2026年山东省中考数学试卷含详细答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2026年山东省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列实数中，比1大的数是(

)A.−2 B.0 C.0.5 D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里.将160000用科学记数法表示为(

)A.0.16×106 B.1.6×1054.如图所示几何体的俯视图是(

)A.

B.

C.

D.5.下列运算正确的是(

)A.m3−m2=m B.(6.如图，直线a//b，直线c分别交a，b于点A，B.以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C；作射线AC交b于点

A.36∘ B.54∘ C.63∘7.计算x2x+1A.x−1 B.x+1 C.8.甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成如图.

根据图中信息，下列结论正确的是(

)A.甲的跳绳成绩总是高于乙 B.甲的跳绳成绩的众数为184

C.甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D.甲的跳绳成绩的方差小于乙9.在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目.两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进.他们行走的路程y(km)与时间x(A.8：25 B.8：33 C.9：00 D.9：1710.如图，点P是抛物线y=ax2+bxA.2a+b=0

B.−34<a<−12

C.对任意实数

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.计算：5ab+612.如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于

∘.

13.若关于x的一元二次方程(x−2)(x−14.如图，一组反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，…，y=knx，其中x>0，k1=1，kn>kn−15.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG.

三、计算题：本大题共2小题，共15分。16.(1)计算：22−16−17.在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者.两名志愿者的对话如下：

请根据他们的对话解答下列问题：

(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；

(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点.

(1)求证：△ED19.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，AC=BD，连接AC，AD，CD，过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点H.

(1)求证：AH是⊙20.(本小题10分)某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动.为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查.

【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷

问题1.你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？(单选)

①绘制校园平面地图

②读书长廊地面铺设设计

③测量校园内旗杆高度

④制定旅游最优路线

⑤体育运动与心率的关系探究

问题2.假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？(可多选)

A.查阅文献

B.上网查询

C.同伴合作

D.寻求指导

E.专业咨询问题

问题【数据处理】

信息1

将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.

信息2

将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表.解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3

问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济.

【分析应用】

根据调查信息，解答下列问题：

(1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；

(2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；

(3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率.

21.(本小题10分)

我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰(俯)角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动.

【模型制作】

综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘.

【操作发现】

使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数.

(1)如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31∘(∠DAE=31∘)，矩尺盘读数为6(DE=6)，可知仰角∠P=∠DAE=31∘，tan∠P=tan∠DAE=DEAD=610=0.6.

如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29∘(∠DAE=29∘)，矩尺盘读数为5.522.(本小题12分)

“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景(如图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点).

(1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面12m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是12m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m.

①设花枪离地面的高度为y(m)，到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式；

②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2110m，最小为12m，求d的取值范围23.(本小题12分)

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘.

【观察与发现】

(1)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60∘得到线段AD，点D与点C是对应点.点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，连接DE，DF.求证：DE=DF.

【思考与探究】

(2)如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H.点E，F分别在边AB，AC上，CF=2AE，连接EF，答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A.−2<1，故不符合题意；

B.0<1，故不符合题意；

C.0.5<1，故不符合题意；

D.2>1，故符合题意；

2.【答案】A

【解析】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，

B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，

C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，

D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，

故选：A.

把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．3.【答案】B

【解析】解：160000=1.6×105.

故选：B.

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n4.【答案】C

【解析】解：从上面看到该几何体的俯视图是：

故选：C.

根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．

此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．5.【答案】B

【解析】解：∵m3与m2不是同类项，不能合并，故A不正确；

∵(m2)3=m2×3=m6，故B正确；

∵m9÷m3=m6.【答案】C

【解析】解：∵a//b，

∴∠MAB+∠ABD=180∘.

∵∠ABD=54∘，

∴∠M7.【答案】A

【解析】解：原式=x2−1x+18.【答案】D

【解析】解：由图可知，甲的成绩为：181，180，179，184，186，186；乙的成绩为：177，179，181，183，188，188；

对于A，第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，故A错误；

对于B，甲的成绩中186出现了2次，出现次数最多，众数是186，故B错误；

对于C，甲的成绩从小到大排列为179，180，181，184，186，186，中位数为181+1842=182.5；

乙的成绩从小到大排列为177，179，181，183，188，188，中位数为181+1832=182；

∵182.5>182，

∴甲的中位数大于乙，故C错误；

对于D，甲成绩的波动范围(1799.【答案】C

【解析】解：由题意，当0<x<25时，

设小英的函数关系式为y=kx，则25k=2，

∴k=225.

∴此时y=225x.

∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，

∴当x≥40时，y=225(x−15).

设小杰的函数关系式为y=mx，

又图象过(25,1.5)，10.【答案】B

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a<0.

∵顶点P的坐标为(2,3)，

∴对称轴为直线x=2，即−b2a=2，

∴b=−4a，即4a+b=0，故A错误；

设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+3，

令x=0，得y=4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为(0,4a+3).

由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1的下方，

∴0<11.【答案】11ab

【解析】解：5ab+6ab=12.【答案】720

【解析】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为(6−2)×180∘=13.【答案】2

【解析】解：∵(x−2)(x−m)=0，

∴x−2=0或x−m=0，

∴x=14.【答案】36

【解析】解：由x=k1x得，

x=k1(舍负)，

所以点A1坐标为(k1,k1)，

则OA1=2k1，

同理可得，OA2=2k2,OA3=2k3,15.【答案】1.8

【解析】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示：

∴∠GHA=∠GHE=90∘，

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，

∴AB//CD，CD=AB=4cm，

∵点E是AD的中点，且AD=5cm，

∴AE=DE=2.5cm，

设AH=a

cm，则EH=AE−AH=(2.5−a)cm，

由折叠性质得：GE=DE=2.5cm，∠∴CF=CD−DF=1.5cm，

∵平行四边形EDFG的面积为：DE⋅GH=2.5×125=6(cm2)，

∴S△GDF=12×6=3(cm2)，

∴GE//CD，

∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同，

∴S△CFGS16.【答案】3

2<【解析】解：(1)原式=4−4+3=3；

(2){x+1<2x−117.【答案】描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元

购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元

【解析】解：(1)设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元，y元．

由题意x+2y=1003x+4y=240，

解得x=40y=30.

答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元；

(2)设购买描金琉璃瓶x个，购买内画瓶(20−x)个．总费用为W元．

则有W=40x+30(20−x)=10x+600，

由题意x≥18.【答案】证明：(1)∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，

∴ED=EC=AE，EF//AB，

∴∠A=∠EDA，∠CEF=∠A，∠FED=∠EDA，

∴∠FED=∠CEF，

∵【解析】证明：(1)∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，

∴ED=EC=AE，EF//AB，

∴∠A=∠EDA，∠CEF=∠A，∠FED=∠EDA，

∴∠FED=∠CEF，

∵EF=EF，

∴△EDF≌19.【答案】(1)证明：∵AC=BD，

∴∠ADC=∠BAD，

∴AB//CD，

∵AH⊥CD，

∴AH⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴AH是⊙O的切线；

(2)解：连接BD，

∵AH⊥CD，

∴∠H=90∘，

∴sin∠CAH=CHAC=55，

∴设C【解析】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．

(1)由AC=BD，得到∠ADC=∠BAD，推出AB//CD，根据平行线的性质得到A20.【答案】解：(1)参与调查的学生总数为5÷10%=50(名)，

选择主题⑤的人数为50×12%=6(名)，

则选择主题③的人数为50−(5+13+14+6)=12(名)，

补全条形统计图如下：

ABCA(((B(((C(((由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，

所以两人恰好选择同一领域的概率为39=13；

(

【解析】解：(1)参与调查的学生总数为5÷10%=50(名)，

选择主题⑤的人数为50×12%=6(名)，

则选择主题③的人数为50−(5+13+14+6)=12(名)，

补全条形统计图如下：

ABCA(((B(((C(((由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，

所以两人恰好选择同一领域的概率为39=13；

(4)建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务(答案不唯一，合理均可).

(1)由主题①的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘主题⑤对应百分比求出其人数，再根据五种主题的人数和等于总人数求出主题③的人数，据此可补全条形统计图；

(2)总人数乘样本中选择B方式人数占被调查人数的比例即可；

(3)列表展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；

(4)21.【答案】61∘;1.8【解析】解：(1)根据题意可得：AG⊥PQ，∠AQP=90∘，

∵∠DAE=29∘，

∴∠P=90∘−∠DAE=61∘，

∵在正方形ABCD中∠ADC=90∘，

∴∠AED=90∘−∠DAE=61∘，

∴∠P=∠AED，

∴tan∠P=tan∠AED=ADDE=105.5≈1.8，

故答案为：61∘；1.8；

(2)根据题意得：BF=CN=1.6m，M22.【答案】解：(1)①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的坐标系，如图，

则A(12,12)，C(3,3)，

∵点C为最高点，

∴抛物线的顶点坐标为(3,3)，

∴设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3，

∴12=a(12−3)2+3，

∴a=−25，

∴y=−25(x−3)2+3=−25x2+125x−35，

∴y关于x的函数表达式为y=−25x2+125x−35；