所以的范围是，所以C正确.当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动，如图所示，当点与点重合时，最小时为0，当都与单位圆相切时，最大，此时可知,所以，同理可得，，此时，所以D正确.故选：ACD.12．【分析】根据为纯虚数列方程来求得.【详解】依题意，为纯虚数，所以，解得.故答案为：13．或【分析】由平面向量数量积的定义即可求解．【详解】由题可知，或，若，则，若，则，故答案为：或．14．2【分析】过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解．【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E，因为平面平面ABC，又平面平面，平面PAD，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，因为，即，又，PD，平面PAD，所以平面PAD，又因为平面PAD，所以，又因为，所以为二面角的平面角，因为三棱锥的体积，解得，由勾股定理可得，所以二面角的正切值为．故答案为：．

15．(1)(2)【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长；(2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可.【详解】（1），；（2），，因为，所以，即.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）利用三棱锥体积公式求解即可.【详解】（1）在棱长为2的正方体中，设相交于点，连结，

是BD中点，而为中点，，又平面平面，平面．（2）在棱长为2的正方体中，平面，又三棱锥的体积为，，．17．(1)平均数9.9，方差0.02(2)【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可；（2）由列举法结合概率公式求解；【详解】（1），样本方差为；（2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，则该试验的样本空间可表示为共有15个样本点．设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，即．所以．即两件均为一等品的概率为．18．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）根据新定义运算即可；（2）（i）取，代入运算即可；（ii）画出图形，引入参数，得到，说明即可得解.【详解】（1）由题意得，所以对应的复数为；（2）（i）因为是等边三角形，所以不妨设①，所以；①，所以；所以；（ii）如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾，不妨设，所以，由图可知，等号成立当且仅当，即当且仅当，所以面积为，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）对的取值分类讨论，当时，构造，用单调性和零点存在定理得出的范围，由变