北师大版小学五年级数学上册《精打细算-小数除法（一）》教案

北师大版小学五年级数学上册《精打细算——小数除法（一）》教案

一、指导思想与理论依据

本节课的设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，立足于“数的运算”这一主题的大单元教学视野。设计遵循以下核心理念：

1.核心素养统领：聚焦于学生运算能力、推理意识、数感和应用意识的协同发展。教学不仅关注算法技能的掌握，更注重引导学生理解算理，经历从具体情境抽象出数学问题、探索计算方法、解释与应用的过程，实现思维从感性到理性的跃升。

2.深度学习导向：摒弃机械训练，创设具有挑战性的真实问题情境，引导学生主动进行知识建构。通过关键问题的驱动、合作探究与思辨交流，促使学生深度理解小数除法与整数除法的内在联系（计数单位细分），把握数学知识的一致性与整体性。

3.跨学科视野整合：将数学置于更广阔的生活与社会科学背景中。课题“精打细算”本身即源自经济学中的成本核算与消费决策概念。教学中融入财商教育的启蒙，引导学生用数学眼光观察现实世界（如商品单价比较、预算规划），用数学思维分析与解决实际问题，初步培养理性决策意识和经济素养。

4.差异化与包容性：认识到学生在整数除法基础、迁移能力、思维抽象水平上的差异。设计多层次的学习任务、多样化的表征支持（人民币模型、面积模型、数线、竖式）和梯度化的练习，确保每位学生都能在最近发展区内获得成功体验，实现有差异的发展。

二、教材与学情深度分析

（一）教材内容立体化分析

本节课是北师大版五年级上册第一单元“小数除法”的起始课。从单元整体看，它承载着承上启下的关键作用：

1.纵向贯通：它是在学生已经熟练掌握整数除法（包括试商、带余数除法）、小数的意义和性质以及元、角、分等人民币十进制模型的基础上进行教学的。本节课的核心任务是将整数除法的算法和算理，迁移、扩展到被除数是小数、除数是整数的小数除法领域。它是后续学习除数是小数、商的近似值、循环小数等复杂知识的认知基础和逻辑起点。

2.横向关联：小数除法是小数运算体系的重要组成部分，与小数乘法互为逆运算，共同构建起完整的小数四则运算网络。理解小数除法的算理，有助于巩固和深化对小数计数单位、十进制位值制的理解。

教材编写意图剖析：教材以“买牛奶”这一贴近学生生活的真实情境引入，呈现两个不同品牌牛奶的价钱和数量（11.5元÷5，12.9元÷6），旨在引导学生：

1.从“元、角、分”的现实角度理解“除到被除数末尾有余数，添0继续除”的必要性（将余下的“元”转化为“角”）。

2.将具体操作（分钱）的过程与抽象的竖式计算过程相对应，借助直观模型支撑算理理解。

3.初步总结除数是整数的小数除法计算方法。

本节课的教学价值：超越单纯的计算技能，其深层价值在于引导学生首次系统性经历“整数除法”到“小数除法”的认知飞跃，理解在除法运算中，当被除数的当前计数单位不够除时，可以向更小的计数单位“借位”或“转化”这一核心思想，这是位值制思想在除法运算中的深刻体现。

（二）学情精准诊断

认知基础：

1.技能层面：学生能熟练进行整数除法笔算，了解“除到哪一位，商就写在那一位上面”的规则。

2.概念层面：理解小数的意义，知道小数是十进制计数法的延伸，熟悉元角分之间的十进关系。

3.经验层面：在生活中具有丰富的购物和“平均分”物品的初步经验。

潜在学习障碍与迷思概念：

1.小数点处理的困惑：这是最大难点。学生易产生“小数点应该如何处理？是直接对齐被除数的小数点，还是先不管？”的混乱。其根源在于未能将“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一规则与“相同计数单位才能直接相除”的算理建立实质性联系。

2.“余数处理”的思维定式：在整数除法中，有余数时可以写成商和余数的形式。但在小数除法中，为了得到更精确的商，需要将余数转化为更小的计数单位继续除。学生可能不习惯这种“无休止”除下去的过程，或忘记在余数后添0。

3.算理理解的形式化：部分学生可能仅通过模仿和记忆掌握算法步骤，但对“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”缺乏深刻理解，导致在复杂情境（如被除数是整数但商是小数）中出错。

学习心理与能力特点：五年级学生具备一定的抽象逻辑思维能力，但仍需具体形象的支持。他们乐于探究和解决有现实意义的挑战，但在将具体经验抽象为数学规则，并用数学语言清晰表述方面仍需引导。

三、学习目标与重难点

基于以上分析，设定如下多维度、可观测的学习目标：

（一）学习目标

1.知识与技能：

1.2.结合“精打细算”的具体情境，能正确列出除数是整数的小数除法算式。

2.3.探索并初步掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确进行竖式计算，理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理。

3.4.能解决简单的实际问题，会进行小数除法的估算，并能对结果的合理性做出解释。

5.过程与方法：

1.6.经历问题解决的全过程，通过独立思考、操作探究（如利用人民币模型图进行分一分）、小组合作和全班交流，从具体情境和多种模型中抽象出计算方法。

2.7.运用类比迁移的数学思想，沟通整数除法与小数除法的联系与区别，发展运算能力和推理能力。

8.情感、态度与价值观：

1.9.在解决“精打细算”问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验探究的乐趣和成功的喜悦。

2.10.初步养成精打细算、理性消费的意识和习惯，提升数学应用意识。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：除数是整数的小数除法的计算方法，特别是竖式中商的小数点的定位。

2.教学难点：理解小数除法的算理，尤其是“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”以及“除到被除数末尾有余数时，为什么要添0继续除”。

3.突破策略：通过创设分人民币的直观操作活动，将抽象的算理具象化；利用数位顺序表和计数单位思想进行深度说理；设计对比性练习，引发认知冲突，促进深度思考。

四、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（含情境动画、动态演示分钱过程、竖式分步生成动画）。

2.3.实物投影仪。

3.4.板书设计（结构化，预留关键问题与生成空间）。

4.5.学习任务单（含探究活动指引、分层练习）。

5.6.人民币学具模型图（每组一套）。

7.学生准备：

1.8.复习整数除法的笔算方法。

2.9.预习课本情境，尝试用自己的方法解决问题。

3.10.常规学具（笔、练习本）。

五、教学过程实施

第一阶段：课前预习，激活经验（5分钟）

活动设计：

1.情境预感知：布置预习任务——阅读教材“买牛奶”情境，思考：哪个品牌的牛奶更便宜？你是如何比较的？

2.知识前测：在学习任务单上完成两道整数除法竖式计算，并口头表述计算过程。如：115÷5；129÷6。

1.设计意图：将新知“11.5÷5”和“12.9÷6”与旧知“115÷5”和“129÷6”建立隐性联系，激活整数除法的算法经验，为迁移做好铺垫。同时，引导学生从生活角度思考比较单价的方法。

第二阶段：课中探究，建构新知（30分钟）

环节一：创设情境，提出问题，聚焦核心（5分钟）

1.视频/图片情境导入：播放一段关于家庭购物或班级活动采购的短片，引出“精打细算”的主题。呈现教材主题图：甲商店5包牛奶11.5元，乙商店6包牛奶12.9元。

2.提出问题：

1.3.“从图中你能获得哪些数学信息？”

2.4.“想知道哪个商店的牛奶更便宜，实际上就是比较什么？”（引导学生说出“比较每包牛奶的价钱”，即“单价”）

3.5.“怎样求单价？”（总价÷数量=单价）列出算式：11.5÷5；12.9÷6。

6.揭示课题与核心问题：

1.7.揭示课题：“今天我们就一起来‘精打细算’，研究像‘11.5÷5’这样的‘小数除以整数’该怎么算。”

2.8.抛出核心探究问题：“这两个算式和以前学的除法有什么不同？你会计算吗？商的小数点应该点在哪里？为什么？”

1.设计意图：从真实生活情境中抽象出数学问题，明确学习任务。通过对比新旧算式，凸显认知冲突，激发探究欲望。核心问题的提出，直指本课重难点，为后续探究导航。

环节二：自主探究，多元表征，理解算理（15分钟）

任务一：初探算法，暴露原认知

1.独立尝试：请学生先独立尝试计算11.5÷5。允许使用任何方法（画图、转换单位、列竖式等）。教师巡视，搜集不同的做法和典型错误（如小数点乱点、忘记点小数点、不知如何处理余数等）。

2.展示交流：实物投影展示学生的不同方法。

1.3.方法A（单位换算）：11.5元=115角，115÷5=23（角），23角=2.3元。

2.4.方法B（直观模型）：用长方形或人民币模型图表示11.5元（11个1元和1个0.5元，或11元5角），演示平均分成5份的过程。

3.5.方法C（竖式计算）：可能出现的几种竖式（正确与错误并存）。

任务二：聚焦竖式，沟通算理与算法

1.关键问题引导：“这几种方法都能得到结果2.3元。我们重点来看看竖式计算。对比整数除法115÷5的竖式和小数除法11.5÷5的竖式，它们有什么相同和不同？”

2.小组合作探究：

1.3.提供人民币学具模型图（印有元、角、分的卡片）。

2.4.要求：结合学具，一边操作“分钱”的过程，一边解说竖式每一步的含义。重点思考：商中的“2”和“3”分别表示什么？商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐？

5.全班汇报，深度互动：

1.6.请一组学生上台，边操作学具边讲解。

2.7.操作与竖式对应：

1.3.8.“先分整元部分：11元平均分成5份，每份分得2元，还剩1元。在竖式中，就是11除以5商2，余1。”

2.4.9.“剩下的1元怎么办？”（引导学生思考：1元不能直接分了，但可以换成10角。）“这1元也就是10角，加上原来的5角，一共是15角。这个过程在竖式中怎么体现？”（将余数1看作10个0.1，与十分位上的5合起来，是15个0.1。在竖式里，就是把余数1的后面想象有一个‘0’，与十分位移下来的5组成15。）

3.5.10.“15角平均分成5份，每份3角，也就是0.3元。在竖式中，就是15个0.1除以5，商3（个0.1），写在十分位上。”

6.11.核心算理追问：

1.7.12.“商‘2’写在个位上，表示2元；商‘3’写在十分位上，表示3角（0.3元）。为了表示‘3’是在十分位上，表示的是0.3，我们需要做什么？”（点小数点）

2.8.13.“为什么小数点要点在和被除数的小数点对齐的位置？”（引导学生从“相同数位对齐”和“计数单位”的角度解释：商个位上的‘2’对应被除数的个位（元），商十分位上的‘3’对应被除数的十分位（角），所以商的小数点应该和被除数的小数点对齐，这样才能保证商每一位上的数都有正确的计数单位。）

9.14.动画演示辅助：课件动态演示竖式计算过程，并用颜色、箭头清晰展示每一步的算理对应关系，尤其是余数“1”转化为“10个0.1”与下一位合除的过程。

任务三：迁移尝试，巩固方法

1.独立计算：请学生运用刚才理解的方法，独立尝试计算第二个问题：12.9÷6。

2.难点聚焦：计算后，重点讨论：“这次计算中，除到被除数末尾（十分位）还有余数（3个0.1），怎么办？”引导学生说出：可以在余数3后面添0继续除，因为3个0.1可以看作30个0.01。这一过程同样可以通过“3角=30分”的生活经验来理解。

3.规范总结：师生共同梳理除数是整数的小数除法计算步骤，并用简洁的语言板书要点。

1.设计意图：本环节是突破重难点的核心。通过“独立尝试-多元展示-操作对应-算理追问-迁移巩固”的递进式探究，让学生亲历算法形成过程。将直观操作（分钱）与抽象竖式紧密结合，使“添0继续除”、“商的小数点对齐”等抽象规则变得可视、可感、可理解，有效促进算理的内化。

环节三：对比归纳，抽象算法（5分钟）

1.对比观察：将11.5÷5、12.9÷6的竖式与之前的115÷5、129÷6的竖式并列呈现。

2.引导归纳：小组讨论后，总结除数是整数的小数除法计算方法：

1.3.按：按照整数除法的法则去除。

2.4.商：商的小数点要和被除数的小数点对齐。

3.5.添：如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。

（板书：按整数除，点要对齐，有余添零。）

6.深化理解：再次强调“点要对齐”的本质是“数位对齐”，是保证相同计数单位上的数相除。

环节四：分层练习，巩固内化（5分钟）

1.基础巩固层：完成学习任务单上的基本竖式计算题，如：13.6÷8，20.4÷6。要求规范书写，并说一说计算过程。

2.理解辨析层：判断改错题。出示几种典型错误竖式（小数点位置错误、未添0、计算错误等），让学生诊断并改正。

3.简单应用层：解决一个与情境类似的生活问题，如“一根跳绳长8.4米，平均剪成4段做毽子，每段长多少米？”要求先估一估，再计算。

1.设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求。基础题巩固算法；辨析题深化算理理解，预防常见错误；应用题促进知识向解决实际问题能力的转化，并培养估算意识。

第三阶段：课后延伸，拓展提升（5分钟）

环节一：课堂总结，反思升华

1.知识梳理：通过提问“今天我们学习了什么？计算的关键是什么？”引导学生回顾总结。

2.方法反思：“我们是怎样学会小数除法的？”（从生活问题出发，用旧知识迁移，借助学具理解算理，最后总结算法。）

3.情感态度：联系“精打细算”的主题，谈谈在生活中如何运用小数除法做出更明智的选择。

环节二：布置作业，开放延伸

1.必做题：完成课本相关练习。

2.选做题（二选一）：

1.3.实践调查：到超市记录两种不同包装的同一种商品的总价和数量，计算并比较哪种包装更划算，撰写一份简短的“购物建议报告”。

2.4.数学探究：思考并尝试：如果被除数是整数，但除到最后有余数，想要得到小数商，应该怎么计算？（如：5÷4）请用竖式算一算，并解释你的做法。

1.设计意图：总结不仅回顾知识，更提炼学习方法。分层作业设计将学习从课堂延伸到生活与实践，选做题兼顾了应用性与挑战性，为学有余力的学生提供探索空间，持续激发数学兴趣。

六、板书设计（结构化思维导图式）

精打细算——小数除以整数

核心问题：商的小数点怎么点？为什么？

【情境】

甲商店：5包11.5元→11.5÷5

乙商店：6包12.9元→12.9÷6

【探究与发现】

1.方法：①单位换算②模型操作③竖式计算

2.关键理解（结合11.5÷5=2.3的竖式）：

2.3

5)11.5

10

-----

15←(1元=10角+5角=15角)

15

-----

0

1.3.算理：分元→余元化角，合角再分→结果用小数表示。

2.4.算法：

1.3.5.按整数除（从高位除起）

2.4.6.