广东省2025-2026学年下学期高中数学人教A版选择性必修第二册导数单元测试

广东省2025-2026学年下学期高中数学人教A版选择性必修第二册导数单元测试一、单选题1．曲线y=ex−2ax在x=0处的切线经过点2,−1A．−1 B．0 C．1 D．22．设f(x)是定义在R上的可导函数，则f'x0=0是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若函数f(x)=ax3−A．−19,+∞ B．−∞,−4．若直线y=3ex为函数fx=axa>0A．e B．e3 C．3e D．5．若命题：“∃a，b∈R，使得a−cosb≤b−cosa”为假命题，则A．a<b B．a>b C．a≤b D．a≥b6．已知a=1−cos2110，A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a7．已知等比数列an的各项均为正数，a5,a6A．5 B．6 C．10 D．158．已知函数fx=ex−x−1,gx=mex−x−1−2meA．1,e B．−1−e,−C．−1−e,−3−1e 二、多选题9．已知a=ln（参考数据：e1A．a<d B．b>c C．c>a D．b>d10．已知正nn≥3棱锥的体积为16A．5 B．6 C．7 D．811．已知函数fxA．当x<0时，fx<0 B．fxC．若m+n=0，则fm−fn>1 D．三、填空题12．若直线y=2x−4是曲线y=lnx+x+a的切线，则实数a的值是13．已知函数fx=x3+x，若第一象限内的点P在曲线y=fx上，则14．已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在(x2,g(x四、复合题15．已知函数fx=（1）若a=2，求曲线y=fx在点1,f（2）讨论函数y=fx16．设函数fx（1）若a=−1，求函数fx（2）若fx≥0恒成立，求17．已知函数f(x)=e（1）讨论fx（2）若a=1，求曲线fx在x=1（3）当a>0时，试讨论函数fx18．已知函数f(x)=2x−e（1）求函数f(x)的极值；（2）证明：对任意的x∈[0,+∞（3）若函数g(x)=f(x)+4aex(a∈R)19．已知函数f(x)=e（1）若a=2，求f(x)在区间1,2上的最值；（2）若f(x)在区间1,2上单调递增，求a的取值范围；（3）若a=1，函数g(x)=f(x)x−(e−3)(x>0)，证明：g(x)

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B,C,D10．【答案】C,D11．【答案】A,C,D12．【答案】−313．【答案】214．【答案】0；e15．【答案】（1）解：当a=2时，函数fx=lnx−2x+3，f'则曲线y=fx在点1,1处的切线方程为y−1=−x−1，即（2）解：函数fx=lnx−ax+2a−1当a≤0时，f'x>0恒成立，函数f当a>0时，令f'x>0，解得x∈(0,1a则函数fx在(0,1a综上可知：当a≤0时，函数fx在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，函数fx在16．【答案】（1）解：当a=−1时，函数fx=2x−lnx+1定义域为令f'x=0当x∈−1,−12时，f'x当x∈−12,+∞时，f则函数fx的单调递减区间为−1,−12（2）解：函数fx=2x−ln求导可得f'因为12+a>a，所以当x∈a, 12+a时，当x∈12+a,+∞时，f'故函数fx在x=12要使得fx≥0恒成立，则1+2a+ln故a的取值范围为−1−ln17．【答案】（1）解：函数f(x)=ex−a(x+1)定义域为R当a≤0时，f'(x)>0恒成立，函数f(x)在当a>0时，令f'(x)=0，解得x=lna，则当当x∈(−∞,ln综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(lna,+∞（2）解：当a=1时，函数f(x)=ex−(x+1)则曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为f'故曲线f(x)在x=1处的切线的方程为y−e+2=(e−1)(x−1)，即(e−1)x−y−1=0；（3）解：令f(x)=0，则ex−a(x+1)=0，即问题转化为直线y=1a与曲线令g(x)=x+1ex当x<0时，g'(x)>0,g(x)在当x>0时，g'(x)<0,g(x)在(0,+∞当x<−1时，g(x)<0，当x>−1时，g(x)>0，当x趋向于负无穷时，gx趋向于负无穷，当x趋向于正无穷时，gx趋向于作出函数gx的图象，如图所示：

当0<1a<1，即a>1时，直线y=1a当1a=1，即a=1时，直线y=1a与曲线当1a>1，即0<a<1时，直线y=1综上所述：当a>1时，函数f(x)的零点个数是2；当a=1时，函数f(x)的零点个数是1；当0<a<1时，函数f(x)的零点个数是0.18．【答案】（1）解：函数f(x)=2x−e2x−1当x<0时，f'(x)>0；当x>0时，f'(x)<0，

即函数f(x)在故当x=0时，函数f(x)取得极大值f(0)=−2，无极小值；（2）证明：不等式f(x令函数h(x)=ex−求导得h'(x)=ex−x−1因此函数h'(x)在[0,+∞)上单调递增，h'则h(x)≥h(0)=2>sinx，所以对任意的（3）证明：函数g(x)=f(x)+4aex=2x−由g'(x)=0，即e2x−2aex−1=0当x<x0时，g'(x)>0；当x>x0时，g'函数g(x)在x=x0处取得最大值g(x0)，且当x→−∞时，由函数g(x)有且仅有一个零点，得g'(x消去a得e2x0+2x而φ(0)=−2<0,φ(ln2)=2ln2+1>0，则又函数y=12(ex方程4x2+8ax+3a=0所以方程4x19．【答案】（1）解：若a=2，则f(x)=e令m(x)=2e则m'(x)=4e2x−4>0又因为f'所以f'(x)>0在区间1,2上恒成立，则f(x)在区间由f(1)=所以f(x)在区间1,2上的最大值为e4−4e−10，最小值为（2）解：若f(x)在区间1,2上单调递增，

则f'(x)=2e所以∀x∈[1,2],a≤2设p(x)=2则p因为x∈[1,2]，所以2e2x(2x−1)>0，则p'(x)>0，

则p(x)min=p(1)=2e2−2e−1​​​​​​​（3）证明：若a=1，则g(x)=e令g(x)=0，得e2xx−x−3e+2=0令k(x)=e再令t(x)=2e2x−2x−(3e−2)所以k'(x)在区间又因为k根据零点存在定理，存在唯一的x0