全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷43

全国自考公共课线性代数(经管类)模

拟试卷43

一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

11

-2.Oz=­1

1、设四=11则a3=,时，有ai，a2，a3为R25的基.()

A、(2,1,2)T

B、(1,0,1)T

C、(0,1,0)T

D、(0,0,1)T

标准答案：D

知识点解析：首先已知ai，a2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(ai，a2，(13),

则山，a2,(13线性无关-IAIr0由于A的左上角2阶主子式(记为IAuI)不等

0

0AH0

于0,故选a='1J即可。(此时IAI*=*

31=IAHI.1^0).答案为D。

2、设A是n阶方阵，已知A?—2A—21=0,则(A+I)"=()

A、31—A

B、3I+A

C、A—31

2A+I

D、A-I

标准答案：A

知识点解析：把已知关系式A2-2A-2I=0写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆

方阵.由题设关系式A：—2A—21=0,可得A(A+I)—3(A+I)=—I,即(A+I)⑶一

A)=L故(A+I)"=3I.A答案为A.

3、设A是3阶反对称矩阵，即AT=-A,则|A|二()

A、0

B、1

C、±1

D、0或1

标准答案：A

知识点解析：由于IAI=IAI=I—AI=（一1夕|AI二一IAI,所以IA

答案为A.

4、设n阶矩阵A非奇异（应2）,A*是矩阵A的伴随矩阵，则（）

A、（A*）*=|A|n-1A

B、（A*）*=|A|n+1A

C、（A*）*=|A|n'2A

D、（A*）*=|A|n+2A

标准答案：C

知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式,得|A||A*|二|A|，E|,又⑶和,得|A*|:|A

1.又（A*）*A*=|A*|E=|ALE,故（A*）*=141

2001

0010

0-600

5、行列式7000=（）

A、0

B、21

C、42

D、-42

标准答案：D

2001

0010

0-600

7000

知识点解析：行列式展开性质，=（-D，+4X

42.答案为D。

6、设A、B为n阶方阵，且AB=O（零矩阵），则（）

A、A=P或B=O

B、A+B=O

C、IAI+|BI=0

D、IAI=0或IBI=0

标准答案：D

知识点解析：由于IABI=IAI.IBI=I0I=0,所以IAI=0或IBI

=0.答案为D。

2001

0010

0-600

000

7、行列式

A、0

B、21

C、42

D、一42

标准答案：D

2001

0010

0—600

知识点解析：行列式展开性质,7000

1

=(-l)l+4X-6=-42

7答案为D

产I—3©+24=0

8、方程组।-2劣+64-4为=0的一组基础解系由个向量组成.（）

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1,有3个未知数，因此基础解系由2个

线性无关的向量组成.答案为B。

58仇b、

；=3.=4,则

citbfb'仇

9、已知一阶行列式

A、7

B、-7

C、1

D、-1

标准答案：B

仇

知识点解析:

10、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()

A、必要条件

B、充分条件

C、非充分、非必要条件

D、充要条件

标准答案：D

知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0xE—A|刁-A|=(—l)n|A|二0,|A|二0推得A不可

逆.故选D.

11、设A为mxn矩阵，秩为r,C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC,秩(B)f,则()

A、ri>r2

r<ri

C、r=ri

D、口与C有关

标准答案：C

知识点解析：•.(为可逆阵，且B=AC.・.r(B)=r(AC)=r(A)=r,即n=r.答案为C。

12、设A为n(n22)阶矩阵，且A?=E,则必有

A、A的特征值均为1

B、A的秩等于n

C、A的逆矩阵等于E

D、A的行列式等于1

标准答案：B

知识点解析：A2^E(A-E)(A+E)=o-A=E或A=-Er(A)=n,IAI=

±1.

13、设A,B是两个同阶的上三角矩阵，那么A、BT是矩阵.()

A、上三角

B、下三角

C、对角形

D、即非三角也非下三角

标准答案：B

知识点解析：AT,BT均为下三角阵，因此A、BT也是下三角阵.答案为B。

14、齐次线性方程组13人=0的解的个数为()

A、有惟一的零解

B、有无穷多个解

C、无解

D、不确定

标准答案：B

知识点解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3<4,故齐次线性方程组有

无穷多个解.答案为风

15、下列命题中错误的是

A、一个非零向量线性无关

B、任意一个含零向量的向量组线性相关

C、由4个三维向量组成的向量组线性相关

D、由3个四维向量组成的向量组线性无关

标准答案：D

知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法.设囚=(1,2,3,4)T,82=(1，

11111

20-20-2-4

则A=(0,a必)=

502

456000

A11

02

000

TT000

0,4,5),a3=(l,-2.5.6).故

r(A)=2,显然ai，a2,013线性相关，故D项错误.

16、设A,B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵.()

A、上三角

B、下三角

C、对角形

D、即非上三角也非下三角

标准答案：B

知识点解析：AT,均为下三角阵，因此AT.B’「也是下三角阵.答案为B

17、入1，12都是n阶矩阵A的特征值，AjR入2，且X]与X2分别是对应于入1与入2的

特征向量，当时,x=k[X[+k2X2必是A的特征向量.()

A、ki#0且k2翔

B、k2=0

C、ki=o且k2=0

D、k|.k2=0

标准答案：B

知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以ki，k2不同时为零，所以C,D不

对；X],X2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其

中一个方程的解.所以A的特征向量不是A选项.选项B,因为k2=0,ki#O,

x=k]X2仍然是A的特征向量.

18、已知A是n阶实对称阵且正交，则（）

2

A、A=In

B、A相似于In

C、A合同于％

D、A=In

标准答案：A

知识点解析：正交的对华矩阵不一定是单位矩阵（如一In），因此D不对.因为和单

位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵自己，因此B也不对，D也不对，比如一In是

正交实对称矩阵但和单位矩阵不同，于是应该选A,事实上由ATA=L及A是对称

阵即得A2=In.

19、非齐次线性方程组Ax=p中，A和增广矩阵A的秩都等于4,A是4x6矩

阵，则（）

A、无法确定方程组是否有解

B、方程组无解

C、方程组有无穷多组解

D、方程组有惟一组解

标准答案：C

知识点解云：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解。又因为

方程组的未知数个数等于6,而系数阵的秩等于4,因此方程组有无穷多组解.

20、下列命题正确的是（）

A、Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解

B、Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解

C、Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解

D、Ax=0仅有零解，贝I」Ax二b有唯一解

标准答案：B

知识点解析：齐次方程Ax=O一定有解，而非齐次方程Ax二b不一定有解，囚此C

和D都不一定成立.Ax=b有无穷多解，Ax=0有非零解，故选B.

二、填空题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

a60

~ba0=0.

-10-1

21、设a,b为实数，见当a=，且b=时,

标准答案：0,0

b0

ab

-h0=(-l)

-ba

知识点解析：将行列式或最后一列展开，得0I=—

(a2+b2)=0,得a=0,b=0.

1

0

1J下的坐标为(一1,0,

22、向量忏

1)

01

-1

标准答案:

一1、0、

旧=(-l)ai+0。2+1Xch=-1+0=—1

知识*解析:0.1J1.

0]2

0=-1

3)不能构成R3的

23、当k为时，向量组a产1

一组基.

标准答案：2

知识点解析：,•,cq,。2，不能构成R?的一组基・•・©,(X3线性相关-1•

102

0-2-1

1k3=0,.,.k=2.

1-23

/(X)=23-1=0

24、32x的根为_______.

标准答案：1

知识点解析：f(x)=3x+6+12—27+4x+2=7x-7=0,x=l.

120

A=x-13

25、已知矩阵1°】)的(1,2)元素的代数余子式A]2=l，则A的行

列式IAI=.

标准答案：7

3

A=(~1)I+Z=­z=1

I21

知识点解析：由于因此x=­l.所以

标准答案：2

-an3an-2a\z<21311-ail-2ai2013

Di=—。八3a2i-2a22叼二-M-2a22。23=2D=2.

~

«3311031-2a32a13

知识点解析：一3。八一2a32

27、阶矩阵A的特征值为一1,1,2,贝I」B=E+A*的特征值为

标准答案：3,一1,0

知识点解析：设九为三阶矩阵A的特征值，IAI二一1x1x2=-2.A1的特征值

1

为一1,1,2,A*的特征值为2,—2,—*1,故得：B的特征值为：3,—1,

0.

28、三阶矩阵A的特征值为一1,1,2,贝ljB=E+A*的特征值为

标准答案：3,-1,0

知识点解析：设九为三阶矩阵A的特征值，IAI=—lxlx2=-2.A”的特征值

J_

为一1,1,玄，A*的特征值为2,—2,-1,故得：B的特征值为：3,-1,

0.

2工1-1

-1-X1

29、函数f(x)二32一”中，x3的系数为

标准答案：2

知识点解析：只有主对角线上都含有z项，由行列式的性质得2xx(—x)x(一

x)=2x3,x3的系数是2.

110

A=12-2

30、若矩阵1°一25).则二次型XTAX二.

标准答案：xr+2x22+5x32+2xix2―4x2X3

110

A=12-2

0—25

知识点解析：因为.所以由二次型的定义可知

777

f(x)=x]+2X2~+5X3-+2X]X24x2X3，

三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

31、设A、B为两个三阶矩阵，且IAI二一1,IBI=5.求I2(ATBd)2I.

8

标准答案：I2(ATB-1)2I=23I(ATB1)2I=23I(ATB-1)I2=23IAI2IBI-2=25

知识点解析：暂无解析

-100

0-10

32、设三阶方阵A、B满足A-AB=E,且AB-2E=1°0一"，求A,

B.

r-100

0-10

标准答案：由AB—2E=°°"=・E,得AB=E.故A,B互为逆矩

阵，即A“=B,B"=A.又因A—AB=E,则A—AB=A—E=E,

200

得A=2E=020.

002

T°%

则B=A'=0-y。・

ooy

知识点解析：暂无解析

33、设二次型f(x],X2，X3)=xJ+x2+x32+x32+2ax]X2+2x]X3+2bx2X3经过正交变换

x=Py化成f=y2?+2y32,其中x=(xi，x?,X3)T,y=(yi，y2，丫3产是三维列向量,P

是三阶正交矩阵，求常数a,b的值.

标准答案：根据假设条件知，变换后二次型F(X],X2,X3)的矩阵分别为

1a1](000

a1b,5=010,

b1J10

1°2j二次型f可以写成f=xTAX,f=YTBY.由于

PTAP=B,且P为正交矩阵,故PT=PT,于是有PTAP=B,即A〜B,所以有I■一

0

0

4一2由此可得方程

/2-/一/=2

X3—3X2+(2—a2—b2)U(a—b)2=X3—3X2+2X,从而有方程组-5»=0解

之得a=b=0,为所求的常数.

知识点解析：暂无解析

(Xi+久为=-2,

<X|+AX2+心=-2,

己知线性方程组心为十七十二=入一3・

34、讨论入为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.

标准答案：将线性方程组的增广矩阵A=(A.b)作初等行变换

■

11A：一2’11A一2

A=1A1：-2—►0A-11-A0

A11-A-3,00-(A+2XA-1)3(A—1)>当人=

r(.)=3・，方程组无解；当*一2且河1时，r(.)=3，，方

―2时，r(A)=2,

程组有惟一解：当入=1时，r(A)=lV3，,方程组有无穷多个解.

知识点解析：暂无解析

35、在方程组有无穷多个解时,求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的

基础解系表示).

111：-2

.000^0

标准答案：当入=1时，000：0同解方程组为XI二一2一X2一

X3.对应齐次方程组的基础解系为匕尸(一1,1,0)T，42=(—1，0，1)T非齐次