选修2-1-空间向量与立体几何-教案

富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节课题从平面向量到空间向量第1课时三维目标1.知识与技能理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的方向向量和平面的法向量的概念；2.过程与方法通过对平面向量的内容的复习掌握空间向量的根本知识，掌握类比的学习方法；体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力。3、情感、态度与价值观学会用开展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地开展、变化，会用联系的观点看待事物。重点理解空间向量的概念，直线的方向向量和平面的法向量的概念中心发言人难点正确找出平面的法向量教具课型

新授课课时安排1课时教法学法个人主页教学过程复习引入：复习平面向量的一些根本概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。新知学习1．空间向量(1)在空间中，既有________又有________的量，叫作空间向量．(2)向量用小写字母表示，如：，或a，b.也可用大写字母表示，如：eq\o(AB,\s\up6(→))，其中______叫做向量的起点，______叫做向量的终点．(3)数学中所讨论的向量与向量的__无关，称之为自由向量．(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用________或______表示．(5)向量夹角的定义：如下图，两非零向量a，b，在空间中任取点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么________叫作向量a，b的夹角，记作________．(6)向量夹角的范围：规定__________．(7)特殊角：当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，向量a与b____，记作________；当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b______，记作______．2．向量、直线、平面(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线________或______的非零向量，一条直线的方向向量有_______________个．(2)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的____________，叫作平面α的法向量．平面α有______个法向量，平面α的所有法向量都________．(3)空间中，假设一个向量所在直线__________一个平面，那么称这个向量平行该平面．把__________向量称为共面向量．例题讲解例1：见教材例题1例2：见《新学案》23页例2例3：见《新学案》24页例3当堂检测1．以下命题中，假命题是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个相等的向量，假设起点相同，那么终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等2．给出以下命题①空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角；②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；③空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．33．在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是_____．课后小结：教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节课题空间向量的运算第1课时三维目标1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件.重点空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质中心发言人难点空间向量的线性运算及其性质教具课型

新授课课时安排1课时教法学法个人主页教学过程自主学习：空间向量的加法：设a和b是空间两个向量，过空间一点O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么平行四边形的对角线OC对应的____就是a与b的和，记作________．2．空间向量的减法：a与b的差定义为__________，记作__________，其中－b是b的相反向量．3．空间向量加减法的运算律(1)结合律：(a＋b)＋c＝____.(2)交换律：a＋b＝__________.4．数乘的定义：空间向量a与实数λ的乘积是一个_，记作__．(1)|λa|＝________.(2)当________时，λa与a方向相同；当________时，λa与a方向相反；当________时，λa＝0.(3)交换律：λa＝________(λ∈R)．(4)分配律：λ(a＋b)＝___.(λ＋μ)a＝_____(λ∈R，μ∈R)．(5)结合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．5．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________．6．空间向量的数量积：空间两个向量a和b的数量积是________，等于_______，记作_________．7．空间向量的数量积的运算律：(1)交换律：a·b＝__________；分配律：a·(b＋c)＝__________；(3)λ(a·b)＝____________(λ∈R)．8．利用空间向量的数量积得到的结论：(1)|a|＝____________；(2)a⊥b____________；(3)cos〈a，b〉＝____________(a≠0，b≠0)．例题讲解例1：见教材例题1例2：见教材例题2例3：综合应用：见《新学案》28页例3当堂检测：1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化简后的结果是()A.eq\o(BD1,\s\up6(→))B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(B1D,\s\up6(→))D.eq\o(DB1,\s\up6(→))2．四面体ABCD中，设M是CD的中点，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))化简的结果是()A.eq\o(AM,\s\up6(→))B.eq\o(BM,\s\up6(→))C.eq\o(CM,\s\up6(→))D.eq\o(DM,\s\up6(→))3．假设a，b均为非零向量，那么a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课后小结：教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节课题空间向量的标准正交分解与坐标表示第1课时三维目标1．明确空间向量的标准正交分解的方法和空间向量的坐标表示方法；通过实际作图会求空间直角坐标系中某一向量的坐标；2．学会利用坐标来表示向量、表示点，学会利用坐标的方法表示几何图形中的点、向量，将几何问题代数化；3．培养用向量工具将几何问题代数化的转化能力及用代数方法解决立体几何问题的意识。重点空间向量的正交分解中心发言人难点求一个向量的正交分解下的坐标教具课型

新授课课时安排1课时教法学法个人主页教学过程一、复习引入平面向量的正交分解我们已经解决，那么在空间中，我们该如何确定一个向量的坐标呢？本节课我们重点来解决这个问题。二、新知学习1、空间直角坐标系：〔2〕在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。〔3〕作空间直角坐标系时，一般使〔或〕，；〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系三、例题精讲例1PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．解∵PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k.以i，j，k为单位正交基底建立如下图的空间直角坐标系．∵＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋＝－eq\f(2,3)＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋)=＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)k＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)i＋eq\f(1,3)k，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0，\f(1,3))).例2〔见教材34页〕课堂小结五、作业布置教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节课题空间向量根本定理第1课时三维目标1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。3、情感、态度与价值观学会用开展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地开展、变化，会用联系的观点看待事物。重点空间向量的根本定理及其推论中心发言人难点间向量的根本定理唯一性的理解教具课型

新授课课时安排1课时教法学法个人主页教学过程一、复习引入平面向量根本定理的内容及其理解二、新知学习空间向量的根本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使证明：〔存在性〕设不共面，过点作过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使∴所以〔唯一性〕假设还存在使∴∴不妨设即∴∴共面此与矛盾∴该表达式唯一，综上两方面，原命题成立由此定理，假设三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。推论：设是不共面的四点，那么对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使例题讲解例1：向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？例2：在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：〔1〕；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).四、课堂小结五、作业布置教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节课题空间向量运算的坐标表示第1课时三维目标1．通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；2.会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.重点空间向量运算的坐标表示中心发言人难点空间向量运算的坐标表示的应用教具多媒体、三角板课型

新授课课时安排1课时教法启发诱导、练讲结合学法个人主页教学过程一、复习引入：平面向量的坐标运算：思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？新授：间向量运算的坐标表示：设，那么(1)(2)即〔二〕应用举例例1〔1〕向量，假设，那么______；〔2〕假设那么______.例2．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，求直线与所成角的余弦值.C1D1B1A1CDABMDC1D1B1A1CDABMD思考：你能总结出利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤吗？〔1〕建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.〔建系求点〕〔2〕将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.〔构造向量并坐标化〕〔3〕经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.〔向量运算、几何结论〕练习：探究：三、课堂总结：四、作业布置：教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高科目：授课人：授课时间：序号第节课题空间的角的计算〔一〕第1课时三维目标能用向量方法解决线与线、线与面的夹角的计算问题重点异线角与线面角的计算中心发言人难点异线角与线面角的计算教具多媒体课型

课时安排教法探究归纳，讲练结合学法个人主页教学过程四、教学过程〔一〕、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式〔二〕、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，那么1与2互余或与2的补角互余。〔三〕、知识运用例1在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角解2：〔向量法〕设，那么且A1A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG例1图解3：〔坐标法〕设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如下图空间坐标系例1图,，＝15A1xD1B1ADBCC1yzE1F例2在正方体中,F分别是BC的中点，点E1在A1xD1B1ADBCC1yzE1F例2图解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如下图坐标系D-xyz为D1AC平面的法向量，例2图所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为〔四〕、回忆总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高科目：授课人：授课时间：序号第节课题空间的角的计算〔二〕第1课时三维目标能用向量方法解决二面角的计算问题重点二面角的计算中心发言人难点二面角的计算教具多媒体课型

课时安排教法探究归纳，讲练结合学法个人主页教学过程〔一〕、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义〔二〕、探析新课利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角〔注意：要特别关注两个向量的方向〕如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l那么θ=<,>=<,>方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如图：二面角α-l-β，在α内取一点P，PABl过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，那么AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAPABl方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如图〔1〕P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，PB⊥β，那么∠APB与二面角的平面角互补。A1A1xD1B1ADBCC1yzE例3在正方体中,求二面角的大小。解：设正方体棱长为1，建立如下图坐标系D-xyz〔法一〕,〔法二〕求出平面与平面的法向量例4E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：A1xD1B1ADBCC1yzEF〔1〕A1D与EF所成角的大小；〔2〕A1xD1B1ADBCC1yzEF解：设正方体棱长为1，建立如下图坐标系D-xyzA1D与EF所成角是〔2〕〔3〕二面角的正弦值为〔四〕、回忆总结：1、二面角的向量解法；2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断。教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高科目：授课人：授课时间：序号第节课题空间的距离第1课时三维目标能用向量方法进行有关距离的计算。重点向量方法求点到面的距离。中心发言人难点向量方法求点到面的距离。教具多媒体课型

课时安排2教法探究归纳，讲练结合学法个人主页教学过程〔一〕、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。〔二〕、新课探析1、两点间的距离公式设空间两点，那么2、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，那么两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。4、向量法在求点到平面的距离中〔1〕设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，那么P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。〔2〕先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P〔x0,y0,z0〕到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=EQ\F(︱Ax0+By0+Cz0+D︱,EQ\R(,A2+B2+C2))〔三〕、知识运用1、例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。解：如图建立空间直角坐标系，由得直棱柱各顶点坐标如下：A〔1,0,0〕，B〔0,1,0〕，C〔0,0,0〕A1〔1,0,EQ\R(,3)〕，B1〔0,1,EQ\R(,3)〕，C1〔0,0,EQ\R(,3)〕∴=〔－1,1,－EQ\R(,3)〕，=〔－1,0,－EQ\R(,3)〕=〔1,－1,0〕设平面A1BC的一个法向量为，那么即例2、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，〔I〕求证：平面BCD； 〔II〕求异面直线AB与CD所成角的大小；〔III〕求点E到平面ACD的距离。解：〔I〕略〔II〕解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 异面直线AB与CD所成角的大小为 〔III〕解：设平面ACD的法向量为那么 令得是平面ACD的一个法向量，又 点E到平面ACD的距离例3、直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．解〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕以线段AB的中点为原点O，OE所在直〔Ⅰ〕求证：AE⊥平面BCE；〔Ⅲ〕求点D到平面ACE的距离。〔Ⅱ〕求二面角B-AC-E的大小；线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.面BCE，BE面BCE，，在的中点，设平面AEC的一个法向量为，那么解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，∴二面角B—AC—E的大小为〔III〕∵AD//z轴，AD=2，∴，∴点D到平面ACE的距离〔四〕、回忆总结：向量法求距离，〔1〕设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，那么P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。〔2〕先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P〔x0,y0,z0〕到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=EQ\F(︱Ax0+By0+Cz0+D︱,EQ\R(,A2+B2+C2))。〔五〕、布置作业：教后反思审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高科目：授课人：授课时间：序号第节课题空间向量与立体几何复习与小结〔一〕第1课时三维目标掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。重点空间向量及其运算和空间向量的应用中心发言人难点空间向量及其运算和空间向量的应用教具多媒体课型

课时安排2教法探究归纳，讲练结合学法个人主页教学过程〔一〕、根本概念1、共线向量定理：2、空间向量的数量积：空间向量的数量积的性质：空间向量的数量积的运算律：3、向量的直角坐标运算：〔二〕根本方法1、平面法向量的求法：2、二面角的求法：3、点、面距离的求法设是平面的法向量，AB是平面的斜线段，那么点B到平面的距离。〔三〕、根本练习1、如图，长方体ABCD—中，AC与BD的交点为M，设，那么以下向量中与相等的向量是〔〕A