有理数课件2026-2027学年人教版七年级数学上册

第一章有理数1.2有理数的大小比较1.2.1有理数学习目标1.掌握有理数的概念.2.会对有理数按一定的标准进行分类，培养分类能力.学习重难点掌握有理数的概念.会对有理数按一定的标准进行分类.难点重点创设情境某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到-10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温为-3℃～7℃.这里面出现的数是什么数？6，-10，0，-3，7都是整数，有正整数也有负整数.

小学：分数和小数.初中：统归为分数.事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数.新知引入我们以前学过的数，正整数：如1，2，3，…；负整数：如-1，-2，-3，…；特别提示：0既不是正数，也不是负数！知识点1有理数零：0；正整数、0和负整数统称为整数.

可以写成分数形式的数称为有理数.其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.例题示范例1

指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：

知识点2有理数的分类你能对有理数分类吗？新知引入

有理数正有理数零负有理数例题示范例1

有理数中，是整数而不是正数的是___________；是负数而不是分数的是__________．既不是正数，也不是负数的数是

．负整数和0负整数0例2判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”.整数分数正有理数负有理数有理数2016√√√2.1-4.90-12

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√随堂练习1.下列说法中，正确的是（）A.正整数、负整数统称为整数B.正有理数、0和负有理数统称为有理数C.零既可以是正整数，也可以是负整数D.一个有理数不是正有理数就是负有理数B2.下列各数：-2，5，

，0.63，0，7，-0.05，-6，9，.

其中正有理数有____个，负有理数有____个，自然数有____个，整数有____个.64463.判断：（1）0是整数（）（2）自然数一定是整数（）（3）0一定是正整数（）（4）整数一定是自然数（）√√××拓展提升1.给出下列说法：①0是整数；②

是负有理数；③4.2不是正有理数；④自然数一定是正有理数；⑤负分数一定是负有理数.其中正确的有（）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个2.下列四个数中，是正整数的是(

)

DD

负有理数集合整数集合整数集合正有理数集合

注意：两个集合中的公共部分需符合两个条件.归纳小结1.到现在为止，我们学过的数（π

除外）都是有理数．2.有理数的分类3.注意0的特殊性，分类时不要遗漏0．

有理数正有理数零负有理数第一章有理数1.2有理数的大小比较1.2.2数轴学习目标1.认识数轴，掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.2.会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.学习重难点掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.难点重点在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．037.534.8创设情境新知引入知识点1数轴怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？为了使表达更清楚，我们规定向东为正，把汽车站牌左右两边的数分别用负数和正数表示.037.5-3-4.8我们把正数、0和负数用一条直线上的点表示出来.思考(1)点A表示多少摄氏度？点B呢？点C呢？(2)温度计刻度的正负是怎样规定的？以什么为基准？(3)每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点?（4）温度计上的刻度是怎样表示温度的？（5）你能把温度计的刻度画在纸上吗？（6）把温度计横放（零上温度向右），你觉得它像什么？BAC零下0零上刻度你能借鉴温度计，用一条直线上的点表示有理数吗?画数轴的步骤：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点；(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…;从原点向左，用类似方法依次表示一1，-2，-3，…(1)(2)(3)数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．特别解读：1.数轴是一条直线.2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.数轴的三要素缺一不可.在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定后就不能随意改变.原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一的部分叫作数轴的正半轴;另一侧的部分叫作数轴的负半轴.画数轴的注意事项：(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般画水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.例题示范例1

下列数轴表示正确的是(

)D0

-3

-2

-1

1233.如何用数轴上的点来表示分数或小数？如：1.5，-—怎样表示.23.

.思考：1.观察上面数轴，哪些数在数轴的负半轴，哪些数在数轴的正半轴，由此你有什么发现？2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？新知引入知识点2数轴上的点与有理数的关系归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是____个单位长度．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.aa

－5－4－3－2－1

012345解:-1－44●●●●●

0注意:①把点标在线上；②把数标在点的上方,以便观看.例题示范0.5●●30

12-2

-1例3

在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？

DCBA

(4)D点表示-1.5.

(1)A点表示2；

(2)B点表示0.25；(3)C点表示-0.75；解:....随堂练习1.下面所画数轴，画法正确的是________(填序号)．①④2.下列说法：①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个A3.数轴上点A表示的数是－3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是(

)A．4B．－4或10C．－10D．4或－10D4.一只蚂蚁从水平数轴上的一点A出发，爬了7个单位长度到点B，若点B表示的数为1，则点A表示的数为

.8或-6解：方法1：画数轴如下，得点A表示的数为8或-6.方法2：计算1+7=8，1-7=-6.018-6注意：分类思想的运用.5.如图，有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的整数.0143-8-3-2-129解：-8与-3之间的整数有：-7，-6，-5，-4；4与9之间的整数有：5，6，7，8.注意：要有序地找，可以从小到大找.6．一辆货车从超市出发，先向东走了3km到达王彬家，继续向东走2.5km到达王颖家，接着向西走了10km到达王明家，最后回到超市．(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出王明家、王彬家、王颖家的位置．(2)王明家距王彬家多远？(3)若货车每千米耗油0.5L，则货车共耗油多少L？解：（1）如图所示．（2）根据数轴可知，王明家距王彬家7.5个单位长度，因而是7.5km.（3）0.5×(3＋2.5＋10＋4.5)＝0.5×20＝10(L)．答：货车共耗油10L.拓展提升1.在数轴上表示-1和2019的两点分别为A和B，则A，B两点之间的距离为()A.2017 B.2018 C.2019 D.2020D2.点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为(

)A．－(a＋1)B．－(a－1)

C．a＋1 D．a－1B3.如图，在数轴上，点A表示的数为-1，点B表示的数为4，若点C在点A的左侧，且A，C两点之间的距离等于A，B两点之间的距离，则点C表示的数为

.0-3-2-1213-4-545AB-64.如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是________．－15．如图，已知在纸面上有一条数轴．

(1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－2的点与表示________的点重合．2

(2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示________的点重合；②若数轴上A，B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧)，且A，B两点折叠后重合，直接写出A，B两点表示的数．－3点A表示的数是－3.5，点B表示的数是5.5.归纳小结有理数数与点的转化数轴三要素原点正方向单位长度第一章有理数1.2有理数及其大小比较1.2.3相反数学习目标1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.2.会求有理数的相反数.学习重难点理解数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.会求有理数的相反数.难点重点回顾复习有理数数与点的转化数轴三要素原点正方向单位长度创设情境探究（1）在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？（2）这些数之间有什么关系？与原点的距离是

的点呢？答：（1）数轴上与原点的距离是3的点有两个，分别表示-3和3.（2）这两个数只有符号不同；与原点的距离是

的点也有两个，它们表示的数是

和

，这两个数也只有符号不同.观察这两个数，有什么相同和不同？数字相同符号不同新知引入知识点1相反数像3.5和-3.5这样只有符号不同的两个数，互为相反数.例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7.相反数的概念只有符号不同的两个数，互为相反数.特别地，0的相反数是0.提示：除了符号不同之外，其他部分完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.例如，+5和-2虽然符号不同，但不能说它们互为相反数.相反数的求法在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数.相反数的性质

任何一个数都有相反数，而且只有一个；

正数的相反数是负数；

负数的相反数是正数；

0的相反数是0.相反数的几何意义在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.注意：(1)数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；(2)数轴上与原点的距离是a(a为正数)的点有两个，分别在数轴的正半轴和负半轴，它们表示的数互为相反数.例1（1）－5是5的相反数（）;

（2）－5是相反数（）;

（3）与互为相反数（）;

（4）－5和5互为相反数（）;（5）相反数等于它本身的数只有0﹙﹚;（6）符号不同的两个数互为相反数﹙﹚.×√×√√×例题示范

思考：a的相反数是什么？a

的相反数是－a

，

a可表示任意有理数.求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“－”号．知识点2多重符号的化简新知引入－（＋1.1）表示什么？－（－7）呢？－（－9.8）呢？它们的结果应是多少？问题：若把

a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？a=+5，

a=-7，

a=0，

-a=-（+5）；-a=-（-7）；-a=0多重符号化简的依据相反数的定义是多重符号化简的依据.例如：-(-5)表示-5的相反数，所以(-5)=5.多重符号的化简先省略所有的“+”号，然后由“-”号的个数确定结果的符号.当“-”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“-”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.

例3(1)是____的相反数，(2)是______的相反数，=______．(3)是_______的相反数，．

(4)是_______的相反数，．＋4-4问题：在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，“＋”号可省略．例题示范

例4化简下列各数（先读后写）：(1)-(+10)

(2)+(-0.15)

(3)+(+3)

(4)-(-12)(5)+[-(-1.1)](6)-[+(-7)]

解：(1)-(+10)=-10

(2)+(-0.15)=-0.15

(3)+(+3)=3(4)-(-12)=12(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1(6)-[+(-7)]=-(-7)=7由内向外依次去括号随堂练习2．下列说法：①－2是相反数；②2是相反数；③－2是2的相反数；④－2和2互为相反数．其中正确的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个B1．在－1，＋(－2)，－(－3)，－(＋4)中，负数的个数是(

)A．1B．2C．3D．4C4.一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是5，那么这个数是()A.5或-5B.2.5或-2.5C.5或-2.5D.-5或2.53．一个数的相反数等于它本身，这样的数有(

)A．0个

B．1个C．2个

D．无数个BB5.点A在数轴上，将点A先向左移动10个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，此时点B所表示的数与点A原来所表示的数互为相反数，求点A原来表示的数是多少?解：将点A先向左移动10个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，相当于点A向左移动了6个单位长度，即AB的长度是6.因为点A，B表示的数互为相反数，所以A，B两点与原点的距离都是3，所以点A表示的数是3.6.已知a是-[-(-5)]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数为它本身的数，计算3a+4b+5c的值.解：因为-[-(-5)]=-5，所以a=-(-5)=5.因为最小的正整数是1，b比最小的正整数大4，所以b=1+4=5.因为c是相反数为它本身的数，所以c=0.所以3a+4b+5c=3×5+4×5+5×0=35.拓展提升1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．－0.5的相反数是(

)A．0.5 B．±0.5C．－0.5D．52.点A在数轴上，点A所对应的数用2a＋1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为(

)A．－2或1B．－2或2C．－2D．1AA3.下列说法：①m与－m互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a的相反数一定是数．其中正确的个数是(

)A．1B．2C．3D．4B4.若-[-(-x)]=8，则x的相反数是

.8当“-”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“-”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.5.若数轴上的点M和点N表示的两个数互为相反数(点M在点N的右边)，并且这两点之间的距离是10，则这两个点所表示的数分别是

.5和-5数轴上一个数到它的相反数的距离是这个数到原点距离的2倍.6.如图，已知A，B，C，D四个点在数轴上．(1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点在点________的位置；(2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点在点________的位置；BC(3)若点B和点C表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置．解：如图所示．归纳小结相反数定义求法多重符号的化简在原数前面加负号只有符号不同的两个数，互为相反数第一章有理数1.2有理数及其大小比较1.2.4绝对值学习目标1.理解绝对值的概念及性质.2.会求一个有理数的绝对值.学习重难点

理解绝对值的概念及性质.会求一个有理数的绝对值.难点重点回顾复习相反数定义求法多重符号的化简在原数前面加负号只有符号不同的两个数，互为相反数创设情境两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A，B两处(下图).它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？说说你的想法.01234-1-2-3大象距原点几个单位长度?两只小狗分别距原点几个单位长度？新知引入

甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作

km，乙车向西行驶10km到达B处，记做

km.+10-10

以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？－10100OBA06-1-2-3-4-5-612345│－５│＝５│４│＝４4到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记作|4|=4-5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记作|-5|=5一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记作|0|=0知识点

绝对值

绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.(注意：这里的数a可以是正数、负数和0).注意：任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值，是表示它的点到原点的距离.因为距离不可能是负数，所以数a的绝对值为非负数，即|a|≥0.观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？|5|=5|0|=0|-10|=10|3.5|=3.5

|-100|=100|3|=3

|-50|=50|4.5|=4.5

|-5000|=5000…..…..

绝对值的性质探究思考：一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？结论1：一个正数的绝对值是正数.一个负数的绝对值是正数.

0的绝对值是0.结论2：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.任何一个有理数的绝对值都是非负数!|a|≥0正数的绝对值是它本身

(1)当a是正数时，｜a｜＝____；

(2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿；

(3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿.a-a00的绝对值是0负数的绝对值是它的相反数思考:若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?(1)任何数的绝对值都不小于它本身，即|a|≥a.(2)若几个数的绝对值之和为0，则这个算式中的每个数都为0，即若|a|+|b|+···+|m|=0，则a=b=···=m=0.绝对值的相关概念(1)在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大.(2)绝对值是它本身的数是非负数，即若|a|=a，则a≥0；绝对值是其相反数的数是非正数，即若|a|=-a，则a≤0.(3)绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|=a(a>0)，则x=±a，如|x|=2，则x=±2.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a=-b，则|a|=|b|；绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若|a|=|b|，则a=b或a=-b.[导引]判断该数的符号，再根据正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解．例题示范

随堂练习1．C2．A3.下列说法中，正确的是(

)A．|－8|是求－8的相反数B．|－8|表示的意义是数轴上表示－8的点到原点的距离C．|－8|表示的意义是数轴上表示－8的点到原点的距离是－8D．以上都不对B拓展提升2.下列各式中无论m为何值，一定是正数的是(

)A.

0

B.-1

C.

＋1

D.－(－m)1.CC1．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离，叫作数a的绝对值.2．绝对值的性质(1)|a|≥0；(2)归纳小结第一章有理数1.2有理数及其大小比较1.2.5有理数的大小比较学习目标能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.学习重难点

能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.难点重点回顾复习1．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.2．绝对值的性质(1)|a|≥0；(2)创设情境

给出嘉兴一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？新知引入知识点有理数的大小比较下面是某一天我国5个城市的最低气温：武汉5℃；北京-10℃；上海0℃；广州10℃；哈尔滨-20℃.你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗？哈尔滨-20℃北京-10℃上海

0℃武汉

5℃广州10℃<<<<哈尔滨-20℃北京-10℃上海

0℃武汉

5℃广州10℃<<<