6.2 利用导数研究函数的性质 教案

6.2利用导数研究函数的性质教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标理解函数单调性与导数的关系，能根据导数符号判断函数的单调区间，掌握函数增减性快慢的导数刻画方法。明确函数极值的定义，理解极值与导数的关系，熟练掌握利用导数求函数极值的步骤。能灵活运用导数解决含参函数的单调性讨论、函数极值与最值求解等问题，掌握多种解题方法与技巧。结合高考真题规律，提升应试能力，培养数学逻辑推理和综合分析能力，能实现导数与函数性质的深度融合。了解导数在函数性质研究中的高考命题趋势，形成规范的解题思路和严谨的答题步骤。二、教学重难点（一）教学重点导数符号与函数单调性的关系，单调区间的求解方法。函数极值的定义，利用导数求极值的“找导数为零的点→判断符号变化→确定极值”步骤。含参函数单调性的分类讨论，闭区间上函数最值的求解（极值点与区间端点函数值比较）。高考中单调区间、极值、最值等基础题型的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点含参函数单调性讨论中参数分类标准的确定，避免重复或遗漏。导数为零的点与极值点的区别，需验证导数在该点两侧的符号变化。复杂函数（如指数、对数与多项式结合）的导数计算及单调区间、极值求解。高考中导数与函数单调性、极值、最值结合的综合性题目的建模与解答。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念与定理：单调性与导数：若函数y=fx在区间ab内可导，f'x>0则fx单调递增；f'极值定义：函数在某点的函数值比它在该点附近其他点的函数值都大（小），则该点为极大（小）值点，对应函数值为极大（小）值。极值与导数：若x0是极值点，则f'x0=0（必要条件）；若f'x最值求解：闭区间ab上的连续函数，最值在极值点或区间端点处取得，需比较所有极值与fa、关键性质速记：单调区间求解“三步法”：求导→解导数不等式→写单调区间（注意定义域）。极值求解“四步法”：求导→找导数为零的点→判断两侧符号→确定极值。含参讨论“核心”：以导数表达式中参数影响符号的临界值为分类标准（如二次函数的判别式、根的大小关系）。（二）考点考频及常考题型1.函数单调区间求解（考频：10年10考，近5年全覆盖）考频分析：基础核心考点，多在选择题、填空题及解答题第一问出现，难度中低档（分值3-5分），核心考查导数计算与不等式求解。常考题型：具体函数单调区间求解、含参函数单调区间讨论。2.函数极值与最值求解（考频：10年9考，近3年高频）考频分析：中档考点，覆盖选择、填空、解答题，分值4-6分，重点考查极值点判断与最值比较。常考题型：具体函数极值求解、闭区间上函数最值求解、含参函数极值存在性问题。3.含参函数单调性与极值综合（考频：10年8考，近4年稳定考查）考频分析：中档偏难考点，多在解答题中出现，分值6-8分，核心考查参数分类讨论能力。常考题型：含参函数单调区间讨论、含参函数极值个数判断、参数取值范围求解。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：具体函数单调区间求解（基础题·一题多解）题目：求函数fx解法1：常规求导+解不等式（常规法）步骤：求导：f'解不等式：令f'x>0，得3x+1x−3>0，解得x<−1或写单调区间：单调递增区间为−∞−1和3+∞，单调递减区间为核心依据：直接利用导数符号与单调性的关系，通过解一元二次不等式得到单调区间，是最常规的方法。解法2：导数因式分解+符号数轴法（拓展法）步骤：求导并因式分解：f'x=3x+1x−3，令f数轴标记临界点：将−1、3标记在数轴上，划分出三个区间−∞−1、−13、判断各区间符号：在−∞−1上，x+1<0、x−3<0，故f'x>0；在−13上，x+1>0、x−3<0，故f确定单调区间：与解法1一致。核心依据：通过数轴直观呈现导数符号变化，避免解不等式时出错，适合二次导数或可因式分解的导数。技巧解题：“导数因式分解+数轴符号法”技巧技巧：求单调区间时，先将导数因式分解，找到临界点，再用数轴标记区间并判断符号，快速确定单调区间；注意定义域对区间的限制（如对数函数、分式函数）。适用场景：所有可因式分解导数的函数单调区间求解，高考选择、填空题速解。例题2：函数极值求解（中档题·一题多解）题目：求函数fx解法1：导数法（常规法）步骤：求导：f'找临界点：令f'x=0判断符号变化：当x<−233时，f'x>0；当−2确定极值：x=−233是极大值点，极大值f−2核心依据：严格遵循“求导→找临界点→判符号→定极值”的步骤，是极值求解的标准方法。解法2：二阶导数法（拓展法）步骤：一阶导数：f'x=3二阶导数：f'判断极值类型：f''−233=6×计算极值：与解法1一致。核心依据：利用二阶导数的符号快速判断极值类型（二阶导数小于0为极大值点，大于0为极小值点），无需逐一判断一阶导数符号变化，适合高阶可导函数。技巧解题：“一阶找临界点，二阶判类型”技巧技巧：求解多项式函数极值时，一阶导数找临界点，二阶导数快速判断极值类型，减少符号判断步骤；若二阶导数为0，需回归一阶导数符号变化判断。适用场景：高阶可导函数的极值求解，高考解答题中档问提速。例题3：含参函数单调性讨论（中档题·一题多解）题目：讨论函数fx=aln解法1：分类讨论+导数不等式（常规法）步骤：定义域：x>0；求导：f'分类讨论：当a≥0时，2x2+a>0，f'x当a<0时，令f'x>0，得2x2+a>0，解得x>−a2；令f核心依据：根据导数分子的符号受参数影响的情况分类，是含参函数单调性讨论的常规思路。解法2：导数分子分析+临界值分类（拓展法）步骤：定义域x>0，导数f'x=2x找临界值：gx=2x2+a分类讨论：当a≥0时，gx≥0，f'当a<0时，gx=0的正根为x=−核心依据：聚焦导数中影响符号的核心部分（分子），以参数使核心部分符号改变的临界值为分类标准，逻辑更清晰。技巧解题：“聚焦导数核心部分+临界值分类”技巧技巧：含参函数单调性讨论时，先化简导数，找出影响导数符号的核心部分（如分子、二次函数的判别式），以参数使核心部分符号改变或根的个数改变的临界值为分类标准，避免分类混乱。适用场景：所有含参函数的单调性讨论，高考解答题核心题型。（四）高考真题解析（20分钟）（2024·全国甲卷，5分）函数fxA.−∞0B.02C.2答案：B解析：求导得f'x=3x2−6x=3xx−2（2023·全国乙卷，6分）已知函数fx=x3−ax2+bx+c在答案：3；-9解析：f'x=3x2−2ax+b，由题意f'−1=0（2022·新高考Ⅰ卷，6分）若函数fx=xA.−22B.−22C.−∞答案：A解析：f'x=3x2−3=3x+1x−1，极大值点x=−1，极大值f−1（2021·全国卷Ⅱ，6分）函数fx=eA.e−1B.1C.eD.e+1答案：C（2020·全国卷Ⅰ，6分）已知函数fx=x3−2x+1A.−1B.1C.0D.2答案：A解析：f'x=3x2−2，令f'x=0，解得x=23（2019·全国卷Ⅲ，6分）设函数fx=x2−alnxA.−∞1B.−∞1C.−∞答案：C解析：f'x=2x−ax，由题意f'x≥0在1+∞（2024·浙江卷，5分）函数fxA.x=1B.x=eC.x=1e答案：B（2023·北京卷，6分）求函数fx=x解：f'x=3x2−6x−9=3x+1x−3，令f'x=0，得x=−1（2022·湖北卷，5分）函数fx=ex−axA.−∞0B.−∞0C.−∞答案：A解析：f'x=ex−a，由题意f'x≥0（2021·江苏卷，6分）已知函数fx=x3+bx2+cx+d的图象过点解：f0=d=2，f'x=3x2+2bx+c。由题意f1=1+b+c+2=−1f'1=3+2b+c=0，解得b=1，c=−5。f'x=3四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-5分）：单调区间求解、极值点判断、简单含参函数单调性讨论（选择/填空）。中档题（4-6分）：函数极值求解、闭区间最值求解、含参函数极值个数判断（填空/解答题基础问）。高档题（6-12分）：导数与函数单调性、极值、最值的综合应用，导数与不等式、方程的结合（解答题中档-压轴问）。命题趋势：从“单一性质”到“综合应用”：导数作为工具，与函数零点、不等式证明、实际最优化问题结合考查，突出综合能力。从“具体函数”到“含参函数”：含参函数的单调性讨论、极值存在性、参数取值范围是高考热点，强调分类讨论思想。强调“规范表达”：解答题中，单调区间需写区间形式，极值求解需验证导数符号变化，最值需比较所有极值与端点值，逻辑不完整易失分。函数类型“多元化”：除多项式函数外，常结合指数、对数、三角函数，考查复合函数求导与性质分析。解题技巧总览：基础题：导数因式分解法（单调区间）、临界点符号判断法（极值）、直接比较法（最值）。中档题：分类讨论法（含参单调性）、二阶导数法（极值类型）、端点极值比较法（闭区间最值）。高档题：构造函数法（不等式证明）、零点存在定理（零点个数）、导数符号分析法（复杂函数性质）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2024·天津卷，5分）函数fxA.−∞−1∪01B.−1答案：B（解析：f'x=4x3−4x=4xx+1（2023·山东卷，4分）函数fx答案：−1e（解析：f'x=（2022·贵州卷，6分）讨论函数fx=ln解：定义域0+∞，f'x=1x−a。当a≤0时，f'x>0，fx在0+∞上单调递增；当a>0时，令f'（2021·甘肃卷，5分）函数fx=xA.2B.0C.−2D.4答案：A（解析：f'x=3x2−3，极值点x=±1，f−2（2020·海南卷，6分）已知函数fx=x3+ax2+bx+1在x=−1处有极值，且解：f−1=−1+a−b+1=a−b=0，f'x=3x2+2ax+b，f'−1=3−2a+b=0六、课堂小结（5分钟）核心知识：导数与函数单调性的关系，单调区间求解方法；极值的定义与导数判定，极值点与导数为零点的区别；闭区间上函数最值的求解步骤；含参函数单调性的分类讨论标准。解题方法：一题多解（常规法+拓展法）、技巧解题（因式分解+数轴法、二阶导数判极值、临界值分类法）。高考策略：基础题保分（熟练掌握单调区间、极值求解），中档题稳分（规范含参讨论步骤、最值比较），高档题突破（导数与其他知识综合应用）。易错点提醒：单调区间忽略定义域；导数为零的点直接当作极值点；含参讨论分类标准混乱；最值求解遗漏极值点或区间端点。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题6.2中所有单调区间、极值、最值求解题目；整理课堂高考真题解析，标注每道题的解题步骤。提高层：完成2019-2024年高考数学中导数与函数性质相关真题汇编；建立错题本，分析错误原因（如分类遗漏、符号判断错误、极值点验证缺失等）。拓展层：设计一道含参函数单调性与极值综合题，编写解答过程，尝试用多种方法分类讨论；结合实际情境（如利润最大化），撰写一篇导数在最优化问题中的应用分析。八、教学反思需关注学生对导数符号与单调性关系的理解，部分学生易混淆“f'含参函数单调性讨论是难点，学生易出现分类标准不明确、重复或遗漏的问题，需通过典型例题（如一次含参、二次含参）专项训练，强调“以导数核心部分的临界值为分类标准”。极值点判断中，学生易忽略“导数在该点两侧符号变化”的验证，直接将导数为零的点当作极值点，需通过错题讲解（如fx=x复杂函数（如指数、对数与多项式结合）的导数计算容易出错，进而影响单调区间和极值求解，需提前复习复合函数求导法则，结合例题反复练习。课堂练习可增加更多与实际情境结合的最值问题，让学生体会导数的应用价值；课后可布置实践类作业（如求某函数在指定区间的最值并分析实际意义），深化知识应用。综合训练一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[北京东城期末]函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则limΔx→A.-4 B.-2 C.2 D.42.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于()A.2 B.3 C.4 D.53.若函数f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-A.1 B.-1 C.4 D.-44.已知函数f(x)=x+1ax在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是(A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)5.函数f(x)=e|x|6.方程x-lnx-2=0的根的个数为()A.0 B.1C.2 D.37.[江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r'(V)为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V1<V2≤3,则下列结论正确的是()A.rB.r'(1)<r'(2)C.r(V1+VD.存在V0∈(V1,V2),使得r'(V0)=r8.[黑龙江牡丹江期末]设a=13,b=43ln43,c=2ln(sin16+cosA.b<a<c B.c<a<bC.a<c<b D.b<c<a二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.[重庆沙坪坝期末]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是()A.f(x)在(1,2)上单调递减B.f(x)在(2,4)上单调递减C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.当x=1时,f(x)取得极大值10.[湖南怀化期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a+b=-7C.f(x)一定有两个极值点D.f(x)一定存在单调递减区间11.[福建德化一中模拟]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2A.f(0)=0 B.g-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三、填空题13.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于.

14.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成正比.如果在距离车站10km处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站km处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.

15.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的结论:x-1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4;②函数f(x)在[0,2]上单调递减;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;⑤函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.

16.[吉林抚松月考]已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.18.设函数f(x)=x2+bln(x+1).(1)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.19.[江苏苏州月考]已知函数f(x)=aex-x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x0为函数的极小值点,证明:f(x0)≥3-1a20.如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,求水面升高的瞬时变化率.21.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x(单位:元)的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.22.已知函数f(x)=2ax-bx+lnx(1)若f(x)在x=1,x=12处取得极值①求a,b的值;②若存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值(2)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.综合训练1.D∵f'(x0)=2,f'(x0)=limΔx∴limΔx→0f(x0)-2.Df'(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,得f'(-3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5.经检验,当a=5时,f'(x)=0有两个不相等的实根,符合题意.故a=5.3.B由函数f(x)=ax2x-1(x>1),则f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)2.要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0.当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,4.D由题意知f'(x)=1-1ax2,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则f'(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即1a≤x2在(-∞,-1)上恒成立.当x<-1时,x2>1,则有1a≤1,解得a≥1或a<5.Cf(x)=e|x|3x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-e|x|3x,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除B;f(1)=e3<1,排除A;当x>0时,f'(x)=(x-1)ex3x2,当x>16.C令f(x)=x-lnx-2(x>0),则f'(x)=12x−1x=x-22x(x>0).当x∈(0,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln4-2<0,f(e6)=e3-lne6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-lne-2-2=1e>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上有一个零点,在区间(4,+∞)上也有一个零点,故方程x-7.D对于A,设tanα=r(1)-r(0)1-0,tanθ=r(2)-r(1)2-1,由题图得0<θ<α<π2,所以tanα>tanθ,所以r(1)-r(0)1∴r(V1+V22)=r(32),r(V1)+r(V2)2=r(3)2,由题图得r(32)>r(3)2,所以C错误;对于D,r(V2)-r(V1)V2-V1表示A(V1,r(V1)),B(V2,r(V2))两点连线的斜率,r'8.B(方法1)若x=43,则a=x-1,b=xlnx,令f(x)=xlnx-(x-1),所以f'(x)=lnx+1-1=lnx令f'(x)=0,得x=1,所以在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即43ln43-(43-1)>0,所以43ln4令g(x)=ln(sinx+cosx)-x,则g'(x)=cosx-sinxsinx+cosx-1=-2sinxsinx+cosx,在(0,π2)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(16)<g(0)=0,所以ln(sin16+cos16)-16<0,所以ln(sin16+cos16)<(方法2)c=ln(sin16+cos16)2=ln(1+sin13)<sin13<13=a,所以c<a;当0<x<1时,lnx>1-1x⇒b=43ln43>43×(1-39.BC由y=f(x)的导函数f'(x)的图象知,导函数f'(x)在(-2,-1),(2,4)上小于0,f(x)单调递减,在(-1,2),(4,5)上大于0,f(x)单调递增,选项A错误,B正确;函数f(x)在x=-1处取得极小值,选项C正确;x=1时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在x=2处取得极大值,选项D错误.故选BC.10.BCD由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,∴f'(1)=0,f(1)=10,∴2解得a当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,∴f(x)在x=1处不存在极值,舍去;当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),∴当x∈(-∞,-113)时,f'(x)>0,当x∈(-113,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,符合f(x)在x=1处取得极值10,则a=4,b=-11,a+b=-7,故A错误,B正确;此时f(x)一定有两个极值点且存在单调递减区间,故C,D正确.故选11.BDx0(x0≠0)是f(x)的极大值点,并不一定是最小值点,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,不能确定-x0的情况,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,-x0是-f(-x)的极小值点,故D正确.故选BD.12.BC∵f(32-2x)是偶函数∴f(32+2x)=f(32-2∴函数f(x)的图象关于直线x=32对称∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=32对称∴g(x)的图象关于点32,∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g-12=g32=0,∴构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,故D错误.故选BC.13.112由题图可得f(4)=5,直线l过点(0,3)和(4,5),则直线l的斜率k=5-34-0=12,又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f'(4)=12,14.58依题意,可设每月土地占用费y1=k1x,每月库存货物的运费y2=k2x,k1,k2是比例系数,且均不为0,于是由2=k110,得k1=20;由8=10k2,得k2=45.因此,两项费用之和为y=20x+4x5(x>0),y'=-20x2+45.令y'=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y'<0;当x>5时,y'>0,15.①②⑤由f(x)的导函数y=f'(x)的图象知,函数f(x)的极大值点为0,4,故①正确;因为在[0,2]上f'(x)≤0,且不恒为0,故函数f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;由表和图象知-1≤t≤5,所以③不正确;因为极小值f(2)未知,所以函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.16.(-1,0)∪(0,1)根据题意,令g(x)=f(x)x2,又由f(x)(x≠0)为偶函数,则g(-x)=f(-x)(-x)2=f(x)x2,故g(x)为偶函数,且g'(x)=f'(x)·x2-f(x)·(x2)'x4=f'(x)·x-2f(x)x3.又由当x>0时,xf'(x)<2f(x),即当x>0时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=f(1)17.解(1)由题意,得f'(x)=6x2-2ax,f'(1)=0,则a=3.所以f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1),当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的增区间为(-∞,0)和(1,+∞).(2)当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:x-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f'(x)+0-0+f(x)-1单调递增极大值单调递减极小值单调递增8当x=-1时,f(-1)=-1,当x=1时,f(1)=2-3+4=3,所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1.18.解(1)由x+1>0,得x>-1,∴f(x)的定义域为(-1,+∞).∵对任意的x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f'(1)=0.f'(x)=2x+bx∴2+b2=解得b=-4.经检验,当b=-4时,f(x)在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.f(1)为最小值.故b=-4.(2)∵f'(x)=2x+bx又函数f(x)在定义域上是单调函数,∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(-1,+∞)内恒成立.若f'(x)≥0,则2x+bx+1≥0在(-1,+∞)即b≥-2x2-2x=-2x+122+12在(-1,+∞)当b=12时,仅在x=-12处f'(x)=0,故b≥若f'(x)≤0,则2x+bx+1≤0在(-1,+∞)内恒成立,即b≤-2x2-2x=-2x+122+12∵-2x+122+12在(∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.综上所述,实数b的取值范围是1219.(1)解函数f(x)的定义域为R,因为f(x)=aex-x+1,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f'(x)=0,得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,当x>-lna时,f'(x)>0.综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-lna,+∞),单调递减区间为(-∞,-lna).(2)证明由(1)知当a>0时,f(x)在x=-lna时