湖南省衡阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省衡阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DAABAAADADBD题号11答案ABD1．D【分析】利用并集运算即可求解.【详解】因为，所以，故选：D.2．A【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可；【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确；对于B，，不是奇函数，故B错误；对于C，为偶函数，故C错误；对于D，在区间上是减函数；故D错误；故选：A.3．A【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点，其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种，故所求概率为.4．B【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解.【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是，又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人．故选：B．5．A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确；②若且，则可能相交或平行，错误③由，，根据面面垂直的判定有，正确；④若且，则或异面都有可能，错误；因此正确命题的序号为①③.故选：A．6．A【分析】建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入向量公式，即可求二面角的余弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则，令，则．易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成角的余弦值为.故选：A．7．A【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；对于B，若，为两个事件，则，故B错误；对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立，如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”，事件，，两两互斥，但.故C错误；对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误.故选：A.8．D【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果.【详解】根据正方体，得，，所以平面，四边形是矩形，其中，，的三边为，，，，设的外接圆半径为，则，于是，设矩形的外接圆半径为，则，设球心为，过作平面，垂足为，过作平面，垂足为，则是矩形的外心，是三角形的外心，取中点，则，于是平面，所以四边形是矩形.设球半径为，，则，于是球的表面积为.故选：D.9．AD【分析】根据棱柱、正棱柱、正棱锥和圆柱的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由棱柱定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，所以A正确；当长方体底面的长宽高互不相等时，该长方体不是正四棱柱，所以B错误；底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以C错误；根据圆柱的定义，可得圆柱的所有母线长都相等，所以D正确.故选：AD.10．BD【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可.【详解】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为，事件与共有样本点，所以不互斥，故错误；事件的样本点为，所以，故正确；，的样本点为，所以，所以事件与不相互独立，故错误；事件的样本点为，所以，，故正确；故选：.11．ABD【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D.【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，，所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确；对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以四点共面，所以直线与直线共面，故C错误；对于D，如图所示，取的中点，连接，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以，同理，所以，所以四边形为平行四边形，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形，又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD12．/0.28【分析】由向量共线关系得出方程，求解，再由余弦二倍角求得结果.【详解】由，可得，即，，解得：或（舍），．故答案为：.13．【分析】利用列举法列出样本空间，根据古典概率的公式计算.【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为，小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下：，共6种情况，其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有：，包含2种，所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率.故答案为：.14．【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解.【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高过作，交于，则，，，又，所以，解得，又球，球，球与半球面相切，，所以，则.故答案为：.15．(1)(2)且【分析】（1）根据向量垂直得到数量积为0，得到，齐次化变形，代入求值；（2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案.【详解】（1）⊥，故，故，；（2），，，与的夹角为锐角，故，解得，且与不同向共线，即，即，综上，且；16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）依据题意可知，，然后根据面面平行的判定定理可得结果；（2）通过等价转化为平面与平面所成的角，然后通过作图找到角，并计算可得结果.【详解】（1）由题意可得，且，所以四边形为平行四边形，同理，与平行且相等，所以四边形为平行四边形，故.又，，平面，平面，所以平面平面.（2）由平面平面，得平面与平面所成的角即为平面与平面所成的角.如图，作点在平面上的投影E，连接，交于点，连接，，可知，则即为二面角的平面角.因为，所以，，故.17．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.【详解】（1）依题意，，所以.（2）设，则，因此，，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是.（3）当时，，，则，，因此关于的方程的根为，则，又，由此可得，则，令，得，而为奇数，所以.18．(1)(2)(3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解；（2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，可得，解得.（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为，所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人.（3）解：成绩来自的学生人数为人，记为，成绩来自的学生人数为人呢，记为，则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，则，其中含了9个样本点，所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角；（2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解；（3）