3.1 排列与组合 教案

3.1排列与组合教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标熟练掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能根据实际问题准确选择计数原理，解决简单计数问题。理解排列、组合的定义，明确两者的核心区别（是否与顺序有关），熟练掌握排列数、组合数公式及组合数的两个性质。精通排列、组合的经典应用题型（如有限制条件的排列、组合问题，相邻与不相邻问题，分组分配问题），能灵活运用直接法、间接法、捆绑法、插空法等技巧解题。结合高考命题规律，提升运用排列组合知识解决综合问题的应试能力，培养分类讨论、转化与化归的数学素养。二、教学重难点（一）教学重点两个计数原理的辨析与应用，排列数、组合数公式及组合数性质的灵活运用。排列组合经典题型的解题思路与技巧（捆绑法、插空法、直接法、间接法）。高考常考题型（有限制条件的排列、组合问题，分组分配问题）的规范解答步骤。（二）教学难点两个计数原理的准确区分（分类为“互斥独立”，步为“关联依赖”），避免计数重复或遗漏。复杂限制条件下排列组合问题的分类讨论（如元素优先、位置优先的选择）。分组分配问题中“均匀分组”与“非均匀分组”的区别，以及是否考虑顺序的判定。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（15分钟）核心概念梳理分类加法计数原理：完成一件事有n类互斥办法，第i类有mᵢ种方法，总方法数N=m₁+m₂+…+mₙ（关键词：分类、互斥、独立完成）。分步乘法计数原理：完成一件事有n个关联步骤，第i步有mᵢ种方法，总方法数N=m₁×m₂×…×mₙ（关键词：分步、关联、缺一不可）。排列：从n个不同元素中取m（m≤n）个，按一定顺序排成一列，记排列数为Aₙᵐ，公式Aₙᵐ=nn−1组合：从n个不同元素中取m（m≤n）个，不考虑顺序并成一组，记组合数为Cₙᵐ，公式Cₙᵐ=Aₙᵐ组合数性质：①Cₙᵐ=Cₙⁿ⁻ᵐ；②Cₙᵐ+Cₙᵐ⁻¹=Cₙ₊₁ᵐ。核心区别与联系排列与组合的区别：排列与顺序有关（如AB≠BA），组合与顺序无关（如AB=BA）。两个计数原理的联系：都是解决计数问题的基础，复杂问题常需两者结合使用。（二）考点考频及常考题型两个计数原理的应用（考频：10年10考，近5年全覆盖）考频分析：基础考点，覆盖选择、填空，分值3-5分，难度低-中档，侧重原理辨析。常考题型：分类计数与分步计数的混合应用，简单实际问题的计数。排列数、组合数的计算与性质（考频：10年8考，近5年高频）考频分析：基础-中档考点，覆盖选择、填空，分值3-5分，侧重公式与性质应用。常考题型：排列数、组合数的计算，利用组合数性质化简求值，解方程。有限制条件的排列问题（考频：10年10考，近5年必考）考频分析：中档考点，覆盖选择、填空、解答题，分值5-8分，侧重技巧应用。常考题型：元素优先、位置优先问题，相邻问题（捆绑法），不相邻问题（插空法）。组合及分组分配问题（考频：10年9考，近5年必考）考频分析：高档考点，多为解答题，分值6-12分，综合性强。常考题型：有限制条件的组合问题，均匀/非均匀分组，分配问题（有序/无序）。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：两个计数原理的应用（基础题·辨析）题目：张丽的书桌上有3本不同的语文课外读物和2本不同的数学课外读物。（1）从中取出一本随身携带，有多少种不同的取法？（2）从语文和数学课外读物中各取一本，有多少种不同的取法？解法：原理直接应用（1）取一本书分两类：取语文书（3种）或取数学书（2种），分类加法计数原理，总取法3+2=5种；（2）各取一本分两步：先取语文书（3种），再取数学书（2种），分步乘法计数原理，总取法3×2=6种。技巧解题：“原理快速判断技巧”技巧：若完成事件的不同方式之间“互斥”（选一种即可完成），用分类加法；若需“多步配合”（缺一不可），用分步乘法。例题2：有限制条件的排列问题（中档题·位置优先）题目：用0,1,2,3,4,5可组成多少个没有重复数字的四位数？解法1：位置优先法（优先处理特殊位置）千位为特殊位置（不能为0），有5种选择（1-5）；百位、十位、个位从剩余5个数字中选3个排列，有A₅³=5×4×3=60种；总个数5×60=300个。解法2：间接法（总排列减不符合条件排列）从6个数字中选4个排列的总个数A₆⁴=6×5×4×3=360；千位为0的不符合条件排列（相当于三位数排列）A₅³=60；符合条件的四位数个数360−60=300个。技巧解题：“排列限制条件技巧”技巧：有特殊元素（如0）或特殊位置（如首位）时，优先处理特殊部分（位置优先或元素优先）；正面情况复杂时，用间接法（总情况减不符合情况）简化计算。例题3：相邻与不相邻问题（中档题·捆绑法+插空法）题目：3位男生和2位女生站成一排拍照，（1）要求2位女生相邻，有多少种不同站法？（2）要求2位女生不相邻，有多少种不同站法？解法1：相邻问题（捆绑法）把2位女生捆绑为一个“复合元素”，内部排列有A₂²=2种；复合元素与3位男生共4个元素全排列，有A₄⁴=24种；总站法2×24=48种。解法2：不相邻问题（插空法）先排3位男生，有A₃³=6种，形成4个空隙（含两端）；从4个空隙中选2个排女生，有A₄²=12种；总站法6×12=72种。技巧解题：“相邻不相邻速解技巧”相邻问题：捆绑法（先捆后排，捆绑元素内部需排列）；不相邻问题：插空法（先排无限制元素，再插空排限制元素）。例题4：组合及分组分配问题（高档题·均匀分组）题目：要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学，（1）每人各得3本，有多少种分法？（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本，有多少种分法？解法1：均匀分组分配第一步：分给甲3本，C₉³种；第二步：分给乙3本，C₆³种；第三步：分给丙3本，C₃³种；总分法C₉³×C₆³×C₃³=9!解法2：非均匀分组分配第一步：按4,3,2本分成三组，C₉⁴×C₅³×C₂²种；第二步：将三组书分给3名同学，A₃³种；总分法C₉⁴×C₅³×C₂²×A₃³=3780×6=22680种。技巧解题：“分组分配技巧”均匀分组（每组元素个数相同）：若分配对象不同，直接分步分配；若仅分组无分配对象，需除以组数的全排列（避免重复）；非均匀分组：先按个数分组，再根据分配对象是否有序决定是否乘全排列。（四）高考真题解析（25分钟）（2024·上海卷，12题，5分）4个家长和2个儿童去爬山，6个人排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______种。解析：第一步：选2位家长排在首尾，A₄²=4×3=12种；第二步：排中间4人（剩余2位家长+2个儿童），A₄⁴=24种；总排列数12×24=288，答案为288。（2023·新课标Ⅰ卷，10题，5分）某学校用分层随机抽样从初中部400名和高中部200名学生中抽取60名，不同的抽样结果共有（）A．C₄₀₀⁴⁰C₂₀₀²⁰种B．C₄₀₀²⁰C₂₀₀⁴⁰种C．C₆₀₀⁴⁰C₂₀₀²⁰种D．C₄₀₀⁴⁰C₂₀₀²⁰种解析：分层抽样中，初中部抽取60×400初中部选40人有C₄₀₀⁴⁰种，高中部选20人有C₂₀₀²⁰种，总结果为C₄₀₀⁴⁰C₂₀₀²⁰，答案选A。（2021·全国乙卷，13题，5分）将5名志愿者分配到4个项目，每名志愿者分配1个项目，每个项目至少分配1名，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种解析：第一步：将5人分成4组（1组2人，其余3组各1人），C₅²=10种；第二步：4组分配到4个项目，A₄⁴=24种；总方案数10×24=240，答案选C。（2022·新高考Ⅱ卷，15题，5分）从2名男同学和3名女同学中选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为______。解析：总选法C₅²=10种，选中2名女同学的选法C₃²=3种；概率310，答案为3（2020·全国Ⅲ卷，14题，5分）(xy+y)⁵的展开式中x²y³的系数为______。解析：原式变形为y⁵x+1系数为C₅²=10，答案为10。（2024·新课标Ⅱ卷，16题，5分）从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有______种。解析：方法一（位置优先）：翻译岗位从剩余5人中选1人，A₅¹=5种，其余3岗位从剩余5人中选3人排列，A₅³=60种，总方案5×60=300种；方法二（元素优先）：甲不入选时A₅⁴=120种，甲入选时甲从3个岗位选1个，A₃¹×A₅³=180种，总方案120+180=300种；答案为300。四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-5分）：两个计数原理的应用，排列数、组合数的计算，简单组合问题（选择/填空）。中档题（5-8分）：有限制条件的排列问题（如特殊元素/位置、相邻/不相邻），组合数性质应用（填空/解答题第一问）。高档题（8-12分）：分组分配问题，排列组合与概率、二项式定理的综合应用（解答题核心模块）。命题趋势：核心不变：两个计数原理是基础，排列组合的经典题型（相邻、不相邻、分组分配）是高频考点。综合性增强：与概率、二项式定理、实际场景结合，强调分类讨论与逻辑推理。设问灵活：多以实际应用为背景，考查知识迁移能力，有限制条件的排列组合问题占比最高。解题技巧总览：计数原理：先判断是“分类”还是“分步”，避免重复或遗漏。排列问题：特殊元素/位置优先处理，相邻用捆绑法，不相邻用插空法，正面复杂用间接法。组合问题：有限制条件时，直接法（满足条件的分类）或间接法（总情况减不符合情况），组合数性质简化计算。分组分配：均匀分组需注意是否除以组数全排列，分配问题需明确是否考虑顺序。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2022·北京卷，12题，5分）在(2x-1)⁶的展开式中，x³的系数为______。答案：-160解析：通项公式Tᵣ₊₁=C₆ʳ2x⁶⁻ʳ−1（2021·浙江卷，16题，5分）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有______种。答案：240解析：巴黎从剩余4人中选1人，A₄¹=4种，其余3城市从剩余5人中选3人排列，A₅³=60种，总方案4×60=240种。六、课堂小结（5分钟）核心知识：两个计数原理的辨析，排列与组合的定义及区别，排列数、组合数公式与组合数性质。解题方法：分类讨论、间接法、捆绑法、插空法、位置/元素优先法，分组分配问题的解题逻辑。高考策略：基础题保分（熟练公式、准确计数），中档题稳分（技巧应用、规范步骤），高档题突破（分类讨论、综合应用）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题3.1中计数原理、排列数组合数计算题目；重做课堂练习及例题，整理两个计数原理、排列组合的核心区别与解题技巧。提高层：完成2020-2024年高考排列组合相关真题汇编（侧重有限制条件的排列组合、分组分配）；针对相邻与不相邻、均匀分组等易错题型进行专项练习，整理错题本。拓展层：设计一道排列组合与概率结合的综合题（包含限制条件），并提供两种解法；探究排列组合在实际生活中的应用（如抽奖概率、赛程安排）。八、教学反思学生对两个计数原理的辨析容易混淆，尤其是分类与分步的边界模糊，需通过更多对比例题（如“选书”vs“买书”）强化认知。排列组合的限制条件问题中，学生容易出现重复或遗漏计数，需强调“特殊优先”原则和分类讨论的完整性，必要时用枚举法验证。分组分配问题是难点，学生对“均匀分组是否除以全排列”掌握不够，需通过对比均匀与非均匀分组的实例，明确判定标准。学生对技巧性方法（捆绑法、插空法）的应用不够灵活，需拆解解题步骤，让学生理解技巧的本质是“转化限制条件”，而非机械套用。课堂可增加小组合作探究，让学生自主设计计数问题并求解，深化对计数原理的理解；课后可布置实践类作业（如计算班级座位排列数），提升知识应用能力。综合训练一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[北京房山一模]在x-2x4的展开式中,x2的系数是()A.-8 B.8 C.-4 D.42.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠,且往上拨2粒下珠,则算盘可表示的数的个数为()A.9 B.18 C.27 D.363.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.364.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+…+a6x6,则实数b的值为()A.15 B.20 C.40 D.605.[甘肃武威月考]若对∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a+b=()A.-1 B.0 C.2 D.36.(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为()A.-160 B.-80 C.160 D.807.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320 B.160 C.96 D.608.[江西南昌模拟]假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验,三个舱中每个舱至少一人至多三人,则不同的安排方法有()A.450种 B.72种 C.90种 D.360种二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.某学生想在物理、化学、生物、思想政治、历史、地理、信息技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若任意选择三门课程,选法种数为AB.若物理和化学至少选一门,选法种数为CC.若物理和历史不能同时选,选法种数为CD.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C10.如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数可以表示为()A.A43×C.A42×(A21)2 D.C11.[江苏苏州期中]在x−12x9的展开式中(A.常数项为212 B.x3项的系数为-C.系数最大项为第3项 D.有理项共有5项12.[江苏宿迁期中]若x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则()A.a0=1B.a1+a2+…+a5=1C.a1+a3+a5=-16D.a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1三、填空题(本题共4小题)13.某群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有种.

14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种.

15.(1+2x)4展开式的各项系数的和为.

16.已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,m为常数,若a5=-7,则m=,a6+a5+…+a1=.

四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.[黑龙江尖山月考]已知(2x-1)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023.(1)求a0;(2)求a1+a2+a3+…+a2023;(3)求a1+2a2+3a3+…+2023a2023.18.从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.(1)求可以组成多少个大于500的三位数;(2)求可以组成多少个三位数;(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.19.在3x−123(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.20.有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?21.[安徽合肥期中](1)高二(10)班元旦晚会有2个唱歌节目a和b,2个相声节目c和d.要求排出一个节目单,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,列出所有可能的排列.(2)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7个人排成一排拍照片,若要求甲、乙、丙3人必须相邻,并且丁和戊不相邻,有多少种不同排法?(结果用数字表示)(3)从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训,要求有男有女且至少有2名男教师参加,有多少种不同的选法?(结果用数字表示)22.[湖南长沙期中]设f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n(m∈N*,n∈N*).(1)当m=4,n=3时,记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0,1,2,3,4,5,6,8),求a3+a4的值;(2)若f(x)的展开式中x2的系数为20,求mn的最小值参考答案综合训练1.Ax-2x4的展开式通项为Tk+1=C4k·x4-k·-2xk=C4k·(-2)k·x4-2取4-2k=2,则k=1,系数为C41×(-2)=-8.故选2.B根据算盘的运算法则以及题干中描述的操作,从个位、十位、百位的上珠中选1粒往下拨,则有C31种,下珠往上拨分两种情况,全部来自个位、十位、百位,即C31种,或者来自个位、十位、百位中的两个,即C32种,故算盘表示的数的个数为C31×(3.C由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41×C32第2类,3人中是2男1女,共有C42×C31所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.4.D(1+ax)6的展开式的通项为Tk+1=C6kakxk,令k=1,则C61a=12,解得a=2,则b=C65.C对∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,令x=0,可得b5=32-80+80-40+10-1=1,∴b=1.令x=-2,可得(1-2a)5=-1,∴a=1.则a+b=2.故选C.6.D原式可以化为[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,则二项式的展开式中含x9y3的项为-4xy×C51(x2)4(-4y2)1=80x9y3,所以x9y3的系数为80,故选7.A根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故各有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320种.8.A由题知,6名航天员安排三个舱,三个舱中每个舱至少一人至多三人,可分两类情况考虑:第一类,分人数为1-2-3的三组,共有C61×C第二类,分人数为2-2-2的三组,共有C62×C所以不同的安排方法共有360+90=450种.故选A.9.ABD若任意选择三门课程,选法种数为C73,故A若物理和化学至少选一门,选法种数为C21×C5若物理和历史不能同时选,选法种数为C73−C2若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21×C52+C10.ACD选项A:表示先着色中间两格和下面一格.从4种颜色中取3种,有A43种方法,上面一格,从与中间两格不同的颜色中取出一个,有A21种方法,故共有A43选项B:A42×A42选项C:表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色中取2种,共有A42种方法,上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个,各有A21种方法,故共有A42×(A21选项D:表示两种情况:①上下两格颜色相同,中间两格从3个剩下的颜色中取2种,共有C41×A32种不同方法;②上下两格颜色不同,中间两格从2个剩下的颜色中取2种,共有C42×A22×A22种不同方法.综合11.BCD在x−12x9的展开式中,通项为Tk+1=C9k·-12k·x9-3k2,令9-3k2=0,得k=3,可得展开式中常数项为T4=C令9-3k2=3,得k=1,可得展开式中x3项的系数为-92要使第k+1项的系数C9k-12k最大,需k为偶数,检验可得,当k=2时,系数C9k-12k最大,即系数最大项为第3项,故C令9-3k2为整数,得k=1,3,5,7,9,共计5项,12.BD因为x5=[-1+(x+1)]5=C50(-1)5(x+1)0+C51(-1)4(x+1)1+C52(-1)3(x+1)2+C53(-1)2(x+1)3+C54(-1)1(x+1)4+C55(-1)0(x+1)5=(-1)+5(x+1)-10(x+1)2+10(x+1)3-5(x+1)4+(x+1)5,所以a0=-1,a1=5,a2=-10,a故选项A错误;a1+a2+…+a5=5-10+10-5+1=1,故选项B正确;a1+a3+a5=5+10+1=16,故选项C不正确;a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1+5+2×(-10)+3×10+4×(-5)+5×1=-1,故选项D正确.13.72第1步,甲、乙抢到红包,有A42=4×3=12种,第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=3×2=6种,所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×614.90先分组C52C32C11A15.81令x=1,则二项展开式的各项的系数和为(1+2)4=81.16.-1-2由已知可得a5为x5的系数,则展开式中含x5的项为x×C51x4·m-2×C50x5=(5m-2)x5,所以5m-2=-7,解得m=-1,令x=0,则a0=-2×(-1)5=2,令x=1,则a0+a1+…+a6=(1-2)(1-1)5=0,所以a6+a5+…+a17.解(1)令x=0,则a0=(-1)2023=-1.(2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a2023=(2-1)2023=1,所以a1+a2+…+a2023=1-a0=2.(3)等式两边同时求导可得4046(2x-1)2022=a1+2a2x+3a3x2+…+2023a2023x2022,令x=1,则a1+2a2+…+2023a2023=4046×(2-1)2022=4046.18.解(1)首位是5,7,9的三位数都大于500,故大于500的三位数有3×A42=36(2)可以组成三位数的个数是4×A42=(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有A31×A32个三位数.第二类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3A33个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3A21×A22个三位数,19.解通项为Tk+1=(-由已知,(-12)0得2×12Cn1=