函数的奇偶性（第一课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

人教B版(2019)必修第一册3.1.3函数的奇偶性（第一课时）第三章函数学习目标了解函数的奇偶性,体现数学抽象能力（重点）会用定义判断简单函数的奇偶性,体现逻辑推理能力（重难点）新课导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点(x,y)关于y轴的对称点为(-x

,y)，点(x,y)关于原点的对称点为(-x

,-y).例如：(-2

，3)关于y轴的对称点为(2

，3)，关于原点的对称点为(2

，-3).新课学习尝试与发现：填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．x-3-2-1123f(x)=x2

94114911新课学习不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值x和-x时，对应的函数值相等，即f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，新课学习偶函数的定义一般地，设函数y=f

(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则称y=f(x)

为偶函数.偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称.新课学习思考一下：如果y=f(x)时偶函数，其图象有什么特征？点P(x，f

(x))与Q(-x，f

(-x))都是函数y=f(x)图象上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成

Q(-x，f(x))，因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图象关于y轴对称；反之，结论也成立，即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数，如图所示是尝试与发现中两个函数的图象.新课学习奇函数的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)

为奇函数.奇函数的性质：奇函数的图象关于原点对称.新课学习思考一下：根据偶函数图象的特征，奇函数图象有什么特征？点P(x，f(x))与Q(-x，f

(-x))都是函数y=f(x)图象上的点，如果y=f(x)是奇函数，则点Q又可以写成

Q(-x，-f(x))，因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数.如图所示是奇函数f(x)=x3和g(x)=

的图象.新课学习奇偶性的定义如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.

可以看出，当n是正整数时，函数f(x)=x2n是偶函数，函数g(x)=x2n-1是奇函数.新课学习例1：

判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x+x3+x5；

因为函数的定义域为R，所以x∈R

时，-x∈R

.又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.新课学习例1：

判断下列函数是否具有奇偶性：(2)f(x)=x2+1；

因为函数的定义域为R，所以x∈R

时，-x∈R

.又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，所以函数f(x)=x2+1是偶函数.新课学习例1：

判断下列函数是否具有奇偶性：(3)f(x)=x+1；

因为函数的定义域为R，所以x∈R

时，-x∈R

.又因为f(-1)=

0，f(1)=2，所以

f(-1)≠-f

(1)且f(-1)≠f(1)，因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f(x)是非奇非偶函数）.新课学习例1：

判断下列函数是否具有奇偶性：(4)f(x)=x2，x∈[-1，3].

因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3∉[1，3]，所以函数f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.例1(4)说明，设函数

f(x)的定义域为D，如果存在x0∈D，但-x0∉D，即函数

f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.新课学习例2：已知奇函数

f

(x)

的定义域为D，且0∈

D，求证：f(0)=0.因为f(x)

是奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即

f(0)=

-f(0)，所以2f