2027届新高考数学热点突破复习　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

2027届新高考数学热点突破复习事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

P(A)P(B)

B

P(A)P(B|A)1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，B(Ω)＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________，此公式为全概率公式．(Ai)P(B|Ai)【常用结论】1．如果A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．2．若P(A)>0，当且仅当事件A与B相互独立时，P(B|A)＝P(B)．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立．(

)(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(

)(4)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.(

)√×√√2．(人教A版必修二P251例2改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为(

)A．0.02

B．0.08C．0.18

D．0.72答案：A解析：两人都脱靶的概率为P＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02.

答案：C4．(人教A版选修三P50例4改编)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．0.7解析：根据题意设A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，由题意P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.命题点一相互独立事件考向1相互独立事件的判断例1

有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A．甲与丙相互独立

B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立

D．丙与丁相互独立答案：B

跟踪训练

(多选)(衔接·人教A版必修二P249T1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“至少有一枚反面朝上”，事件C＝“两枚都正面朝上”，事件D＝“两枚硬币朝上的面相同”，则(

)A．事件A与事件C独立B．事件B与事件C对立C．事件B与事件D互斥D．事件A与事件D独立答案：BD

学霸笔记：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面求解较麻烦(如“至多”“至少”问题)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

答案：A

答案：A

答案：D

答案：B

命题点三全概率公式例4(1)(2026·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(

)A．0.03 B．0.024C．0.02 D．0.018答案：C解析：设事件A＝“居民患有这种地方性疾病”，事件B1＝“居民有良好卫生习惯”，事件B2＝“居民没有良好卫生习惯”．由题意，P(B1)＝0.6，P(B2)＝0.4，P(A)＝0.014，P(A|B1)＝0.01，由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)，即0.014＝0.6×0.01＋0.4×P(A|B2)，解得P(A|B2)＝0.02，即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02.故选C.(2)现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为________．

学霸笔记：(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修三P52练习T2改编)两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率为(

)A．0.956 B．0.966C．0.044 D．0.036答案：A解析：设事件B＝“任取一件产品不是次品”，事件Ai＝“产品取自第i批，i＝1，2”，A1与A2互斥，由题意可知P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96，∴这件产品不是次品的概率为P(B)＝0.4×0.95＋0.6×0.96＝0.956.(2)(衔接·人教A版选修三P53T5改编)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是________．0.0485

答案：D

答案：A

答案：C

答案：C

答案：B

6．(2026·西安模拟)小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为(

)A．0.48B．0.49C．0.52D．0.54答案：D解析：设去西安市与汉中市旅游分别为事件A1，A2，则P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.3.设事件B为去游乐园，则P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.4.所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.7×0.6＋0.3×0.4＝0.54.故选D.

答案：B

答案：C

9．如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．A表示事件“数字为质数”，B表示事件“数字为偶数”，C表示事件“数字大于4”，D表示事件“数字为8”，则(

)A．A与B相互独立

B．B与C相互独立C．A与C相互独立

D．B与D相互独立答案：BC

答案：ACD

12．班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为________．0.205

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