全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷62

全国自考公共课线性代数(经管类)模

拟试卷62

一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

.时，有ai，a2，为酸的基.()

B、(1,0,1)T

C、(0,I,0)T

D、(0,0,1)T

标准答案：D

知识点解析:首先已知ai，(X2线性无关(其坐标不成比例),又令A=(ai，a2，(13)，

则ai，a2,(13线性无关-IAI割由于A的左上角2阶主子式(记为IAuI)不等

0

0An0

于0,故选a3=」.即可。(此时IAI*=*1=IA"I.1和).答案为Do

001

A=010

2、设10则以矩阵A为对应的二次型是()

222

A、f(X|,X2，X3)=X1+X2+X3

2

B、f(xj,X2,X3)=X|+X2X3

2

C、f(X],X2,X3)=X2+X|X3

D、f(X],X2，X3)=X3-+X]X2

标准答案：C

知谡点解析：A的主对角线元素I对应X2?系数：ai3=1.331=1,之和对应X1X3系

数2.答案为C.

3、设A为mxn矩阵，若任何n维列向量都是方程组Ax=0解，则

A、r(A)=m

B、r(A)=n

C、0

D、A=0

标准答案：D

知识点解析：设ej是单位矩阵E的第j列，则有题知Aej=O,即AE=O,故A=

0.

4、设A是mxn阶矩阵,B是nxm阶矩阵(m加)，则下列运算结果是n阶方阵的是

()

A、A.B

B、AT.BT

C、BT.AT

D、(A+B)T

标准答案：B

知识点解析：由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知A1'.是n阶方

阵.答案为B。

5、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()

A、AA*=IAI

B、AA*IAI

C>A*A=IAII

D、A*A=IAInI

标准答案：C

知识点解析：A.A*=IAII.答案为C。

6、二次型f=x*Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y*By,则矩阵A与B()

A、一定合同

B、一定相似

C、即相似又合同

D、即不相似也不合同

标准答案：A

知识点解析：f=xTAx=(Py)TA(Py尸yT(pTAP)y=yTBy,g|JB=PTAP,所以矩阵A与B

一定合同.只有当P是正交矩阵时，由于P'PL所以A与B既相似义合同.答

案为A。

7、设网=冏|为n阶行列式，则a12323334...an-i,nan,i在行列式中符号为()

A、正

B、负

C、(一l)n

D、(-l)n-'

标准答案：D

知识点解析：H234…n1尸n—1,故符号为（一1）『L故选D.

Q♦()9•••909)TT

8、设n维向量22,矩阵A=E—aTa,B=E+20ra,其中E为n

阶单位矩阵，则AB=()

A、0

B、一E

C、E

D、E+aTa

标准答案：C

知识点解析：B=(E一aTa)(E+2aTa)=E+aTa-2aTaaTa=E+aTa-2aT(aaT)a

=E+aTa—2xz=E,选C.

Xi-3论+2石=0

9、方程组-2内+6%-4马=0的一组基础解系由个向量组成.（）

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1,有3个未知数，因此基础解系由2个

线性无关的向量组成.答案为B

10、若AB二AC,能推出B=C,其中A,B,C为同阶方阵，则A应满足条件（）

A、AR0

B、A=0

C、IAI=0

D、IAI和

标准答案：D

知识点解析：若AB=AC,则A（B-C）=0,故当A可逆，即|A|#）时B=C答案为

Do

1010

1k01

#0

00k1

0

11.的充要条件为（）

A、k翔

B、k#Ll

C>k#）且k#士1

D、k和或k#l

标准答案：C

1010

1^01

X0㈡履/—1）六0-4WO且RW±1

00k1

知识点解析：0°1A

答案为c

12、设A,B是n(N2)阶可逆方阵，k是一实常数且不为零，下列等式不成立的是

()

A、(AB)-1=B-1A-1

B、(kA)-,=kdA',

C、(A，)-I=(A',)\A，表示A的转置阵

D、(AB)-1=A-,B-1

标准答案：D

知识点解析：本题考查矩阵求逆阵运算法则.选项A、B、C均正确，选项D中

(AB)-LB/A-1.答案为D。

a-ba+6142

30d“，则

13、设矩阵

A、a=-1,b=3,c=0,d=3

B、a=-1,b=3,c=l,d=33

C、a=3,b=­1,c=l,d=3

D、a=3,b=—1,c=0,d=3

标准答案：D

a--6=4.

a-\-b~2•

~3♦

知识点解析：矩阵相等，要求对应位置的每一个元素都要相等，则c=O.从而

得a=3,b=—1,c=0,d=3,故选D项.

0

01

一.2-1

…f】I..一，则系数矩阵A可为

A.(-4,2.2)B.

010

011

(20-li

C.D.4-2-2

01-1

011

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

10

0,1

知识点解析：由题知⑶.“是两个线性无关的解向量，则该Ax=O的基础解

系中至少含有2个自由向量，即3—r(A巨2,得r(A)R,显然只有A项的秩为

1<1,故选A项.

15、设A是三阶可逆方阵，则与A等价的矩阵为

/I00]<100

A.011B.0-10

000012

U00)rl00、

C.000D.001

000002

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：等价矩阵有相同的秩，因A为可逆矩阵，所以r(A)=3,显然只有B

项的秩为3,故选B项.

16、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2,则必有()

A、A=B

B、A二­B

C、IAI=IBI

D>IAI2=IBI2

标准答案：D

知识点解析：VA2=B2A2=AA=BB=B2IAI=IBI,IAAI=IBBI..•.I

AAI=IAIIAI=IAI2,|BBI=IBIIBI=IBI2・・・|AI2=|BI2.答

案为D。

222

17、当t为二次型f(xi，X2,X3）=2Xl+X2+3X3+2tX1X2+2X1X3是正定

的.（）

A、ItI>2

B、ItI<3

D、ItI>1

标准答案：C

r2t1

A=t10

知识点解析：二次型的矩阵1103,各阶顺序主子式为2>0,

2

l，|V怎t10=-3*+5〉0

即103

因为‘瞻〈虑故当

,答案为C

18、X1，入2都是n阶矩阵A的特征值,入I#入2，且XI与X2分别是对应于入1与22的

特征向量，当______时，x=k]Xi+k2X2必是A的特征向量.()

A、kM且k2翔

B、ki#O而k2=0

C、ki=O且k2=0

D、ki.k2=0

标准答案：B

知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以ki，k2不同时为零，所以C,D不

对.；xi，X2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其

中一个方程的解.所以A的特征向量不是A选项.选项B,因为k2=0,k）/0,

x=kiX2仍然是A的特征向量.

11

19、下列矩阵与矩阵（°U乘法可交换的是（）

(23[01

A.D.

10202

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

-1

知识点解析：L°Im1

20、设A的特征值为1,一1,向量a是属于1的特征向量，。是属于一1的特征

向量，则下列论断正确的是（）

A、a与0线性相关

B、a+B是A的特征向量

C、a与。必正交

D、a和。线性无关

标准答案：D

知识点解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择D.

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

2)=(7)

21、已知5/\26/贝ijx=

（-52）

标准答案：'-22/

-（7：）（；■=（；；）（；：）

=（-52）

知识点解析：\-22/

Oila”Qn2ali­a】？Qis

a212a21—022

D=a?ianaZi=1.则Di—

03i0“a”<2ij2a”-aii

22、若=

标准答案：-1

一①？a”a»52a”

—a?、=s—02!^21a。=­I.

~Qn«J3fill32fl33

知识点解析:

23、已知向量组12J(2J线性相关，则k=,

标准答案：k=2

知识点解析：向量aim,(X3线性相关,故对Q|,ct2,必组成的矩阵作初等变换,即

1

0

°，由

abc

2

az6

24、设a、b、c为互异实数，则分+ca+b=0的充要条件为

标准答案：a+b+c=0

知识点解析：,•・abc为互异实数

abcab

a2朴c2=0<=>a2b2=0

6+cc+aa~\~bQ+6+Ca+b+ca+6+c

㈡a+b+c=0.

2

o

25、设矩阵A=,则二次型XTAX的规范形是

22

标准答案：Z1-Z2

知识点解析：由A=(°-J,得A的特征值为1,-1,故A的正惯性指数为1,

负惯性指数为1，则二次型的规范形为Z]2—Z22.

121411

A=212,B=420

26、设123121则(A+B)2—(A2+AB+B2)=

-7119-

8108

标准答案:68.

知识点解析：(A+B)2—(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)—(A2+AB+B2)=A2+B?+AB+BA—

1](7119

2=8108

3668

T

27、三元非齐次线性方程组Ax=b的r(A)=2,且川二(1,2,2),a2=(3,2,1)T是

Ax=b的两个解，则Ax=b的通解为.

1一2

2+c0(c为任意常数)

1

标准答案：

知识点解析：r(A)=2知三元非齐次方程Ax=b的基础解系只有一个解向量，

ai=(l,2,2)T,Q2=(3,2,1),是Ax=b的两个解，故ai—a2=(一2,0,1)1是

1-2

20

Ax=0的一个解向量，故Ax=b的通解为13,

1(c为任意常数).

IXj+o：2+口=0

28、方程组'2』一八+3壬=°中有个自由未知量.

标准答案：1

知识点解析：由于系数矩阵的秩为2,所以有3—2=1个自由未知量.

29、设A为3阶方阵，其特征值分别为1,2,3,则|A+2E|=.

标准答案：60

知识点解析：|A+2E|=(1+2)x(2+2)x(3+2)=3x4x5=60.

30、设A,B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为.

标准答案：AB=BA

知识点解析：A,B为n阶对称矩阵，则人丁=A,BT=B,因为AB也是对称矩

1$.(AB)T=BTAT=BA=AB,故A,B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充

要条件为AB=BA.

三、计算题(本题共6题，每题分，共6分。)

11-11

A=-111

31、设|1一11J且A"X=A"+2X,求X.

标准答案：因为A*=IAIA-1所以IAIA-1X=A-1+2X；X=(IAIA-1-2E)-1A-

_L1

TNo

=(|A|E-2A)-l=0-1-4-

44

1

01

=[A(IAIA/-2E)]-44

知识点解析•：暂无解析

423,’323

A=3-1-2,B=3—2-2

32、设532531求A2+B2一AB

BA.

标准答案：A2+B2一BA=(A2一AB)—(BA-B2)=A(A一B)—B(A—B)—(A—B)2

loop100,

=010=010

.001,001

知识点解析：暂无解析

101

A=020

33、设方阵A、B满足AB+E=A?+B,且U01)求人

标准答案：由于AB-B二A2-E,(A-E)B=(A-E)(A+E),又

001

|.A-E|=010=-1H0

100即A—E可逆，所以B=(A—E)-】[(A—

201

030

E)(A+E)]=A+E=t102,

知识点解析：暂无解析

1234

0111

1-303

34、已知向量组ai，az，。3,04且A=((X],C12，。3，04)=073―1J求向量

组的秩及其一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示.

00

0一1

12.