高二数学圆锥曲线试题及答案解析

椭圆1.椭圆上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为，则为（）A.4B.64C.20D。不确定答案:C解析：设直线方程为,解出,写出2。过椭圆的焦点F（c,0)的弦中最短弦长是（)A.B。C.D.答案：A3。过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（）A．B。C.D.答案：D4.过原点的直线与曲线C：相交，若直线被曲线C所截得的线段长不大于，则直线的倾斜角的取值范围是(）ABCD。答案:D解析:用弦长公式5.如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线与BF交于D,且，则椭圆的离心率为（）ABCD答案：B6。椭圆上离顶点A(0,)最远点为（0,成立的充要条件为()ABCD。答案：C解析：构造二次函数。7.若椭圆和圆为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是()ABCD答案:A解析:解齐次不等式:,变形两边平方.8.已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是（）A(1，+∞）BCD答案:D解析：焦三角形AFO,如图：为锐角。转化为三角函数问题.9。P是椭圆上一定点，是椭圆的两个焦点，若,则解析:正弦定理、合比定理、更比定理.10。(2000全国高考)椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是解析：焦半径公式.11.圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为12.已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若,则此椭圆的离心率为解析:同填空（1)13.已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆，则此椭圆离心率为解析：求14.如果满足则的最大值为解析：三角代换.16。设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程。解：设椭圆方程为，为椭圆上的点，由得若,则当时最大,即,，故矛盾.若时，时,所求方程为17.已知曲线按向量平移后得到曲线C.①求曲线C的方程；②过点D(0,2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设，求实数的取值范围。解:①由已知设点P（满足,点P的对应点Q(则。当直线的斜率不存在时，，此时;当直线的斜率存在时，设ｌ：代入椭圆方程得:得设，则,又则。.又由，得,即即，又综上:双曲线1。已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为，则的值为()A.B。8C。D。随的大小变化答案:A解析:用双曲线定义列方程可解2。过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点，若则这样的直线存在(）A。0条B.1条C.2条D.3条答案:D解析：x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条；过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条。3。直线与曲线的交点个数是()A.0个B.1个C。2个D.3个.答案：D解析:(0，5)点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线,当直线斜率不为0时，直线必与每个曲线交于两点。4.P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为(）A。内切B。外切C。内切或外切D.无公共点或相交.答案:C解析：用两圆内切或外切的条件判断5.已知是双曲线的离心率,则该双曲线两条准线间的距离为(）A。2B。C.1D。答案:C解析:6.设,则二次曲线的离心率的取值范围是()A。B.C.D。答案：C解析：7。设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足，则的面积为(）A。1B.C。2D。答案：A解析：勾股定理,双曲线定义联立方程组。8.设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上，当的面积为1时,的值为()A.0B。1C.D.2答案：A解析:不妨设由,，,9.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为10。双曲线两条渐进线方程为,一条准线方程为，则双曲线方程为解析:可设双曲线方程为:（11。设双曲线的半焦距为，直线过点,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为2解析：由12.已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴且与圆相交于A（4,—1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为解析:设双曲线方程为：，再用待定系数法。13.直线和双曲线的左支交于不同两点,则的取值范围是解析:用判别式和韦达定理14。是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足,则解析:列方程组解.15。以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆，与相应准线有两个不同的交点，求证：①这圆锥曲线一定是双曲线;②对于同一双曲线，截得圆弧的度数为定值.解：①如图：，，所以圆锥曲线为双曲线.②为定值所以弧ST的度数为定值.16.M为双曲线上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为,设，求的值。解：,17。(2000全国高考)已知梯形ABCD中,，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围.解：如图建系：设双曲线方程为：则B(c,0)，C（，A(-c,0）,代入双曲线方程得：,抛物线1。过点（0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C。3条D。无数条.答案：C解析:相切与相交均能产生一个公共点.2.一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径的范围为（)A.B。C。D.答案:C解析：设圆心A(0，t），抛物线上的点为P(x,y),列出转化为二次函数问题.3.抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是(）(A）（B)(C)(D）答案：D解析：可证弦AB通过焦点F时，所求距离最短。4。直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则（）A。4B。2C。D。答案:A解析:所截线段长恰为通径5.(2000全国高考）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于（)A.B。C。D.答案:C解析：考虑特殊位置，令焦点弦PQ平行于轴，6.设抛物线的轴和它的准线交于E点，经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为（)A。B。C。D.不确定答案:C解析：向量解法：由A、F、B共线得（重要结论）,进而得出7.已知抛物线上一定点和两动点P、Q,当P点在抛物线上运动时，，则点Q的横坐标的取值范围是()A。B.C。[—3,-1]D。答案:D解析：均值不等式8.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B，若A、B在抛物线准线上的射影为,则(）A。B.C.D。答案：C解析:如图,因为A、F、B三点共线所以9.一动点到轴距离比到点(2，0）的距离小2,则此动点的轨迹方程为解析：用抛物线定义.10。过点P(-2，—4)的抛物线的标准方程为解析:考虑两种可能。11。已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为米解析：坐标法12。以椭圆的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则解析：略13。设A、B为抛物线上的点,且（O为原点)，则直线必过的定点坐标为解析：设直线方程为,解出A点坐标,再写出B点坐标;写出直线方程。14。抛物线的焦点弦AB，求的值.解:由得15。设一动直线过定点A（2，0）且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点，且适合，求的重心Q的轨迹方程，并说明该轨迹是什么图形。解析：设,,由得-———-———--—-—①又代入①式得—————--—--——--—--—-———--—-—--———-—②由得代入②式得:由得或,又由①式知关于是减函数且,且所以Q点轨迹为一线段（抠去一点)：(且）16.已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点，且，且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）①求抛物线方程;②求面积的最大值.解析:①设，AB中点由得又得所以依题意，抛物线方程为②由及,令得又由和得:轨迹与轨迹方程1.与圆x2+y2-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是（).A。y2=8xB。y2=8x（x〉0)和y=0C。x2=8y(y〉0)D。x2=8y（y〉0）和x=0(y〈0)答案:D解析:设所求圆的圆心为,已知圆圆心,半径为2,则或点在轴负半轴。2.点M（x,y）与定点F(1,0)的距离比它到直线x=8的距离大1，则动点M的轨迹方程为（)。A。y2=16(x—5)B。x2=16（y—5)C.x2=—16(y—5)D.y2=-16（x-5)答案：D解析：点M（x，y)与定点F(1,0）的距离等于它到直线x=9的距离.所以动点M的轨迹是以点F(1,0）为焦点，直线x=9为准线的的抛物线.3。已知,A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（）.A。B。C。D。答案：A解析:由知：P点是AB的三等分点(靠近B),设P（x,y），则,又，由距离公式即得。4.A、B、C是不共线的三点,O是空间中任意一点，向量,则动点P的轨迹一定经过△ABC的()。A。内心B.外心C.重心D。垂心答案:C解析:向量与边中线的向量是平行向量，,则点P在边中线上.5.已知两定点F1（—1，0)、F2(1,0),且是与的等差中项,则动点P的轨迹是（)。A。椭圆B.双曲线C。抛物线D.线段答案:D解析:作图可知点P的轨迹为线段。6。已知点P（x,y)对应的复数z满足，则点Q(x+y，xy)的轨迹是（)。A.圆B.抛物线的一部分C。椭圆D。双曲线的一部分答案：B解析:设，则,，轨迹为抛物线的一部分.7.已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆的左、右焦点，三个内角A、B、C满足，则顶点C的轨迹方程是(）.A。B.（x〈0)C。（x.<—2）D.答案:C解析:，点C的轨迹是以A、B为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C与A、B不共线.8。抛物线y=x2+(2m+1)x+m2A.抛物线B。直线C.圆D。线段答案：B解析:设焦点坐标为M(x,y），顶点,。9。点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，则△PF1F2的重心G解析:设,代入即得,再注意三角形三顶点不共线。10.过椭圆内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是解析:设N（x，y）,动弦AB方程为，与联立，消去y得：,消参即得.11。直线l1：x—2y+3=0,l2:2x-y—3=0,动圆C与l1、l2都相交，并且l1、l2被圆截得的线段长分别是20和16，则圆心C的轨迹方程是解析:设C(x，y),点C到距离分别为,,化简即得。12.点P是曲线f（x，y)=0上的动点，定点Q(1，1)，，则点M的轨迹方程是解析:设则:，代入f(x,y)=0即得。13.已知圆的方程为x2+y2=4，动抛物线过点A(-1,0），B(1,0），且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是解析：设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线,则，由抛物线定义得：,,故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点）14。设为坐标原点，为直线上动点，,，求点的轨迹方程.解:设，则由得：,即，由得：,将代入得:，且。所求点的轨迹方程为:。15。半径为R的圆过原点O，圆与x轴的另一个交点为A,构造平行四边形OABC,其中BC为圆在x轴上方的一条切线，C为切点，当圆心运动时，求B点的轨迹方程.解：设圆心为M（x0，y0），B(x,y）,则又BC为圆的切线，得：,，直线与圆锥曲线（1)1．若倾角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（）（A）（B）（C)(D)（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）【答案】（B）【解析】由条件,过焦点的直线为代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得2．直线与实轴在轴上的双曲线的交点在以原点为中心,边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么的取值范围是(）（A）（B)(C)（D）(目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置）【答案】（D）【解析】将直线代入双曲线求得，则有同理亦得,又对实轴在轴上的双曲线有，故.3．过点可作条直线与双曲线有且只有一个公共点.（目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性——--—与其渐近线的关系）【答案】4条【解析】设过点的直线为代入双曲线,求出有一个解的的值。或讨论与渐进线的斜率的关系。5．已知抛物线的过焦点的弦为，且，又,则（目的：利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质）【答案】2【解析】利用抛物线的定义,焦点弦，所以6．椭圆长轴上的一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。（目的：椭圆的对称性在解题中的运用）【答案】【解析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为，则，直线求得，7．已知抛物线与直线求证：抛物线与直线相交;求当抛物线的顶点在直线的下方时,的取值范围；当在的取值范围内时,求抛物线截直线所得弦长的最小值。(目的:熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题）【解析】（1)由直线与抛物线总相交。（2)其顶点为，且顶点在直线的下方,，即.（2)设直线与抛物线的交点为,则当已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（I）求双曲线的方程；(II）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段.试证明你的结论。（目的：借用中点弦的特性,及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性）【解析】（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以所求所求的双曲线方程为。(II）由条件的坐标分别为，点坐标为假设存在直线使平分线段设的坐标分别为得又即的方程为由消去整理得所求直线不存在.9．一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于两点，求直线与双曲线的方程（目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲线的方程及有关性质）【解析】由双曲线方程为设直线则又因为则有：由(1），（2）得代入（3)得所以，所求的直线与双曲线方程分别是直线与圆锥曲线（2）1．过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率的取值范围是(）(A)（B）（C）（D)（目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法）【答案】（B）【解析】直接法：由题意，点是双曲线的右焦点，过的直线平行于渐进线时,此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则。2．已知直线交椭圆于两点,椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点,则直线的方程是（）（A）（B)（C）（D）（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量)【答案】(D）【解析】由题设，设直线方程为则：代入方程检验即可。3．过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（)（A）4条(B）3条（C）2条(D)1条（目的:掌握判断直线与抛物线位置关系的方法）【答案】（B）【解析】当直线垂直于轴时满足条件，当直线不垂直于轴时，设直线方程为满足条件的直线有两条。5．抛物线上不存在关于直线对称的两点，求的范围（目的:学会运用间接、假设的方法解决存在性问题)【答案】【解析】若时，不存在。若时，设有这样的两点，则上，且消恒成立，故满足条件。已知中心在原点的椭圆经过点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是。（目的：学会运用函数的观点解决几何问题）【答案】【解析】不妨设椭圆方程为,椭圆经过点，则又根据图有再由8．已知双曲线的两条渐进线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相且，双曲线的一个顶点与点关于直线对称，设直线过点,斜率为。(Ⅰ)求双曲线的方程;（Ⅱ)当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为,求斜率的值和相应的点的坐标。（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题)【解析】（Ⅰ）设双曲线的渐进线方程是与圆相切，渐进线方程为，又双曲线的一个顶点关于的对称点为双曲线的方程为.(Ⅱ）直线设在上方与平行且相距的直线的直线方程是由的方程是代入，解得（Ⅰ）当时方程只有一组解，符合题意。此时（Ⅱ)当时，由与有且只有一个公共点，得综上所述：圆锥曲线的几何性质1．已知点是抛物线上的动点，焦点为,点的坐标是,则的最小值是（）(A)（B）(C)（D）（目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。【答案】（C）【解析】由抛物线的定义，三点共线时最小2．（2003年全国高考。文）双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为(）（A)（B）（C）（D）（目的:理解焦点三角形中各边之间的关系)【答案】（B）【解析】由条件，利用余弦定理求解。3．已知是抛物线上的任意两点，是焦点，是准线,若三点共线，那么以弦为直径的圆与的位置关系是（)(A)相交（B）相切(C）相离（D）不确定（目的：加深对椭圆的第二定义的理解,并推广到双曲线和抛物线）【答案】（B）【解析】利用抛物线的定义，将的长转化为到准线的距离即可。等轴双曲线的两个顶点分别为，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点，则（目的:理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处）【答案】【解析】写出的坐标，利用向量的坐标运算求解.过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标是(目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标)【答案】【解析】设则重心，因为直线过焦点，所以又，所以6．(2001高考广东、河南卷）已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上,且轴。求证：直线经过线段的中点。（目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性）【解析】由题设,椭圆的半焦距，由焦点，右准线方程为点的坐标为,的中点为。若垂直于轴,则中点为，即过中点。若直线不垂直于轴，由直线过点，且由轴知点不在轴上,故直线的方程为，记，且满足二次方程即又得故直线的斜率分别是故三点共线，所以，直线经过线段的中点7．已知：若点满足.(I）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线?【解析】设为点的轨迹方程,该曲线是以为焦点，长轴长为4的椭圆。【综合训练】1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是（)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：当sinθ∈［－1，0)时，方程x2＋y2sinθ＝4的曲线是双曲线；sinθ＝0时，方程的曲线是两条平行直线；sinθ∈(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sinθ＝1时，方程的曲线是圆．答案：C2．已知椭圆＝1的一条准线方程为y＝8,则实数t的值为（）A．7或－7B．4或12C．1或15解析：由题设y－t＝±7，∴y＝t±7＝8，∴t＝1或15．答案：C3．双曲线＝1的离心率e∈(1，2），则k的取值范围是（）A．(－∞，0）B．(－12，0)C．（－3,0）D．（－60，－12)解析：∵a2＝4,b2＝－k，∴c2＝4－k．∵e∈(1,2），∴∈(1，4)，∴k∈（－12，0）．答案:B4．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A．＝1B．＝1C．＝1解析:双曲线＝1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为(0，±)．∴椭圆的顶点坐标为（0,±4），焦点坐标为(0，±)．∴在椭圆中a＝4，c＝，∴b2＝4．∴椭圆的方程为＝1．答案：D5．过抛物线y＝ax2(a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）A．2aB．C．4a解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP＝－，xQ＝,∴＝4a答案：C6．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1），B(x2，y2),则等于()A．4B．－4C．－p2解析:由已知｜AB｜＝x1＋＋x2＋，∴（x1－x2）2＋(y1－y2）2＝（x1＋x2＋p)2，整理得4x1x2＋2y1y2＋p2＝0，又2px1＝y12,2px2＝y22，∴4x1x2＝，∴＋2y1y2＋p2＝0，∴y1y2＝－p2,x1x2＝，∴＝－4．答案：B7．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是()A．B．（1，1）CD．（2，4）解析:设P（x，y）为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝，∴x＝1时,d取最小值，此时P(1，1)．答案:B8．与＝1(a＞b＞0)的渐近线（）A．重合B．不重合，但关于x轴对称C．不重合，但关于y轴对称D．不重合，但关于直线y＝x对称解析：双曲线的渐近线方程为y＝±＝1的渐近线方程y＝±x、y＝x与y＝x关于直线y＝x对称,y＝－x与y＝－x关于直线y＝x对称．答案：D9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上,且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点（)A．(4,0）B．(2，0)C．（0，2）D．(0，－2)解析：直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由于动圆恒与直线x＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：B10．设P是椭圆＝1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是（)A．－B．－1C解析：设P（x0，y0）,则－3≤x0≤3．cosF1PF2＝∴当x0＝0时,cosF1PF2最小，最小值为－．答案：A11．已知点A(0，1）是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________．解析:∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为（2cosθ，sinθ)，则｜AP｜＝．∴当sinθ＝－时，｜AP｜最大，此时P的坐标为（±）．答案：（±）12．已知F1、F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率是_________．解析：由｜PF2｜＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝｜F1F2,∴e2－2e－1＝0，e＝1＋或e＝1－(舍)．答案：1＋13．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的方程为_________．解析：圆的方程可化为(x－3）2＋y2＝16,抛物线的准线为x＝－，由题设可知3＋＝4，∴p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4x．答案：y2＝4x14．点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4