2021烟台数学试卷+答案+解析

332021年烟台市初中学业水平考试(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.12345678910ABDACDADBA1.(2021山东烟台,1,3分)若x的相反数是3,则x的值是()A.-3 B.-13 C.3 D.±1.A根据相反数的定义易知x+3=0,∴x=-3.故选A.2.(2021山东烟台,2,3分)下列数学符号中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ()A BC D2.DA是轴对称图形,不是中心对称图形,故A错误;B是中心对称图形,不是轴对称图形,故B错误;C是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;D是轴对称图形,也是中心对称图形,故D正确.故选D.3.(2021山东烟台,3,3分)下列计算正确的是 ()A.a2·a3=a6 B.a2+a3=a5C.(a2)3=a6 D.a2÷a3=a3.Ca2·a3=a2+3=a5;a2+a3不可合并;(a2)3=a2×3=a6;a2÷a3=a2-4.(2021山东烟台,4,3分)一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后,如图所示,则该几何体的左视图是 ()A BC D4.C根据左视图是从左向右看到的图形可知C正确.故选C.5.(2021山东烟台,5,3分)2021年5月15日,天问一号探测器成功着陆火星,迈出了我国星际探测征程的重要一步、已知火星与地球的近距离约为5500万公里,5500万用科学记数法表示为 ()A.0.55×108 B.5.5×107C.55×106 D.5.5×1035.B5500万=5500×10000=5.5×103×104=5.5×107.故选B.6.(2021山东烟台,6,3分)一副三角板如图放置,两三角板的斜边互相平行,每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上,图中∠a的度数为 ()A.45° B.60° C.75° D.85°6.C如图,∠α=∠CAE+∠E.∵DE∥BC,∴∠CAE=∠C=45°,∴∠α=∠C+∠E=45°+30°=75°.7.(2021山东烟台,7,3分)如图,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为(-1,0),∠BCD=120°,则点D的坐标为 ()A.(2,2) B.(3,2) C.(3,3) D.(2,3)7.D过点D作DE⊥x轴于点E.由图可得DE=AO,在菱形ABCD中,AB=BC=AD,AB∥CD.∵∠BCD=120°,AB∥CD,∴ABC=180°-120°=60°.∵B(-1,0),∴OB=1.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,∴∠BAO=30°,∴AB=2OB=2.∴AO=AB2-∴AD=AB=2,DE=AO=3,∴D(2,3).8.(2021山东烟台,8,3分)如图所示,若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序及结果如下:按键的结果为m;按键的结果为n;按键的结果为k.下列判断正确的是 ()A.m=n B.n=k C.m=k D.m=n=k8.Cm=23-16=8-4=4,n=364-22=0,k=92-cos60°=92-12=4,故m=k9.(2021山东烟台,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是 ()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定9.AΔ=(-mn)2-4(m+n)=m2n2-4(m+n).由数轴可得n<0,m>0,|n|>|m|,∴m+n<0,∴-4(m+n)>0.又∵m2n2>0,∴Δ=m2n2-4(m+n)>0,∴方程有两个不相等的实数根.10.(2021山东烟台,10,3分)连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂成黑色,制成如图所示镖盘,将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为 ()A.14 B.13 C.1210.B如图,根据正方边形的性质及对称可知黑色区域也为正六边形易知∠BAF=∠AFE=120°,所以∠NAF=∠AFN=30°,又ΔACE是等边三角形,所以∠CAF=60°,所以∠MAF=90°,在RtΔAMF中,∠AFM=30°,所以AM=AN=MN=NF,设AM=1,则MF=2,AF=3,所以MN=12MF=1,则MFAF=又因为正六边形ABCD与正方边形GHKPNM相似,相似比为3:1.所以S正六边形ABCD:S阴影=3:1,所以飞镖落在黑色区域的概率为1311.(2021山东烟台,11,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论: ()①ac>0;②当x>0时,y随x的增大而增大;③3a+c=0;④a+b≥am2+bm.其中正确的个数为A.1 B.2 C.3 D.411.B∵y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C,∴C(0,c),由题图可得a<0,c>0∴ac<0,故①错误.∵y=ax2+bx+c的图象与交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴y=ax2+bx+c图像x轴的对称轴为直线x=1,又∵a<0,∴当x=1时,y有最大值,为a+b+c,∴a+b+c≥am2+bm+c,∴a+b≥am2+bm,故④正确.当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小,故②错误.∵A(-1,0),B(3,0)在y=ax2+bx+c的图象上,∴a-①×3得3a-3b+3c=0③,②+③得12a+4c=0,∴3a+c=0,③正确.故正确的结论有2个.故选B.12.(2021山东烟台,12,3分)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示,∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16,则OG的长为 ()A.274 B.14 C.9312.A在Rt△AOB中,OB=OA·cos∠AOB=OA·cos30°=32OA在Rt△BOC中,OC=OB·cos∠BOC=OA·cos30°·cos30°=322在Rt△COD中,OD=OC·COS∠COD=323……在Rt△FOG,OG=326OA=2726×2二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)13.(2021山东烟台,6,3分)若代数式2-x在实数范围内有意义,则x的取值范围为13.答案x≤2解析由题意得2-x≥0,∴x≤2.14.(2021山东烟台,14,3分)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为米.

14.答案3解析∵AB∥CD,∴∠B=∠CDE,又∵∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△CDE,∴ABCD=AE∵AC=1.6米,AE=0.4米,∴CE=AC-AE=1.2米,∴1CD=0.41.215.(2021山东烟台,15,3分)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方,将数字1—9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则a的值为.

15.答案2解析如图,6man83由题意得6+整理得m①-②得a-n=-3④,③+④得2a=4,∴a=2.16.(2021山东烟台,16,3分)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为米.(结果精确到1米,参考数据:2≈1.41.3≈1.73)

16.答案14解析如图,过A作AC⊥CF,垂足为C,过E作EB⊥AC,垂足为B.由题意得BE=45米,AC=40米,BC=EF,∵AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB=30°,在Rt△ABE中,∠ABE=90°,∴AB=BE·tan∠AEB=45×tan30°=153米.∴BC=AC-AB=40-153≈40-25.95≈14米,∴EF=14米.即旗杆的高度为14米.17.(2021山东烟台,17,3分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在网格线的交点上,则sin∠ACB的值是.

17.答案2解析连接AO并延长交☉O于点D.由题意得AD为☉O的直径,∴∠ABD=90°,在Rt△ABD中,AB=4,BD=2,∴AD=AB2+BD∴sin∠ADB=ABAD=425又∵∠ADB=∠ACB,∴sin∠ACB=2518.(2021山东烟台,18,3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片(如图1),经过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图2),则矩形的周长为cm.

18.答案22解析由题意得S△ABC=S矩形BCDE=24cm∵S矩形BCDE=BE·BC,BC=8cm,∴BE=3cm.∴矩形的周长为×(8+3)=22cm.三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)19.(2021山东烟台,19,6分)(本题满分6分)先化简,再求值:2x+5x2-1-3x-1÷19.解析原式=2x+5=(2x=2-x(x+1由题意知x≠⊥1且x≠2,所以x=0.代入,得原式=0-120.(2021山东烟台,20,8分)(本题满分8分)2021年是中国共产党成立100周年,为普及党史知识,培养爱国主义精神,今年五月份,某市党校举行党史知识竞赛,每个班级各选派15名学员参加了网上测试,现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下:甲班15名学员测试成绩(满分100分)统计如下:87,84,88,76,93,87,73,98,86,87,79,85,84,85,98.乙班15名学员测试成绩(满分100分)统计如下:77,88,92,85,76,90,76,91,88,81,85,88,98,86,89.(1)按如下分数段整理两班测试成绩班级70.5~75.575.5~80.580.5~85.585.5~90.590.5~95.595.5~100.5甲12a512乙033621表中a=;

(2)补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图;(3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示:班级平均数众数中位数方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x=,y=;

(4)以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班;

(5)本次测试两班的最高分都是98分,其中甲班2人,乙班1人.现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛,利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率.20.解析(1)4.(2)15-(1+2+5+1+2)=4(名),∴a=4,(3)87;88.详解:由甲班15名学员的测试成绩可知众数为87.73,76,79,84,84,85,85,86,87,87,87,88,93,98,98∴甲班众数为87,∴x=8,7乙班15名学员的测试成绩由小到大排列为76,76,77,81,85,85,86,88,88,88,89,90,91,92,98.∴乙班的中位数为88,故x=87,y=88.(4)乙.(5)画树状图如下,则共有6种等可能的结果,其中甲、乙两班各一人的结果有4种,∴P=46=2恰好抽取甲、乙两班各一人参赛的概率为2321.(2021山东烟台,21,8分)(本题满分8分)如图,正比例函数y=12x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,且AC(1)求k的值及线段BC的长;(2)点P为B点上方y轴上一点,当△POC与△PAC的面积相等时,请求出点P的坐标.21.解析(1)∵OB=4,AB⊥y轴,∴点A的纵坐标为4,∵点A在正比例函数y=12x的图象上∴4=12x,∴x=8,∴A(8,4∵点A(8,4)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上∴4=k8,∴k=32AB=8,设BC=x,则AC=8-x,∵AC=OC,∴OC=8-x,在Rt△BOC中,∠OBC=90°,∴OB2+BC2=OC2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴BC=3.(2)S△POC=12·OP·BC=3S△PAC=12AC·BP=12(AB-BC)·(OP-OB)=12×(8-3)×(OP-4)=5∵S△POC=S△PAC,∴32OP=52OP-10,∴OP又∵点P为点B上方y轴上一点,∴P(0,10).22.(2021山东烟台,22,9分)(本题满分9分)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售增加10件.(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件应定为多少元?(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?22.解析(1)设售价定为x元,根据题意得(x-40)·20+10×60-x5=(60-40解得x1=50,x2=60(舍去).答:售价应定为50元.(2)设该商品需要打m折销售,根据题意得62.5×m10≤50,解得m≤8答:该商品至少打8折销售.23.(2021山东烟台,23,10分)(本题满分10分)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°.(1)请按如下要求完成尺规作图.(不写作法,保留作图痕迹)①作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D;②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O;③以点O为圆心,OD长为半径画圆,交边AB于点M.(2)在(1)的条件下,求证:BC是☉O的切线;(3)若AM=4BM,AC=10,求☉O半径.23.解析(1)如图所示.(2)证明:∵EF垂直平分线段AD,∴OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∵OD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODB=90°,∴BC是☉O的切线.(3)由题意知OM=OA=OD=12AM设OM=OD=OA=r,∴AM=2r=4BM,∴BM=r2,∴BO=BM+OM=32r,AB=BM+AM=5∵∠ODB=∠C=90°,∠B=∠B,∴△OBD∽△ABC,∴ODAC=OB∴r10=32r52∴☉O的半径为6.24.(2021山东烟台,24,11分)(本题满分11分)有公共顶点A的正文形ABCD与正文形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是,位置关系是;

【探究证明】(2)将图1中的正文形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.24.(1)OE=2AM;DE⊥AM.(2)仍然成立.证明如下:,∵M是BF的中点,∴BM=FMM又∵∠AMB=∠HMF,∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,∴△AMB≌△HMF,∴FHA=∠BAM,又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,∴AND=180°-(∠ADE+DAM)=90°,即AN⊥DN.故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.25.(2021山东烟台,25,14分)(本题满分14分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值;(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQ