2022常州数学试卷+答案+解析

2022年江苏省常州市初中学业水平考试一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.(2022江苏常州,1,2分)2022的相反数是 ()A.2022 B.-2022 C.12022 D.-2.(2022江苏常州,2,2分)若二次根式x−1有意义,则实数x的取值范围是 (A.x≥1 B.x>1 C.x≥0 D.x>03.(2022江苏常州,3,2分)下列图形中,为圆柱的侧面展开图的是 ()ABCD4.(2022江苏常州,4,2分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点.若DE=2,则BC的长是 ()A.3 B.4 C.5 D.65.(2022江苏常州,5,2分)某城市市区人口x万人,市区绿地面积50万平方米,平均每人拥有绿地y平方米,则y与x之间的函数表达式为 ()A.y=x+50 B.y=50x C.y=50x D.y=6.(2022江苏常州,6,2分)如图,斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是 ()A.垂线段最短B.两点确定一条直线C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7.(2022江苏常州,7,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点A1(1,2),则点A2的坐标是 ()A.(-2,1) B.(-2,-1)C.(-1,2) D.(-1,-2)8.(2022江苏常州,8,2分)某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测,评测结果绘制如下,每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0~100km/h的加速时间的中位数是ms,满电续航里程的中位数是nkm,相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域).欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内,若以上两组数据的中位数均保持不变,则这两个点可能分别落在 ()A.区域①② B.区域①③C.区域①④ D.区域③④二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.)9.(2022江苏常州,9,2分)化简:38=10.(2022江苏常州,10,2分)计算:m4÷m2=.

11.(2022江苏常州,11,2分)分解因式:x2y+xy2=.

12.(2022江苏常州,12,2分)2022年5月22日,中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版,共收录物种及种下单元约138000个.数据138000用科学记数法表示为.

13.(2022江苏常州,13,2分)如图,数轴上的点A、B分别表示实数a、b,则1a

1b(填“>”“=”或“<”14.(2022江苏常州,14,2分)如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是.

15.(2022江苏常州,15,2分)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC断裂(填“会”或“不会”,参考数据:3≈1.732).

16.(2022江苏常州,16,2分)如图,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=2,则☉O的半径是.

17.(2022江苏常州,17,2分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD=.

18.(2022江苏常州,18,2分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12.在Rt△DEF中,∠F=90°,DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,Rt△DEF从起始位置(点D与点B重合)平移至终止位置(点E与点A重合),且斜边DE始终在线段AB上,则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是.

三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(2022江苏常州,19,8分)计算:(1)(2)2-(π-3)0+3-1;(2)(x+1)2-(x-1)(x+1).20.(2022江苏常州,20,6分)解不等式组5x−10≤0,21.(2022江苏常州,21,8分)为减少传统塑料袋对生态环境的破坏,国家提倡使用可以在自然环境下(特定微生物、温度、湿度)较快完成降解的环保塑料袋.调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查,使用情况为A(不使用)、B(1~3个)、C(4~6个)、D(7个及以上),以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分.(1)本次调查的样本容量是,请补全条形统计图;

(2)已知该小区有1500户家庭,调查小组估计:该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户.调查小组的估计是否合理?请说明理由.22.(2022江苏常州,22,8分)在5张相同的小纸条上,分别写有语句:①函数表达式为y=x;②函数表达式为y=x2;③函数的图象关于原点对称;④函数的图象关于y轴对称;⑤函数值y随自变量x增大而增大.将这5张小纸条做成5支签,①②放在不透明的盒子A中搅匀,③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到①的概率是;

(2)先从盒子A中任意抽出1支签,再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率.23.(2022江苏常州,23,8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C,连接OC.已知点B(0,4),△BOC的面积是2(1)求b、k的值;(2)求△AOC的面积.24.(2022江苏常州,24,8分)如图,点A在射线OX上,OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA',那么点A'的位置可以用(a,n°)表示.(1)按上述表示方法,若a=3,n=37,则点A'的位置可以表示为;

(2)在(1)的条件下,已知点B的位置用(3,74°)表示,连接A'A、A'B.求证:A'A=A'B.25.(2022江苏常州,25,8分)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021,表示ICME-14的举办年份.(1)八进制数3746换算成十进制数是;

(2)小华设计了一个n进制数143,换算成十进制数是120,求n的值.26.(2022江苏常州,26,10分)在四边形ABCD中,O是边BC上的一点.若△OAB≌△OCD,则点O叫做该四边形的“等形点”.(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”);

(2)如图,在四边形ABCD中,边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=42,OA=5,BC=12,连接AC,求AC的长;(3)在四边形EFGH中,EH∥FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”,求OFOG的值27.(2022江苏常州,27,10分)已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:x…-10123…y…430-5-12…(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式;(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位,得到二次函数y=mx2+nx+q的图象,使得当-1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式y=,实数k的取值范围是;

(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点.已知点A、B的横坐标分别是m、m+1,点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,求∠ACB的度数.28.(2022江苏常州,28,10分)现有若干张相同的半圆形纸片,点O是圆心,直径AB的长是12cm,C是半圆弧上的一点(点C与点A、B不重合),连接AC、BC.(1)沿AC、BC剪下△ABC,则△ABC是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”);

(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹,不要求写作法);(3)经过数次探索,小明猜想,对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形.小明的猜想是否正确?请说明理由.备用图2022年江苏省常州市初中学业水平考试1.B相反数是只有符号不同的两个数.故选B.2.A由二次根式被开方数的非负性可得x-1≥0,∴x≥1.故选A.3.D圆柱的侧面展开图是矩形.故选D.4.B∵D、E分别是AB、AC中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12BC.∵DE=2,∴BC=4.故选B5.C由等量关系:人口数量×人均拥有绿地面积=总绿地面积,可得xy=50.∴y=50x.故选C6.A因为有斑马线的道路两侧是互相平行的,而平行线之间的垂线段最短.故选A.7.D∵A与A1关于x轴对称,A1(1,2),∴A(1,-2).∵A与A2关于y轴对称,∴A2(-1,-2).故选D.8.B由图可知,共有20个点,分别有10个点落在m上方,10个点落在m下方,第10个点和第11个点分别落在区域②④,从n的方向看,有10个点落在n左侧,10个点落在n右侧,第10个点和第11个点分别落在区域①③.20个数的中位数是第10个数和第11个数的平均数,要使加入2个数后中位数不变,则加入的点可能落在区域②④,也可能落在区域①③,故选B.解题关键理解中位数的定义,及计算方法,能从圈中充分获取信息,得到第10个点和第11个点的分布情况.9.答案2解析8的立方根是2.10.答案m2解析同底数幂相除,底数相同,指数相减.m4÷m2=m2.11.答案xy(x+y)解析x2y+xy2提公因式xy,得xy(x+y).12.答案1.38×105解析较大数的科学记数法表示为a×10n,其中1≤a<10,n为正整数,n=整数位数-1.13.答案>解析由图可知1<a<b,∴1a>114.答案2解析∵E是AD的中点,∴S△ACE=S△CDE=1,∴S△ACD=S△ACE+S△CDE=1+1=2.∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=2.15.答案不会解析如图,由题知拉伸后的四边形ABCD是菱形,边长为20cm.∴∠DAO=12∠DAB=30°,AB=AD=20cm,AC⊥∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=20cm.∴DO=12BD=10cm在Rt△ADO中,tan∠DAO=DOAO∴AO=DOtan∠DAO=1033=10∴AC=2AO=203≈34.64cm<36cm.∴橡皮筋AC不会断裂.16.答案1解析连接OA,OC,则∠AOC=2∠ABC=90°,∴OA2+OC2=AC2,∵AC=2,OA=OC,∴2OA2=2.∴OA=1(舍去负值),即☉O的半径是1.17.答案6解析如图,∵∠A=∠ABC=90°,∴∠A+∠ABC=180°.∴AD∥BC,∴∠1=∠3.∵DB平分∠ADC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CD=BC=3.过C作CE⊥BD,则∠3+∠4=90°,BE=12BD∵∠ABC=90°,∴∠3+∠ABD=90°,∴∠4=∠ABD,∴sin∠4=sin∠ABD,即BEBC=AD∴12BD3=1BD,解得BD=∴sin∠ABD=ADBD=16=18.答案21解析如图,连接CF交AB于点M,连接CF交AB于点N,过点F作FG⊥AB于点G,过点F作F'H⊥AB于点H,连接FF',则四边形FGHF是矩形,Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF'N.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∴DE=DF2+E在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,∴AB=AC2+B∵12·DF·EF=12·DF·∴FG=125∴BG=BF2−FG∴GE=BE-BG=165∴F'H=FG=125,AH=GE=16∴FF'=GH=AB-BG-AH=15-5=10,∵BF∥AC,∴BMAM=BFAC=∴BM=14AB=15同理可证AN=14AB=15∴MN=15-154-154=∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积为12×10+152×19.解析(1)原式=2-1+13=4(2)原式=x2+2x+1-(x2-1)=x2+2x+1-x2+1=2x+2.20.解析5解不等式①得x≤2.解不等式②得x>-1.把不等式①②的解集表示在数轴上,如图所示:∴原不等式组的解集为-1<x≤2.21.解析(1)样本容量为100.补全统计图略.由条形统计图得,A有20户,由扇形统计图得A占比20%,∴总户数=2020%=100∴C数量=100×25%=25,B数量=100-20-25-15=40.(2)估计1500户家庭中使用7个及以上环保塑料袋的户数为15100×1500=225答:调查小组的估计是合理的.22.解析(1)12(2)列表如下:BA

③④⑤①(①,③)(①,④)(①,⑤)②(②,③)(②,④)(②,⑤)由表可知,共6种等可能的结果,抽到2张小纸条描述相符的结果有3种.故所求概率为1223.解析(1)∵一次函数y=2x+b的图象过B(0,4),∴b=4,OB=4,∴一次函数为y=2x+4.∵S△BOC=12·OB·xC=2∴12×4·xC=2,解得xC=1∵C是一次函数y=2x+4与反比例函数y=kx的交点∴yC=2×1+4,∴C(1,6),反比例函数为y=6x(2)∵一次函数y=2x+4与x轴交于点A,∴A(-2,0),∴OA=2,∴S△AOC=12·OA·yC=1224.解析(1)(3,37°).(2)∵A'(3,37°),B(3,74°),∴OA'=OB=OA=3,∠AOA'=37°,∠AOB=74°,∴∠A'OB=∠AOB-∠AOA'=37°=∠AOA'.在△AOA'和△BOA'中,OA∴△AOA'≌△BOA',∴AA'=A'B.25.解析(1)八进制数3746换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+6×80=2022.(2)由n进制数143,换算为十进制数是120,得1×n2+4n+3×n0=120.解得n1=9,n2=-13(不舍题意,舍去).答:n的值为9.26.解析(1)不存在.(2)∵△OAB≌△OCD,∴OA=OC=5,AB=CD=42.∵BC=12,∴OB=BC-OC=7.过A作AE⊥BC于点E,设OE=x,则BE=7-x,∵AB2-BE2=OA2-OE2,∴(42)2-(7-x)2=52-x2,解得x=3,即OE=3.∴AE=OA2−OE2=4,EC∴AC=AE2+CE(3)如图所示:∵O是四边形EFGH的“等形点”,∴△OEF≌△OGH,∴∠1=∠2,OE=OG,OF=OH.∵EH∥FG,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠3=∠4,∴OE=OH.∴OG=OF,∴OFOG=1解题关键①充分理解“等形点”的定义.②能熟练应用全等三角形性质及勾股定理解题.③能根据题意画出第3问的图形.27.解析(1)由题表可知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点(1,0),(-1,4),∴a+b∴二次函数为y=-x2-2x+3.(2)二次函数y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,将其图象向右平移k(k>0)个单位后得到的图象对应的函数表达式为y=-(x+1-k)2+4.∵当-1<x<3时,y随x增大而增大,当4<x<5时,y随x增大而减小,∴3≤k-1≤4.∴4≤k≤5.∴当k=4时,二次函数y=mx2+nx+q为y=-x2+6x-5.当k=5时,二次函数y=mx2+nx+q为y=-x2+8x-12.(3)∵A、B、C是二次函数y=-x2-2x+3图象上的点.A、B的横坐标分别为m、m+1.∴yA=-m2-2m+3,yB=-m2-4m.∴A(m,-m2-2m+3),B(m+1,-m2-4m).∵点A与点C关于二