单调性与最大（小）值（第2课时）课件 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）《普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）》

中国自由式滑雪运动员，谷爱凌在2022年夺得2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌、自由式滑雪坡面障碍技巧银牌、自由式滑雪女子U型场地技巧金牌。

谷爱凌在大跳台和U型场滑行时，出现了最高点和最低点，那我们函数是否也有类似的性质呢？新课引入

问题1

我们把谷爱凌在女子大跳台金牌、和自由式滑雪女子U型场地技巧的比赛滑行轨迹看作是曲线f(x)=-x²和g(x)=x².

画出并观察f(x)=-x²和g(x)=x²的图象，找出函数图象上的最高点或最低点的坐标？形成定义

问题2

当一个函数的图象有最高点时，我们就说函数有最大值.函数f(x)=-x²图象的最高点的纵坐标与图象上所有点的纵坐标有怎样的大小关系？你能用语言来描述函数f(x)=-x2的这个性质吗？

问题3

你能用符号语言来描述一下最大值的定义吗？形成定义函数最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:（1）∀x∈I,都有

f(x)≤M

（2）∃x0∈I,使得

f

(x0)=M

那么,称M是函数y=f(x)的最大值.

形成定义函数最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:（1）∀x∈I,都有

f(x)≥m

（2）∃x0∈I,使得

f(x0)=m

那么,称m是函数y=f(x)的最小值问题4你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值定义吗？形成定义最值条件(I是函数f(x)的定义域)几何意义最大值(M)最小值(m)函数y=f(x)最大(小)值的定义①对于任意x∈I，都有f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标①对于任意x∈I，都有f(x)≥m②存在x0∈I，使得f(x0)＝m函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标

问题5

最大值与最小值反映了函数的什么性质？他们相同点与不同点是什么？它们有怎么的几何意义？形成定义

例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点爆裂.如果烟花离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18

,那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1m)？

分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.例题讲解

显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度.根据二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有：解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18

于是，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距地面的高度约为29m.(或者h(t)=-4.9×(1.5)2+14.7×1.5+18≈29)181.5例题讲解

【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上单调递减，因此这个函数在定义的左端点上取得最大值，右端点取最小值.621例题讲解解：∀x1,x2∈[2,6]，且x1<x2

，则例题讲解解：1.f(x)的图象如图所示，所以f(x)max=2.例题讲解解：∀x1,x2∈[2,6]，且x1<x2

，则当堂检测

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