广东省东莞市两校联考2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷（含详解）

广东东莞市两校联考2025-2026学年高一下学期6月质量检测数学试题一、单选题1．在中，若，，，则a=A． B． C． D．2．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a、b，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（

）A． B．C． D．3．若z1=1+2i,z2=-1+i,且z+z2=z1,则z的共轭复数=A． B．C． D．4．在△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，交于点，且满足，则（

）A．23 B． C． D．5．《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭（圆亭可看作圆台），下周三丈，上周二丈，高一丈.”则该圆亭的侧面积为（）A．平方丈 B．平方丈C．平方丈 D．平方丈6．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知是绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A．恒有DE⊥B．异面直线与BD不可能垂直C．恒有平面⊥平面D．动点在平面ABC上的射影在线段AF上7．某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房AB作为参照物，楼房高为，在楼顶A处测得地面点M处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为30°，在M处测得宝塔顶端处的仰角为，其中在一条直线上，则该宝塔的高度（

）

A． B．C． D．8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC-A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC是以AB为斜边的直角三角形且AB=5，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．复数z满足B．，，，则，中至少一个为0C．复数z满足，则最大值为D．的虚部为10．已知等腰，，取，中点，，将沿BC翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（

）A．四棱锥存在外接球 B．C． D．四棱锥的体积为11．点在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（

）A．若，则点为△ABC的外心（外接圆圆心）B．若，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心C．若，，分别表示，△ABC的面积，则D．若，则点是△ABC的内心三、填空题12．已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a=____13．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②当F为棱AB中点时，点C到面的距离为12；③周长的最小值为；④三棱锥的体积为定值．其中正确结论的序号为_____________．14．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________．四、解答题15．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且，点P为△ABC的费马点.(1)求A；(2)若，求的值；(3)若，求的最大值.16．已知函数，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求fx（Ⅲ）求使fx取得最大值的x17．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱(1)试确定点N的位置，并证明平面；(2)若△ABC是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．18．已知函数是R上的奇函数．(1)求实数m的值，并判断函数fx(2)若对，都有成立，求实数的取值范围．(3)设a为常数，且，若函数在区间上存在零点，求实数b的取值范围．19．如图；在三棱柱中；侧面ABCD为矩形．

(1)若面ABCD；，，求证：；(2)若二面角的大小为；，且；设直线BD和平面所成角为；问当变化过程中能否取到；若能；请证明；若不能请说明理由．参考答案1．D【详解】由正弦定理得：本题正确选项：D2．C【详解】解：由题意，，，，∴直线，即，则到直线的距离为，∵直线与以为圆心的圆交于，两点，且，，∴圆的方程为，故选：C．3．A【详解】由题意知z1=1+2i,z2=-1+i,故z+(-1+i)=1+2i,即z=,则．故选A．4．C【详解】已知，由共线，设，，故，，则，，，故，故；设，则，即，则，，解得，由得出，故，由知，设到AE的距离为h，则，由知，设到AB的距离为，则，即，．5．B【详解】如图，ABCD是圆台的轴截面，O，H分别为AB，CD的中点，则，过点C作于G，由题意知丈，丈，丈，得BC=（丈），所以该圆亭的侧面积为所以（平方丈）.6．B【详解】对A来说，DE⊥平面，∴⊥；对B来说，∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；对C来说，因为DE⊥平面，DE平面，∴平面⊥平面，故C正确；

对D来说，∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；故选B7．B【详解】，在中，易得，在中，易得，由正弦定理得：，在中，.故选：B8．D【详解】解法一：由“堑堵”的定义可知，△ABC为直角三角形，故，易知，又，，所以平面，而平面，于是得．设，，则，则，，，由，得，整理得，所以，所以，当且仅当，即时的面积取得最小值18．此时．设三棱锥的外接球半径为R，因为，，故线段AP为外接球的直径，故所求外接球的表面积．故选：D．解法二：令，则，，，又因为平面，所以，又．所以平面，所以．的面积当且仅当时，取最小值，此时，．在三棱锥中，因为，取AP中点为，则，故为三棱锥的外接球的球心，所以AP为外接球直径，．故选：D．9．BC【详解】对于A：取复数z=i，则，不满足.故A不正确；对于B：设.则，所以，则或.所以，中至少一个为0.故B正确；对于C：设复数，其对应的点为.由可得：表示点Z在以为圆心，1为半径的圆上.表示点Z到的距离.由圆的性质可得：.因为，所以.即最大值为.故C正确；对于D：因为.所以的虚部为.故D错误.故选：BC.10．ABD【详解】由题意可知，，因为为正三角形，，所以，又底面，所以，则，故四棱锥的外接球球心为，故A正确；由于，则，所以在平面ABCD中，，则①，在中，由余弦定理得：②，在中，由余弦定理得：③，由①②③可得又，所以，，故B正确；由③可得，则为锐角，所以，所以，因为，则，故C错误；由可得，则四边形ABCD的面积故四棱锥的体积为，故D正确.故选：ABD.11．BCD【详解】A选项，，即，故OB⊥，同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，则点为△ABC的垂心，A错误；B选项，过点A作AE⊥BC于点E，取BC的中点F，连接AF，则，，则，故点在中线AF上，故向量一定经过△ABC的重心，B正确；C选项，如图，分别为的中点，，则，故，所以，故，C正确；D选项，分别表示方向上的单位向量，故，，故OA⊥，由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，则点是△ABC的内心，D正确.故选：BCD12．1【详解】依题意，为纯虚数，故.13．①②【详解】∵四面体ABCD所有棱长均为，∴四面体ABCD为正四面体，对于①，作平面ABC，垂足为O，连接，∵四面体ABCD为正四面体，∴O为△ABC的中心，∴且，取AO中点G，连接，则，则平面ABC，∵，∴，∴，∵平面平面ABC，∴，∴，①正确；对于②，当F为棱AB中点时，设点C到面的距离为h，由①知，又，则，，，M到平面ABC的距离，由得，解得，②正确；对于③，将等边三角形ABC与沿AB展开，可得展开图如图所示，则，当且仅当F为AB中点时取等号，∵四边形为菱形，M，N分别为中点，∴，∴，在四面体ABCD中，周长的最小值为，③错误；对于④，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，因为为定值，而点F到平面的距离随着点F的变化而变化，所以④错误.故答案为：①②.14．10【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，因为二者共焦点，所以，如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，由此解得，由题意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，由离心率的定义可得，设，则，所以问题转化为求的最大值，设，由可得，当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为10.15．(1)(2)(3)【详解】（1）法一：因为，所以，即，整理得：，所以由正弦定理可得a2=b法二：因为，且，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以△ABC三个内角A,B,C都小于，则由费马点的定义可知：，设，由，得，整理得：，所以；（3）由费马点的定义可知：，设，则，又，所以由平面向量基本定理有.由余弦定理可得：，，，因为，所以，所以有，化简可得：，将代入上式，化简得.因为，当且仅当结合解得时等号成立，设，所以，解得或，因为，所以，所以，即的最大值为.16．（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【详解】（Ⅰ）因为，所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以，fx的最小正周期为．（Ⅲ）因为，所以fx的最大值为2当且仅当时，即时，fx取得最大值，所以使fx取得最大值的x的集合为．17．(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；(2)12【详解】（1）延长，交的延长线于点N．∵，平面，∴平面．又∵，∴平面，点N即为所求．连接C1N，交直线于点O，连接OM．∵，∴．又∵M为线段的中点，∴，即M为线段NB的中点．在三棱柱ABC-A1B∴O为线段中点，∴OM为中位线，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）取线段的中点G，连接．由条件知，为等边三角形，∴，且．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是三棱锥的高．又∵，∴．由（1）知，，，∴，∴四面体的体积．18．(1)，fx在R上单调递增，理由见解析(2)(3)【详解】（1）由题意得，即，故，即，所以，解得，负值舍去；函数fx在R显然在0,+∞上单调递增，又在上单调递增，由复合函数单调性值，fx在0,+又fx是R上的奇函数，且为连续函数，故fx在（2）对，都有，即，由（1）可知在单调递增，故，所以只需，即，令，则，因为，所以，则，，当时，恒成立，当时，，其中，故；（3）fx在R上单调递增，且，故fx有唯一零点0，故，函数在区间上有解，显然，当时，等号成立，要求b的最小值，且在区间上始终有解，令，只需求出的最小值，，随着a的增大，增大，，先减小，后增大，且当时，，，故，故当时，取得最小值，解得，故的最小值为，故，实数b的取值范围是.19．(1)证明见解析(2)不能取到，理由见解析【详解】（1）证明：由平面ABCD，平面ABCD,所以