2021湖南株洲数学试卷+答案+解析

332021年株洲市高级中等学校招生考试(满分:150分考试时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题有且只有一个正确答案,每小题4分,共40分)12345678910ADBBACABDC1.(2021湖南株洲,1,4分)若a的倒数为2,则a= ()A.12 B.2 C.-121.A∵2的倒数是12,∴a=12.故选2.(2021湖南株洲,2,4分)方程x2-1=2的解是 (A.x=2 B.x=3 C.x=5 D.x=62.D∵x2-1=2,∴x2∴x2=3,∴x=6,故选D3.(2021湖南株洲,3,4分)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=132°,则∠A= ()A.38° B.48° C.58° D.66°3.B∵∠DCE=132°,∴∠DCB=180°-132°=48°,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠DCB,∴∠A=48°.故选B.4.(2021湖南株洲,4,4分)某月1日—10日,甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示,则下列错误的结论是 ()A.1日—10日,甲的步数逐天增加B.1日—6日,乙的步数逐天减少C.第9日,甲、乙两人的步数正好相等D.第11日,甲的步数不一定比乙的步数多4.B由图可知1日—10日,甲的步数逐天增加,因此A选项正确.1日—5日,乙的步数逐天减少,5日—6日,有所增加,因此B选项中的结论错误.观察图象可知,第9日时,甲、乙两人的步数正好相等,因此C选项正确.图象只给出1日—10日的频数统计图,因此第11日的步数情况无法确定.因此D选项说法正确.故选B.5.(2021湖南株洲,5,4分)计算:-4×12= (A.-22 B.-2 C.-2 D.225.A-4×12=-16×12=-8=-22.一题多解-4×12=-4×12=-4×226.(2021湖南株洲,6,4分)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十……”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米……”.问题:现有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为 ()A.1.8升 B.16升 C.18升 D.50升6.C3斗=30升.依题意,设3斗的粟可换得x升的粝米.则x30=30解得x=18.故选C.7.(2021湖南株洲,7,4分)不等式组x-2≤0,-xA.x<1 B.x≤2 C.1<x≤2 D.无解7.Ax解不等式①,得x≤2,解不等式②,得x<1,∴不等式组的解集为x<1.8.(2021湖南株洲,8,4分)如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI= ()A.10° B.12° C.14° D.15°8.B∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠FAB=(6-2∵五边形ABGHI为正五边形.∴∠IAB=(5-2∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°.故选B.9.(2021湖南株洲,9,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,点P在x轴的正半轴上,且OP=1,设M=ac(a+b+c),则M的取值范围为 ()A.M<-1 B.-1<M<0C.M<0 D.M>09.D由图象可知,二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,∴a<0,c>0,又∵OP=1,∴当x=1时,y=a+b+c<0,∴M=ac(a+b+c)>0,故选D.解题思路由开口向下,得出a<0,再由图象与y轴的交点位置,得出c>0,由OP=1得出当x=1时,y=a+b+c<0,进而得出M>0.10.(2021湖南株洲,10,4分)某限高曲臂道路闸口如图所示,AB垂直地面l1于点A,BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°),EF∥l1∥l2,若AB=1.4米,BE=2米,车辆的高度为h(单位:米),不考虑闸口与车辆的宽度.①当α=90°时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;②当α=45°时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;③当α=60°时,h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.310.C如图,依题意,过C作EN⊥l1于N,则EN⊥l2于M,车辆可通过高度为EN=MN+ME=AB+EM=1.4+EM.①当α=90°时,EM=BE=2,∴EN=1.4+2=3.4>3.3,∴当α=90°时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口.②当α=45°时,在Rt△BME中,BE=2,∴EM=BE·sin45°=2×22=2∴EN=1.4+2≈1.4+1.414=2.814<2.9,∴当α=45°时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口.③当α=60°时,在Rt△BME中,BE=2,∴EM=BE·sin60°=2×32=3∴EN=1.4+3≈1.4+1.732=3.132>3.1,∴当α=60°时,h等于3.1米的车辆可以通过该闸口.∴①②的说法正确,③的说法错误.故选C.解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,即车辆能否通过该闸口,取决于车辆高度h与EF到l1的距离的大小.因此通过计算EN的长度来比较,进而得出结论.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.(2021湖南株洲,11,4分)计算:2a2·a3=.

11.答案2a5解析2a2·a3=2·a2+3=2a5.12.(2021湖南株洲,12,4分)因式分解:6x2-4xy=.

12.答案2x(3x-2y)解析6x2-4xy=2x(3x-2y).13.(2021湖南株洲,13,4分)据报道,2021年全国高考报名人数为1078万,将1078万用科学记数法表示为1.078×10n,则n=.

13.答案7解析∵1078万=10780000,∴1078万用科学记数法表示为1.078×107.∴n=7.解题关键较大数且带单位时,先将大数完整写出来,再用科学记数法来表示.14.(2021湖南株洲,14,4分)抛掷一枚质地均匀的硬币两次,则两次都是“正面朝上”的概率是.

14.答案1解析画树状图如图,结果(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).∴总共有4种等可能的结果,两次都是“正面朝上”的有1种,故概率为14一题多解列表得第一次第二次正面反面正面(正,正)(反,正)反面(正,反)(反,反)结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).∴总共有4种等可能的结果,两次都是“正面朝上”的有1种,故概率为1415.(2021湖南株洲,15,4分)如图所示,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=2,则AC=.

15.答案4解析∵四边形ADBE是矩形,OD=2,∴AB=DE=2OD=2×2=4,又∵BC为等腰三角形ABC的底边,∴AC=AB=4.解题思路先利用矩形的性质:对角线相等且互相平分,求出AB的长,再根据等腰△ABC的定义得到AC=AB.16.(2021湖南株洲,16,4分)中药是以我国传统医药理论为指导,经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段,某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表:中药黄芪焦山楂当归销售价(单位:元/千克)806090销售额(单位:元)120120360则在这个时间段,该中药房的这三种中药的平均销售量为千克.

16.答案2.5解析依题意,可得黄芪销售量为12080=1.5(千克焦山楂销售量为12060=2(千克当归销售量为36090=4(千克)∴平均销售量为1.5+2+43=2.5(17.(2021湖南株洲,17,4分)点A(x1,y1)、B(x1+1,y2)是反比例函数y=kx图象上的两点,满足:当x1>0时,均有y1<y2,则k的取值范围是17.答案k<0解析∵x1<x1+1,当x1>0时,均有y1<y2,∴当x>0时,y随x增大而增大,结合反比例函数的图象与性质可得k<0.18.(2021湖南株洲,18,4分)《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“”为“蜨”,同“蝶”),它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图①中的“”和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图,其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线DQ对称,连接CP、DP,若∠ADQ=24°,则∠DCP=度.

图②图②18.答案21解析依题意可知△ABD和△CBD是两个全等的等腰直角三角形,∴CD=AD,∠ADC=90°,又∵点P与点A关于直线DQ对称,∴PD=AD=CD,∠PDQ=∠ADQ=24°,∴∠ADP=24°+24°=48°,∠CDP=90°+48°=138°,又∵CD=PD,∴∠DCP=∠DPC,∴∠DCP=180°-138°三、解答题(本大题共8小题,共78分)19.(2021湖南株洲,19,6分)(本题满分6分)计算:|-2|+3sin60°-2-1.19.解析原式=2+3×32-=2+32-1220.(2021湖南株洲,20,8分)(本题满分8分)先化简,再求值:2xx2-4·1-2x-20.解析原式=2x(x+2=2x(x+2=2x+2-3x当x=2-2时,原式=-12=-221.(2021湖南株洲,21,8分)(本题满分8分)如图所示,在矩形ABCD中,点E在线段CD上,点F在线段AB的延长线上,连接EF交线段BC于点G,连接BD,若DE=BF=2.(1)求证:四边形BFED是平行四边形;(2)若tan∠ABD=23,求线段BG的长度21.解析(1)证明:∵在矩形ABCD中,DC∥AB,∴DE∥BF,又∵DE=BF,∴四边形BFED是平行四边形.(2)∵四边形BFED是平行四边形,∴BD∥EF,∴∠F=∠DBA.∴tanF=tan∠DBA=23∵在矩形ABCD中,∠CBA=90°,∴∠GBF=90°,∴在Rt△GBF中,BGBF=2∴BG=23×2=422.(2021湖南株洲,22,10分)(本题满分10分)将一物体视为边长的2π米的正方形ABCD从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示,刚开始点B与斜面EF上的点E重合,先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置,再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置(此时点B2与点G重合),最后将物体移到车厢平台面MG上.已知MG∥PQ,∠FBP=30°,过F作FH⊥MG于点H,FH=13米(1)求线段FG的长度;(2)求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程.22.解析(1)∵MG∥PQ,∴∠FGM=∠FBP=30°,∵FH⊥MG,∴在Rt△FHG中,FG=2FH=23∴线段FG的长度为23米(2)∵EF=4,FG=23∴GE=4-23=10∴由平移得A1A2=GE=103∵∠FBP=30°,∠C1BA1=90°,∴∠A1BA=60°,∴A旋转至A1时,l

AA1=60π∴点A运动至点A2经过的路程为23+103=4(米23.(2021湖南株洲,23,10分)(本题满分10分)目前,国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标,其计算公式:BMI=Gh2(G表示体重,单位:千克;h表示身高,单位:米).已知某区域成人的BMI数值标准为:BMI<16为瘦弱(不健康);16≤BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<24为正常;24≤BMI<28为偏胖;BMI≥28为肥胖(不健康某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本,计算每名成人的BMI数值后统计如下:身体属性人数瘦弱2偏瘦2正常11偏胖9肥胖m(男性身体属性与人数统计表)(女性身体属性与人数统计图)(1)求这个样本中身体属性为“正常”的人数;(2)某女性的体重为51.2千克,身高为1.6米,求该女性的BMI数值;(3)当m≥3且n≥2(m、n为正整数)时,求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.23.解析(1)∵男性“正常”人数为11,女性“正常”人数为9,∴该样本中身体属性为“正常”的人数为20.(2)该女性的BMI数值为:51.2(3)该样本共55人,其中男性(24+m)人,女性(25+n)人,∴24+m+25+n=55,∴m+n=6,∵m≥3且n≥2,m,n为正整数,∴m=3,当m=3,n=3时,男性“不健康”人数与女性“不健康”人数的比值为2+33+4=5当m=4,n=2时,男性“不健康”人数与女性“不健康”人数的比值为2+42+4=124.(2021湖南株洲,24,10分)(本题满分10分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,一次函数y=2x的图象l与函数y=kx(k>0,x>0)的图象(记为Γ)交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,且AB=1,点C在线段OB上(不含端点),且OC=t,过点C作直线l1∥x轴,交l于点D,交图象Γ于点(1)求k的值,并且用含t的式子表示点D的横坐标;(2)连接OE、BE、AE,记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2,设U=S1-S2,求U的最大值.24.解析(1)∵y=2x与y=kx交于点A,AB=1∴xA=1,yA=2×1=2.∴点A的坐标为(1,2).∴2=k1,∴k=2∵OC=t且D在直线y=2x上,∴xD=t2(2)依题意,可知AB∥CE∥x轴,点E在y=2x(x>0)的图象上∵yE=t,∴xE=2t,∴点E的坐标为2∴CE=2t,∵OB=2∴S1=12OB·CE=12×2·2t又∵BC=OB-OC=2-t,DE=CE-CD=2t-t∴S2=12DE·BC=122t-=2t-t2-1+∴U=S1-S2=2t-=-t24+=-14(t-1)2+5∵-14<0,且点C在线段OB上(不含端点)∴0<t<2,-14(t-1)2+54≤∴当t=1时,U取得最大值,为54∴U的最大值为54解题思路(1)根据点A的横坐标,求出A的坐标,再代入y=kx求出k,再由D的纵坐标为t,代入y=2x求出D的横坐标.(2)分别用含t的式子表示出CE,DE,BC,再根据三角形面积公式表示出S1,S2,进而求出U,最后配方讨论最值25.(2021湖南株洲,25,13分)(本题满分13分)如图所示,AB是☉O的直径,点C、D是☉O上不同的两点,直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(EF2-CF2)=OC2.(1)求证:直线CF是☉O的切线;(2)连接OD、AD、AC、DC,若∠COD=2∠BOC.①求证:△ACD∽△OBE;②过点E作EG∥AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点,若AD=4,求线段MG的长度.25.解析(1)∵9(EF2-CF2)=OC2,∴EF2-CF2=19OC2=1又∵OC=3CE,∴CE=13OC∴EF2-CF2=CE2,∴EF2=CE2+CF2,由勾股定理的逆定理可知,∠ECF=90°,∴OC⊥CF,又∵点C在圆上,∴CF是☉O的切线.(2)①∵CD=CD,∴∠CAD=12∠COD又∵∠COD=2∠BOC,∴∠BOC=12∠COD=∠CAD又∵AD=AD,∴∠ACD=∠ABD,∴∠ACD=∠OBE,∵∠CAD=∠BOE,∴△ACD∽△OBE.②∵OC=3CE,CE=13OC∴OE=OC-CE=2CE=23OC∴OEOB=OEOC=由①得△ACD∽△OBE,∴ACOB=ADOE∴OEOB=ADAC=又∵AD=4,∴AC=6,又∵EG∥AB,∴AGAC=OEOC,即AG6∴AG=4,∵M为AC中点,∴AM=12AC=3∴MG=AG-AM=4-3=1.方法指导(1)证明一条直线是圆的切线时,常有以下两种思路:①有切点,有半径,证垂直.②无切点,作垂线,证垂线段的长等于半径.本题属于有切点,通过已知条件利用勾股定理的逆定理证出∠ECF=90°.思路分析(2)①要证相似,最常见的方法是证两组角对应相等.本题可通过同弧所对的圆周角及圆心角的关系,证出∠ACD=∠OBE,∠CAD=∠BOE,因此△ACD∽△OBE.②由相似及平行线分线段成比例,可得到AG=23AC,AC=32AD=6,又AM=12AC=3,进而求出MG=AG-26.(2021湖南株洲,26,13分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).(1)若a=12,b=c=-2,求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值(2)如图所示,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<0<x2,与y轴的负半轴交于点C,点D在线段OC上,连接AC、BD,满足∠ACO=∠ABD,-ba+c=x1①求证