高中数学必修一册教案5.2.1三角函数的概念（第1课时）教学设计-

《5.2.1三角函数的概念》第1课时三角函数的概念教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。以下是本节的课时安排：课时内容三角函数的概念同角三角函数的基本关系所在位置教材第177页教材第182页新教材内容分析教材首先通过锐角的三角函数的求法，引导学生思考任意角的三角函数的求法，引发学生的认知冲突，然后用具体的例子，得到任意角的三角函数的定义。根据任意角的三角函数的定义，不难找到同角三角函数的基本关系，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识同角三角函数的基本关系，并让学生在探究和解决问题的过程中，为学习三角函数奠定基础。核心素养培养理解任意角三角函数的定义，体现了数学抽象的核心素养；通过三角函数定义的应用，提升数学运算的核心素养.通过实例，引导学生理解同角三角函数的基本关系，培养数学抽象的核心素养；通过同角三角函数的基本关系的应用，提升数学运算的核心素养。教学主线任意角的三角函数的定义在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，培养数学抽象的核心素养；2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切，提升数学运算的核心素养；3.掌握公式并会应用，强化逻辑推理的核心素养。1.重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；2.难点：任意角的三角函数概念的建构过程。（一）新知导入1.创设情境，生成问题在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.2.探索交流，解决问题【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢?【提示】不变.【思考2】对于一个任意角，如何求得三角函数值？【提示】我们需将三角函数的定义推广到任意角。【设计意图】通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。（二）三角函数的概念【探究1】角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，当时，点P的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？【提示】当时，点P的坐标为。当时，点P的坐标为。当时，点P的坐标为。【探究2】一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？【提示】唯一确定三角函数的定义：设角它的终边OP与单位圆交于点。（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα,即y=sinα.(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．是以角α为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．【探究3】如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，是否可以用点P的坐标表示角α的三角函数？【提示】利用角α终边上一点的坐标定义三角函数，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，其中r＝eq\r(x2＋y2).【思考】三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？【提示】三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．【做一做】若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.解析：∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq\r(52＋－122)＝13，则sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(12,5).【设计意图】通过探究让学生理解任意角的三角函数定义，培养数学抽象的核心素养。（三）典型例题1.利用单位圆求三角函数值例1.求eq\f(4,3)π的正弦、余弦和正切值．[解析]在直角坐标系中作∠AOB＝eq\f(4,3)π，如图．∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，∴sineq\f(4,3)π＝－eq\f(\r(3),2)，coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2)，taneq\f(4,3)π＝eq\r(3).变式：把角改为5π3【解析】tan5π3【巩固练习1】已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，y))(y<0)，则tanα＝.【解析】因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，y))(y<0)在单位圆上，则eq\f(9,25)＋y2＝1，所以y＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).【答案】－eq\f(4,3)2.利用角终边上点求三角函数值例2.已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sinα，cosα的值．【解析】设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，则|OP|＝r＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))，∵y0＝2x0，∴r＝eq\r(5)x0，∴sinα＝eq\f(y0,r)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x0,r)＝eq\f(\r(5),5).变式探究1：已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．【解析】法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(5),5)，,y1＝\f(2\r(5),5)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(\r(5),5)，,y2＝－\f(2\r(5),5).))①当角α的终边在第一象限时，cosα＝x1＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝y1＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y1,x1)＝2.②当角α的终边在第三象限时，cosα＝x2＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝y2＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y2,x2)＝2.法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝eq\r(t2＋2t2)＝eq\r(5)|t|.①若t＞0时，则r＝eq\r(5)t，从而sinα＝eq\f(2t,\r(5)t)＝eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,\r(5)t)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.②若t＜0，则r＝－eq\r(5)t，从而sinα＝eq\f(2t,－\r(5)t)＝－eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,－\r(5)t)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.【变式探究2】已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.【解析】由题意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函数定义得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.【类题通法】已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)如果利用单位圆，需求出角的终边与单位圆的交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.【巩固练习2】已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝.【解析】因为r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5).所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.【答案】1或－1（四）操作演练素养提升1．已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为()A．1 B．－1C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)2．设角α的终边上有一点P(a，3)，则cosα=3．已知角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－eq\f(3,5)，则b的值为________．4.已知角α的终边过点P(12，a)，且tanα＝eq\f(5,12)，求sinα＋cosα的值．【答案】1.B2.±633.34.eq\f(17,13)【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第179页练习第1，2，3,4题第184页习题5.2第2题