【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷（网传）（含答案）

第第页【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷（网传）一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分)1．若集合A={2，a+1}，且-1∈A，则a=.2．已知数列{an}为等比数列，且a1=2，a2=6，则a4=3．已知sinα=154．已知事件A和事件B互斥，且P（A)=0.2，P（B)=0.5，则P（A∪B)=.5．函数f（x)是偶函数，当x≥0时，fx=x6．在x2+x5的二项展开式中，x77．已知a2+48．已知随机变量X的分布为(−101a0.39．已知等差数列{an}中，a1=0,d为公差，Sn为{10．已知k∈R，a→,b→,c→11．已知三角函数f（t)=Asin（ωt+φ)+B（A>0，B∈R，ω>0，0≤φ<2π)，若v=f（t)，当v=0或v=4时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，求f（t)=.12．已知A，B，C为一椭圆4个顶点和2个焦点中任意三个，AB=3,BC=14,AC=5，则该椭圆的离心率为二、选择题（本大题共4小题,满分18分,第13、14题各4分,第15、16题各5分)13．a为不为1的任意实数，则a⋅3A．a32 B．a43 C．14．已知事件A、事件B为独立随机事件，事件C表示为事件A、B至少有一件发生，则C=（)A．A∩B B．A∪B C．A∩B 15．对于任意两个复数z，w，如果满足“z-w∈R”或“z-w∈R”，那么就称z与w伴随，如果z与w伴随，则w-i与z+i伴随的充要条件是（)A．Rez+Rew=0 B．Rez-Rew=0 C．Imz+Imw=0 D．Imz-Imw=016．如图，在一个空间直角坐标系中，存在一个正方体ABCD-A1BA．1 B．3 C．4 D．7三、解答题17．某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：某颗粒物密度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4751.8453.29.166.64.43.313.353.86（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少?（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在（-1，0)，（0，1)，（1，2)哪个区间内?（直接写结论)（3）2023年前9年的年份（x)的平均数为2018，y（颗粒物密度)关于x（年份)的回归方程拟采用y=106.544e18．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PH⊥底面，AH=1，HD=4，AB=2.（1）证明：HC⊥PB；（2）若四棱锥体积VP-ABCD19．已知a∈R，函数f（1）已知f（1）=4，求fx（2）a≠0，l1是f（x)在点（0，3)处的切线，l2是过点（0，3)且垂直于l1的直线，g（x)与l1、l2在第一象限内均无公共点，求a的取值范围。20．已知双曲线Γ:x2-y2（1）求点（2，0)到Γ渐近线的距离；（2）若PF1⋅PF（3）设Ω:x2-y2=1,其中x<0y≤-121．已知（i，j，k)是1，2，3的一个排列，对函数f1x,f2x,f3x,对于任意x∈I，都有f（1）对I=3（2）对I=0（3）对x∈[0，+∞)，且对任意x∈[0，+∞)，0<F（x)<1，令I=a+∞,f1x=F

答案解析部分1．【答案】-2【解析】【解答】解：集合A=2,a+1，且-1∈A，则1+a=−1，解得a=−2，集合A=故答案为：-2.【分析】根据元素和集合的关系列式求解即可.2．【答案】54【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q=故答案为：54.【分析】设等比数列{an}的公比为q3．【答案】2325【解析】【解答】解：sinα=15故答案为：2325【分析】直接利用余弦的二倍角公式求解即可.4．【答案】0.7【解析】【解答】解：因为事件A,B互斥，所以故答案为：0.7.【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解即可.5．【答案】-1【解析】【解答】解：函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=故答案为：-1.【分析】根据函数f(x)6．【答案】10【解析】【解答】解：(x2+x令10−k=7，解得k=3，C5kx10−k=故答案为：10.【分析】先写出(x2+x)57．【答案】14【解析】【解答】解：a2+4b2=1，则1=a2+4b2≥2a⋅2b=4ab，即ab≤14故最大值为14故答案为：14【分析】直接利用基本不等式求解即可.8．【答案】0.6【解析】【解答】解：因为随机变量X的分布为(−101所以a+b=0.7，且E(故答案为：0.6.【分析】根据分布列性质，结合期望公式列式求解即可.9．【答案】0，1【解析】【解答】解：等差数列an中，a1=0，公差为d，

则Sn=na1+nn-12d=nn-1则S2=d∈(故答案为：0，1【分析】根据等差数列的求和公式写出Sn，由题意可得S2∈10．【答案】-6【解析】【解答】解：因为a+3b//b+c，2a+kc所以kc又因为b,c不平行，所以k=y−2x−6=y−2x故答案为：-6.【分析】根据平面向量共线定理，结合向量相等列式求解即可.11．【答案】2sin【解析】【解答】解：由题意可得：函数f(因为f(t)∈[−A+B,又因为初速度为0，所以f(0)=2sinφ+2=0，解得速度第一次达到4时用时0.1秒，则T2则f(t)故答案为：2sin【分析】由题意可得：函数f(t)的最小值为0，最大值为4，根据正弦型三角函数的性质构造方程组求出A,B，结合初速度为0，求出φ12．【答案】23【解析】【解答】解：易知AB<BC<AC，根据椭圆的对称性可知：三点必为上下顶点、左右顶点、两个焦点各取一个，

不妨取上顶点、右顶点，焦点取其一，则三条线段对应a+c,a,a2+①、当三条线段对应a+c,a,a则b2+c2=3②、当三条线段对应a-c,a,a则a=3a2+综上所述：a=3，b=5，c=2，离心率e=故答案为：23【分析】易知AB<BC<AC，根据椭圆的对称性可知：三点必为上下顶点、左右顶点、两个焦点各取一个，不妨取上顶点、右顶点，焦点取其一，则三条线段对应a+c,a,a2+b213．【答案】B【解析】【解答】解：由a≠1，则a⋅3故答案为：B.【分析】根据有理数指数幂的远算性质化简即可.14．【答案】C【解析】【解答】解：事件A,B为独立随机事件，事件C表示事件A,则对立事件C为事件A,B都不发生，即故答案为：C.【分析】根据对立事件的定义求解即可.15．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z=x+yi，ω=a+bi，xz−ω=(当z和ω伴随时，y−b=0或y+b=0，(ω−i若ω−i和z+i伴随，则b−y−2=0或即ω−i和z+i伴随的充要条件是b+y=0，则故答案为：C.【分析】设复数z=x+yi，ω=a+bi，x16．【答案】A【解析】【解答】解：不妨设正方体的棱长为3，则A(0,0,0)，C设点C在体对角线AC1上的投影为E，AE=则CE=可得CE⋅AC则AE=(2,2即点C的轨迹是以点E(2,将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：则P(0,0,可知△PQR为边长为62的正三角形，且其中心为E(即可知点C的轨迹即为△PQR的内切圆，则点C故答案为：A.【分析】不妨设正方体的棱长为3，求得相应点的坐标，设点C在体对角线AC1上的投影为E，AE=λAC1=(3λ,3λ,17．【答案】（1）解：9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为C7（2）解：统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现；随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数|r|≤1（3）解：采用方程y=106.544e-0.461预测值与实际值差值绝对值为2.199；x则33.499=a(故采用方程y=a(2023年预测值为y=−12.预测值与实际值差值绝对值为|−29因为2.199<33.【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性用散点图分析；根据二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，判断两者正相关，相关系数为正，结合相关系数的性质判断区间即可；（3）分别计算两种方程下2023年的预测值的与实际值的差值绝对值，再比较判断即可.18．【答案】（1）证明：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则A(0,0,因为CH→⋅PB（2）解：若四棱锥体积VP-ABCD=1053，则V=13S⋅PH=13×设平面PBH的法向量为m=(x,y,z设平面PCB的法向量为n=(x1,y1设二面角C−PB−H为θ，则|cos由图可知，二面角C−PB−H为锐角，则二面角C−PB−H大小为arccos1【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证即可；（2）若四棱锥体积VP-ABCD=1053，利用棱锥体积公式求出h，可得点P19．【答案】（1）解：由题意，x≠0，在f(x)由f(1)=1不等式f(x)+1x2>g(则不等式的解集为(−∞（2）解：由题意及（1）得，a≠0，在f(x)=因为直线l1为f(x)在点(0,3因为l2是过点(0,3)且垂直于l1的直线，所以直线在g(x)=4x+1x2中，x≠0所以g(x)分离参数得a=1x3直线y=a与y=−1a与曲线h(而h'当h'(x)=0当h'(x当h'(x∴h(x)在x=1当x→0时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→4则实数a的取值范围为(−【解析】【分析】（1）由题意，x≠0，根据f1=4求出参数a，不等式f(x)（2）由题意及（1）得，a≠0，利用导数的几何意义，结合点斜式求出直线l1与l2的方程，利用g(x)与l1、l2在第一象限内均无公共点，得出g(x)=4x+1x2=ax+320．【答案】（1）解：易知双曲线Γ:x2-y2则点(2,0（2）解：由PF1→由余弦定理可得|F1F因点P是双曲线上一点，则||PF代入可得|PF1||则△PF1（3）解：不妨取A(−2,−1)，依题意，设直线l：x=n1y+2，则n1∈[0,1)联立x=n1y+由韦达定理可得y1+y则|PQ可知函数f(t)=2(且当t趋近于1时，f(t)趋近于+∞，即f(t)在因λ>0，所以λ同理可得：|MN可知g(s)=2(且当s趋近于1时，g(s)趋近于+∞，即g(s)在由题意可知：[2λ,+∞)则存在实数λ符合题意，λ的取值范围为[9【解析】【分析】（1）易知双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可；（2）利用向量的数量积，结合余弦定理可得|PF1|2+|PF2|（3）不妨取A(−2,−1)，B(2,−1)，则直线AF2的斜率kAF2=24，设直线l：x=21．【答案】（1）解：由题意得i=3,则当I=[3,+∞)[f则f1故(3,1（2）解：若nI①(i,j②(i,j,k③(i,j,k④(i,j,k⑤(i,j⑥(i,j,k则上述不等式均要成立，取它们的交集有f1即f1(x)≤分离参数得m≥−1m≤x2−x，因为当所以−1≤m≤−1（3）解：观察（2）问的6个情况，若f1(x)≤那么排列(1,2,3当f1(x因为F(x)是定义在[0,又因为函数y=1−e−x在则在区间I=[a,+∞)若f1(x则只需F(0)≤1−e−a，即则F(0)∈(当f2(x因为F(x)严格递减，所以Ff2只要a≥−ln(1−F(则可取a=−ln即存在a>0，使得nI再证明第2个结论，假设对于任意的a∈(0,因为（2）中①排列(1则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列，首先，我们证明f1假设对于某个a>0，在[a,+∞即F(即F(取xn=2a+n⋅a(令Δ=F则F(于是对任意正整数N：F(当N→+∞时，F(xN因此，f1(x)≤f2(x)不可能恒成立．则排列接下来只剩②排列(1,3⑤排列(3,1⑥排列(3,2下面证明：对于任意a∈(0,1),f1（i）若对任意x>0，都有f1(x对于任意a∈(0,则f2当且仅当a=0时等号成立，又因为a>0，故等号无法取到，所以f2则f2(x则此时②排列(1,3,2)，⑤排列则nI=4，与假设（ii）并非对于所有x>0都有f1(x则必定存在x0>0，使得设F(因为y=1−e则对于已知的Δ>0，总可以找