全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷29

全国自考公共课线性代数（经管类）模

拟试卷29

一、单选题（本题共5题，每题1.0分，共5分。）

1

1、设A为3阶方阵且IAI=2,则|一2Al=（）

A、一4

B、4

C、一1

D、1

标准答案：A

2

知识点解析：I―2Al—2）3IAI=一8xW=-4.答案为Ao

2、若AB=AC,能推出B=C,其中A,B,C为同阶方阵，则A应满足条件（）

A、A#）

B、A=0

C、IAI=0

D、IAI和

标准答案：D

知识点解析：若AB=AC,则A（B—C）=0,故当A可逆，即|A|#）时B=C.答案

为D。

3、设矩阵Amxn的秩为KA）=m<n,3为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）

A、A的任意m个列向量必线性无关

B、A的任意一个m阶子式不等于零

C、若矩阵B满足BA=O,贝ijB二O

D、A通过初等行变换，必可以化为（Im。）的形式

标准答案：D

知识点解析：矩阵Amxn的秩KA）=mVn.故A的行满秩，列不满秩，A的m个列

向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为（3。）形式，

故选D.答案为D。

4、若见，。2,（13是齐次方程组Ax=O的基础解系，则卜.列答案中也是Ax=O的基

础解系的为（）

A、ai―。2，一。3，—ai

B、ai，a?,013的任意三个线性组合

C、aj,ai一a2，ai—02―a3

D、a1，2ai,3a)

标准答案：C

知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与四，a2,

。3等价.答案为C。

4一52

5-73

5、设A=6—94),则A的属于特征值0的特征向量是()

A、(1,1,2)1

B、(1,2,3)T

C、(1,0,1)T

D、(1,1,1)T

标准答案：B

知识点解析：用定义Ax-心来判断，这时入-0,故冲算Ax的值，使Ax-0的向量

x就是A的属于特征值0的特征向量.当x=(l,2,3)T时，有Ax=O.答案为B。

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

0a0

b0c

6、行列式°4°=.

标准答案：0

知识点解析：按定义计算，可得结果为0.

1A

7、设A为n阶方阵，且IAI=2,则2=

1

标准答案：汽

I-yA|=(-y)n•IA|=-^-X2=^7.

知识点解析：2222

fl1r

022

8、设矩阵A=00,则A、A

(A1〕Ah\

标准答案：ATJ/CZ

知识点解析：由转置矩阵的定义知.

10^已知Cl],(X2线性无关而ai，(X2，(X3线性相关，则向量组(XI，3(X2，7(13的极大

无关组为.

标准答案：ai，3a2

知识点解析:由于ai与3a2线性无关，并且7a?可由ai,3a,线性表示.

II、设矩阵A为4x6矩阵，如果秩A=3,则齐次线性方程组AX=O的基础解系含

有解向量的个数为.

标准答案：3

知识点解析：由于AX=O是6个未知量的齐次线性方程组.6—r(A)=6—3=3,所

以基础解系中含有3个解向量.

12、设X=2是n阶方阵A的一个特征且IAIr0,则n阶方阵B=A3-3E+A'1必

有特征值.

11

标准答案：X

知识点解析：IAIMO,因此A可逆，又入=2是A的特征值，因此存在非零向量a

工

-I

使得Aa=2a,所以A2a=A2(Aa)=a2(2a)=2A(Aa)=4Aa=8a,Aa=2a,所以

oa3=一0°聂=口，所以S有特征值券

Ba=Aa-3Ea+Aa=8a—3a+222.

13、设3阶方阵A的特征值为入i=l,入2=1，入3=2,则IAI=

标准答案：一2

知识点解析:IAI=Xj.入2.九3二-2.

327

x-22有一个特征向^p二

14、已知三阶矩阵A=3-1则

x=,y=,p所对应的特征值入=

标准答案：x=-2,y=6,X=~4

知识点解析：设矩阵A的特征向量p所对应的特征值为储则有(M—A)p=O,即

或

解得x=-2,y=6,X=

-4.

2

45

15、已知A=178二次型f(x)=xTAx的矩阵为.

135

357

标准答案：679

知识点解析：因为二次型f(x],X2，X3)=X/+6X[X2+1Ox]X3+5x2?+14x2X3+9x32,故

fl351

357

由二次型矩阵的定义知矩阵为6

三、计算题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

ab

b

b

16、计算D二b

标准答案：将各行乘1加到第一行上，提取公因子3a+b,再利用行列式的性质化

为三角形，从而得结果为(3a+b)(b—a)3.

知识点解析：暂无解析

40O,

01-1

17、设矩阵A=1°142,并且AX=2X+B,求矩阵X.

标准答案：由于(A—2E)X=B,所以

200361

X=(A-2E)=0711

0122

3

y00(36)3

2

11

0-2-1-41

2-3

(0113

知识点解析：暂无解析

fl00)

230

6),求(A*)“.

18、设矩阵A二35

100

|A|二230=18¥0.

356

因此A可逆并且A|=高4・，

所以A'=|A|•A

,L

|A|八A

fl001

1

230

18

35

标准答案：6

知识点解析：暂无解析

19、设向量组的秩为2,求a的值.

标准答案：以⑴,孙a3为列向量的矩阵作初等行变换，有

fl021102102

1101-101-1

一♦

0-20a-200a-2

4-2

U04-4000因为当a2=0即a=2时，

山,□2,(13的秩为2,而a—2#)即存2,eq,ct2，的秩为3,所以a=2.

知识点解析：暂无解析

T

20、设三元非齐次线性方程组人*5的1'彷尸2,ai=(l,2,2),a2=(3,2,1)丁是

Ax=b的两个解，求该方程组的通解.

标准答案：ai-a2=(—2,0,1升是Ax=0是基础解系.所以通解为(1,2,

2)T+C(-2,0,1产9为任意常数).

知识点解析：暂无解析

21、设n阶可逆阵A的每行元素和均为a(a#)),求2A“+E的一个特征值及对应的

特征向量.

2_

从而〃

知识点解析：暂无解析

11

22

1

11b

222

1

00

11

00

22、设A二豆豆是正交阵，求a,b,c的值.

1

2_L2

~2

b1

2

2必=