陕西省安康市2025-2026学年高二下学期期中考试 数学 含解析

陕西安康市2025-2026学年高二下学期阶段性检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】A解析：因为，则在内恒成立，可知在上单调递减，且，所以函数在上的值域为.2.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C解析：由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.3.已知数列，若，则正整数m的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B解析：数列中，，当时，，因此对，，所以正整数m的最小值为2.4.现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（）A. B. C. D.【答案】D解析：由题意可知，密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），则密钥第一位有种选择，第二位也有种选择，第三位要求从、、、中进行选择，有种选择，由分步乘法计数原理可知，可生成的密钥数量为个.5.若、、，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C解析：由题意可得，，所以点到直线的距离为.6.记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B解析：椭圆的上顶点，右焦点，，因此以A为圆心，为半径的圆方程为，由消去得，而，解得，直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2.7.记为等比数列的前n项和，若，，，则（）A.3 B. C.6 D.【答案】A解析：设等比数列的公比为，由，得，即，由，得，则，因此，即，由，得，即，而，则，于是，又，所以.8.已知函数，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D解析：因为，函数的定义域为，，由可得，由可得，所以函数的减区间为，增区间为，所以，因为，则，故，即的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B.C. D.【答案】ABD解析：令，对于A选项，，A对；对于B选项，的展开式通项为，的展开式通项为，故，B对；对于C选项，①，②，①②可得，C错；对于D选项，①②可得，D对.10.已知圆，圆，则（）A.圆过定点B.若圆与直线相交，则C.若圆与圆相切，则圆的面积为D.对任意非零实数，两圆存在与直线平行的公切线【答案】ACD解析：对于A选项，将圆的方程表示为，由可得，故圆过定点，且该定点为原点，A对；对于B选项，圆的圆心为，半径为，其中，因为圆与直线相交，则，整理可得或，B错；对于C选项，若圆与圆相切，由于两圆半径相等，故两圆外切，且圆的圆心为，则，即，解得，故圆的半径为，所以圆的面积为，C对；对于D选项，对任意非零实数，直线的方程为，即，假设两圆存在与直线平行的公切线，设公切线方程为，由题意可得，解得，故两圆存在与直线平行的公切线，D对.11.对于数列，，若对任意正整数n，恒成立，则称是“有界数列”，若，则称是阶乘数列，则（）A.对任意等差数列，存在等比数列使得是“有界数列”B.对任意等比数列，存在等差数列使得是“有界数列”C.对任意等差数列，存在阶乘数列使得是“有界数列”D.对任意阶乘数列，存在等比数列使得是“有界数列”【答案】AC解析：对于A，设任意等差数列满足．取等比数列，其中．则.因为对任意正整数，有，所以，故A正确．对于B，取等比数列．若存在等差数列，设，则.取正整数，使，又，于是，与题设要求矛盾，故B不正确．对于C，设任意等差数列满足．取阶乘数列，其中．则，且.因为对任意正整数，有，且，所以，故C正确．对于D，取阶乘数列．若存在等比数列，设，则.当时，．取正整数，使，则，与题设要求矛盾．当时，令于是有.取正整数，使，则当时，．于是对任意正整数，有.又因为可以取足够大，使，所以存在正整数，使.即，这也与题设要求矛盾．故D不正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数满足，则______．【答案】解析：由题意得.13.记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______．【答案】解析：直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称，又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，设点，则，故，即点，将点的坐标代入抛物线方程得，解得.14.将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成两个工作小组，然后从组中选择2人干工作，其余2人干工作；从组中选择1人干工作，其余3人干工作，已知甲不能干工作，乙要干工作，丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为___________．【答案】解析：由于工作b只在A组，乙必须做工作b，因此乙一定在A组且被分配做b，工作只在B组，甲不能做，因此若甲在A组则必须做b，若在B组则必须做c，丙和丁必须分在A、B两个不同小组。其余4人无特殊限制；分两种情况讨论：情况1：甲在A组：此时A组已包含乙和甲，且丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选1人加入A组，有种选法，故A组的构成方式有种；A组内的工作分配：乙和甲必须做b，其余两人自动做a，仅1种方案；B组：由丙、丁中另一人和剩余3个普通人组成。从中选1人做c，有种方案；该情况总方案数为：种；情况2：甲在B组：A组必须包含乙，丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选2人加入A组，有种选法，故A组的构成方式有种；A组内的工作分配：乙固定做b，需从其余3人中选1人做b，有种方案，剩余2人做a；B组：甲必须做c，其余3人自动做a，仅1种方案；该情况总方案数为：种；综上，所有满足条件的分配方案总数为种.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在公差为d的等差数列中，，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项的和．解：（1）因为，所以，因为，，所以，解得，则，可得.（2）设数列的前n项的和为，因为，则，所以.16.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．解：（1）已知，求导得.曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且.代入计算：，.故，.（2）由（1）得，则.求导得.因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，，求导得.因为时，，所以，即在上单调递增.因此.故，即的取值范围为.17.如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且．（1）求三棱台的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长．解：（1）由题意可知，，，因为侧棱底面，且，故.（2）因为底面，且为等边三角形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，cosA所以异面直线与所成角的余弦值为.（3）易知点、、、、，设，其中，设平面的法向量为，，，则m⋅A1C1，由题意可得cosAM整理可得，解得，符合题意，此时CM=18.已知双曲线上有两点，．（1）求E的方程；（2）过点的直线l与E交于M，N两点．（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；（ⅱ）若，求的外接圆方程，并判断点A是否在该圆上．（1）解：由双曲线过点，，得，解得，所以双曲线E的方程为.（2）（ⅰ）证明：依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，点，由消去得，，，直线的斜率，直线的斜率，因此，所以直线与的斜率之积为定值.（ⅱ）解：直线的斜率，由及（ⅰ），得，直线方程为，由，得，点，显然点关于轴对称，即的外接圆圆心在轴上，而弦中点为，弦中垂线方程为，令，得，因此的外接圆圆心为，半径，所以的外接圆的方程为，由，得点在该圆内.19.已知函数．（1）若为的极值点，求的值；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）若，证明：当时，．（1）解：因为为的极值点，且，由题意可得，解得，此时，由于函数的定义域为，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上为单调递增，此时为函数的极小值点，符合