2026年甘肃省武威市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）2026的绝对值是（）A．2026 B．﹣2026 C． D．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体为（）A． B． C． D．3．（3分）截至2026年初，甘肃省光热发电装机容量已达620000千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据620000用科学记数法表示为（）A．0.62×106 B．6.2×105 C．6.2×104 D．62.0×1044．（3分）计算：（）A． B． C． D．5．（3分）如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最小度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°6．（3分）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′（2，0），B（4，0），A'B'，则AB＝（）A．3 B． C．4 D．7．（3分）随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用AI辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用AI辅助学习时间的描述，错误的是（）A．众数是127分钟 B．平均数是133分钟 C．中位数是132分钟 D．总时间是1064分钟8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝（）A．95° B．100° C．105° D．110°9．（3分）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元一次方程组为（）A． B． C． D．10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点M从点O出发，沿OC→CD匀速运动至点D时停止．设点M的运动路程为x，AM的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是（）A． B．6 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：5a2b+10ab2＝．12．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可以是．（请写出一个符合条件的值即可）13．（3分）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是．14．（3分）如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′．若∠CEB′＝60°，AB＝3cm，则点B′到AD的距离等于cm．15．（3分）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将⊙O的面积转化为Rt△ODC的面积，其中S扇形AOB＝S△OMN．在Rt△ODC中，CD等于⊙O周长，OD等于⊙O半径，若CD＝4π，MNπ，则扇形AOB的圆心角等于度．16．（3分）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流击中昆虫．（填“能”或“不能”）三、解答题：本大题共6小题，共32分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（4分）计算：．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣（a﹣2）（4a+3），其中a＝﹣1．20．（6分）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形．（1）请判断图1是图形；（填“轴对称”或“中心对称”）（2）图2是从图1选取的部分图案，其中△A′B′C′看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法）21．（6分）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是；（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．22．（8分）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）．参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。23．（7分）为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有360名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50名学生的成绩作为样本数据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：频数、频率分布表组别成绩x（分）频数频率A60≤x＜7070.14B70≤x＜8015nC80≤x＜90m0.36D90≤x≤100100.2根据所给信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）补全频数分布直方图；（3）这50名学生成绩的中位数会落在组；（填组别）（4）若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数．24．（7分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，BC．（1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y（k≠0）的表达式；（2）求四边形BDAC的面积．25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，点E在AB的延长线上，CB平分∠ECD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当AD＝8，sin∠BCE时，①填空：tan∠BCE的值等于；②求BC的长．26．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．【初步尝试】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BQ∥AC，BQ＝2，连接AQ．点P在线段AB上，满足∠BPC＝∠CAQ，求AP的长．【类比探究】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP＝BQ．当∠BPC＝∠BCD时，用等式表示出CD和QE的数量关系，并说明理由．【拓展迁移】（3）如图3，在矩形AEBD中，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP＝BQ．当∠EAQ∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由．27．（10分）抛物线ybx+c与x轴交于A，C（2，0）两点，与y轴交于点B（0，﹣6）．动点D在线段OB上（点D与点O不重合）．（1）求抛物线ybx+c的表达式；（2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN．①如图1，当BD＝4时，求正方形CDMN的面积；②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；（3）如图3，在动点D的正上方有另一动点E（0，p），且ED，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接AE，CD，求AE+CD的最小值和此时p的值．

2026年甘肃省武威市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）2026的绝对值是（）A．2026 B．﹣2026 C． D．【分析】根据正数的绝对值等于它本身解答即可得．【解答】解：根据正数的绝对值等于它本身可得：|2026|＝2026．故选：A．【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体为（）A． B． C． D．【分析】根据所给三视图判断几何体形状即可．【解答】解：结合所给三视图，可知该几何体是圆锥，故选：C．【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．3．（3分）截至2026年初，甘肃省光热发电装机容量已达620000千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据620000用科学记数法表示为（）A．0.62×106 B．6.2×105 C．6.2×104 D．62.0×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：620000＝6.2×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）计算：（）A． B． C． D．【分析】先通分，再计算即可．【解答】解：原式．故选：D．【点评】本题主要考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．5．（3分）如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最小度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】木条c绕点O顺时针旋转40°时与直线b的夹角为40°，从而得到此时木条c与直线a垂直．【解答】解：当木条c与直线b所夹的角为40°时，木条c与直线a垂直时，而旋转前木条c与直线b所夹的角为80°，所以木条c绕点O顺时针旋转至少40°时与直线a垂直．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．（3分）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′（2，0），B（4，0），A'B'，则AB＝（）A．3 B． C．4 D．【分析】先根据以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标之间的关系得到相似比为2：1，然后根据相似多边形的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，而B′（2，0），B（4，0），∴相似比为2：1，∴AB：A′B′＝2：1，∴AB＝2A′B′＝22．故选：B．【点评】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形性质．7．（3分）随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用AI辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用AI辅助学习时间的描述，错误的是（）A．众数是127分钟 B．平均数是133分钟 C．中位数是132分钟 D．总时间是1064分钟【分析】分别根据众数、平均数和中位数的定义解答即可．【解答】解：由统计图可知，小凯这八周使用AI辅助学习时间的众数是132分钟，故选项A描述错误，符合题意；总时间是：123+2×127+3×132+139+152＝1064（分钟），故选项D描述正确，不符合题意；平均数是：1064÷8＝133（分钟），故选项B描述正确，不符合题意；中位数是132分钟，故选项C描述正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查折线统计图，中位数，众数和平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝（）A．95° B．100° C．105° D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BDC，∠DBC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DCB，再根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝70°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BPC＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形肉角和定理是解题的关键．9．（3分）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元一次方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，∴x+y＝3.4；∵苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元，∴x＝2y﹣0.4．∴根据题意可列出方程组．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点M从点O出发，沿OC→CD匀速运动至点D时停止．设点M的运动路程为x，AM的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是（）A． B．6 C． D．【分析】依据题意，由图2可知，当x＝0时，y＝3，对应点M在O点，此时AM＝AO＝3，结合菱形对角线互相平分，则AC＝2AO＝6，又点M运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3，从而CD＝6，即菱形边长为6，又，当AM⊥CD时，利用菱形面积公式：菱形面积AC×BD＝CD×AM，结合BD＝2OD＝6，可得6×66AM，进而计算可以得解．【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝3，对应点M在O点，此时AM＝AO＝3．∵菱形对角线互相平分，∴AC＝2AO＝6．点M运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3，∴CD＝6，即菱形边长为6．在Rt△COD中，OC＝3，CD＝6，由勾股定理：，当AM⊥CD时，利用菱形面积公式：菱形面积AC×BD＝CD×AM，∵BD＝2OD＝6，∴6×66AM，∴AM＝3．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：5a2b+10ab2＝5ab（a+2b）．【分析】将原式提取公因式5ab即可．【解答】解：原式＝5ab（a+2b），故答案为：5ab（a+2b）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．12．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可以是2（答案不唯一）．（请写出一个符合条件的值即可）【分析】根据二次根式及分式有意义的条件确定x的取值范围，然后写出一个符合题意的x的值即可．【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0，那么x可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．13．（3分）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是6．【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2+2m﹣3＝0，进而可得出m2+2m＝3，再将其代入原式＝2（m2+2m）中，即可求出结论．【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+2m﹣3＝0，∴m2+2m＝3，∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．14．（3分）如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′．若∠CEB′＝60°，AB＝3cm，则点B′到AD的距离等于1.5cm．【分析】过点B'作B'F⊥AD交AD于点F，根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解题即可．【解答】解：如图，过点B'作B'F⊥AD交AD于点F，由折叠的性质知，∠BEA＝∠B'EA，AB＝AB'＝3cm，∠B'AE＝∠BAE，∵∠CEB'＝60°，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠BEA＝90°﹣60°＝30°，∴∠B'AE＝30°，∴∠B'AF＝90°﹣∠BAE﹣∠B'AE＝90°﹣2×30°＝30°，∴，故答案为：1.5．【点评】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．15．（3分）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将⊙O的面积转化为Rt△ODC的面积，其中S扇形AOB＝S△OMN．在Rt△ODC中，CD等于⊙O周长，OD等于⊙O半径，若CD＝4π，MNπ，则扇形AOB的圆心角等于20度．【分析】设圆的半径是r，扇形AOB的圆心角等于n度，由圆周长公式求出r＝2，求出△OMN的面积MN•ODπ，由扇形AOB的面积π，求出n＝20，即可得到扇形AOB的圆心角的度数．【解答】解：设圆的半径是r，扇形AOB的圆心角等于n度，∴2πr＝4π，∴r＝2，∵OD⊥DC，∴△OMN的面积MN•ODπ×2π，∵扇形AOB的面积π，∴n＝20，∴扇形AOB的圆心角等于20度．故答案为：20．【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，关键是掌握扇形的面积公式．16．（3分）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流不能击中昆虫．（填“能”或“不能”）【分析】依据题意，把x＝20代入解析式：，结合昆虫纵坐标为50，40≠50，从而可以判断得解．【解答】解：由题意，把x＝20代入解析式：，∵昆虫纵坐标为50，40≠50，∴不能击中．故答案为：不能．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．三、解答题：本大题共6小题，共32分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（4分）计算：．【分析】先算乘法，再算加法即可．【解答】解：原式＝23＝5．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．18．（4分）解不等式组：．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式7x﹣4＞5x得，x＞2，解不等式得，x＜5，所以不等式组的解集为2＜x＜5．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．（4分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣（a﹣2）（4a+3），其中a＝﹣1．【分析】利用完全平方公式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号，合并同类项，最后把已知数值代入计算即可．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣（4a2+3a﹣8a﹣6）＝4a2+4a+1﹣4a2﹣3a+8a+6＝9a+7；当a＝﹣1时，原式＝﹣9+7＝﹣2．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（6分）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形．（1）请判断图1是中心对称图形；（填“轴对称”或“中心对称”）（2）图2是从图1选取的部分图案，其中△A′B′C′看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可；（2）连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交于点O，点O即为所求．【解答】解：（1）图1是中心对称图形．故答案为：中心对称；（2）如图2中，点O即为所求．【点评】本题考查作图﹣利用性质设计图案，全等三角形的应用，正多边形与圆，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握相关知识解决问题．21．（6分）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是；（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．【分析】（1）根据题意，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上的实数之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，故，故答案为：；（2）列表如下：第一次第二次﹣3﹣226﹣3﹣6﹣5﹣13﹣2﹣5﹣4042﹣1048634812∵共有16种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6种，∴P（抽取的两张卡片上实数之和为负数）．【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，实数的运算，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．22．（8分）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）．参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30．【分析】通过设未知数，利用两个直角三角形的正切关系表示出相关线段长度，再结合塔的高度建立方程求解．【解答】解：设观测点A到塔CD的水平距离AB＝x米．因为CD⊥AB，所以△CAB和△DAB都是直角三角形．在Rt△CAB中，根据正切函数的定义，tan∠，已知tan16.73°≈0.30，因此CB＝AB•tan16.73°≈0.30x．在Rt△DAB中，同理可得tan∠DAB，已知tan14.01°≈0.25，因此DB＝AB•tan14.01°≈0.25x，观察图形可知CB﹣DB＝CD，已知CD＝17米，代入上面的表达式可得：0.30x﹣0.25x＝17，合并同类项得：0.05x＝17，解得：．答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米．【点评】题目考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题的关键在于相关知识的灵活运用．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。23．（7分）为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有360名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50名学生的成绩作为样本数据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：频数、频率分布表组别成绩x（分）频数频率A60≤x＜7070.14B70≤x＜8015nC80≤x＜90m0.36D90≤x≤100100.2根据所给信息，解答下列问题：（1）m＝18，n＝0.3；（2）补全频数分布直方图；（3）这50名学生成绩的中位数会落在C组；（填组别）（4）若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；（2）根据所求m的值即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）用样本估计总体计算即可．【解答】解：（1）m＝50×0.36＝18，n＝15÷50＝0.3，故答案为：18，0.3；（2）补全频数分布直方图如下：；（3）将这50个数据从小到大排列，第25、26位的两个数都在80≤x＜90组，因此中位数在C组，故答案为：C；（4）这360名复赛学生中获得一等奖的人数为360×0.2＝72（人），故估计360名复赛学生中获得一等奖的人数为72人．【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及概率公式；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．24．（7分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，BC．（1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y（k≠0）的表达式；（2）求四边形BDAC的面积．【分析】（1）依据题意，由点A（2，3）在一次函数y＝3x+b的图象上，则3×2+b＝3，求出b后可得一次函数的表达式为y＝3x﹣3，又点A（2，3）在反比例函数的图象上，则k＝2×3＝6，从而求出反比例函数的解析式；（2）依据题意，由点B（﹣3，m）在反比例函数的图象上，则m＝﹣2，可得点B（﹣3，﹣2），又BD⊥x轴于点D，故DO＝3，BD＝2，又一次函数y＝3x﹣3与x轴交于点C，则点C（1，0），故OC＝1，DC＝3+1＝4，进而，又过点A作AE⊥x轴于点E，则EA＝3，故，最后可得S四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10，即可得解．【解答】解：（1）由题意，∵点A（2，3）在一次函数y＝3x+b的图象上，∴3×2+b＝3，∴b＝﹣3，∴一次函数的表达式为y＝3x﹣3，∵点A（2，3）在反比例函数的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的表达式为；（2）由题意，∵点B（﹣3，m）在反比例函数的图象上，∴m＝﹣2，∴点B（﹣3，﹣2）．∵BD⊥x轴于点D，∴DO＝3，BD＝2．∵一次函数y＝3x﹣3与x轴交于点C，∴点C（1，0），∴OC＝1，∴DC＝3+1＝4，∴．过点A作AE⊥x轴于点E，则EA＝3，∴，∴S四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，点E在AB的延长线上，CB平分∠ECD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当AD＝8，sin∠BCE时，①填空：tan∠BCE的值等于；②求BC的长．【分析】（1）连接OC，由CD⊥AB于点D，得∠CDB＝90°，因为CB平分∠ECD，所以∠BCE＝∠BCD，由OC＝OB，得∠OCB＝∠OBC，则∠OCE＝∠BCE+∠OCB＝∠BCD+∠OBC＝90°，即可证明CE是⊙O的切线．（2）①连接AC，则∠ACB＝∠ADC＝90°，由∠BCE+∠OCB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，且∠OCB＝∠ABC，推导出∠BCE＝∠A，则sinA＝sin∠BCE，所以ACCD，由AD2CD＝8，求得CD＝4，则tan∠BCE＝tanA，于是得到问题的答案．②由tanA，且ACCD＝4，求得BCAC＝2．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，∵CB平分∠ECD，∴∠BCE＝∠BCD，∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∴OC、OB都是⊙O的半径，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCE＝∠BCE+∠OCB＝∠BCD+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线．（2）解：①连接AC，∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠BCE+∠OCB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，且∠OCB＝∠ABC，∴∠BCE＝∠A，∴sinA＝sin∠BCE，∴ACCD，∵AD2CD＝8，∴CD＝4，∴tan∠BCE＝tanA，故答案为：．②∵tanA，且ACCD4＝4，∴BCAC42，∴BC的长是2．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质、等角的余角相等、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．26．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．【初步尝试】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BQ∥AC，BQ＝2，连接AQ．点P在线段AB上，满足∠BPC＝∠CAQ，求AP的长．【类比探究】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP＝BQ．当∠BPC＝∠BCD时，用等式表示出CD和QE的数量关系，并说明理由．【拓展迁移】（3）如图3，在矩形AEBD中，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP＝BQ．当∠EAQ∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质得到∠PAC＝∠QBA，由∠BPC＝∠CAQ得到∠PCA＝∠QAB，从而证明△PAC≌△QBA（ASA），根据全等三角形的性质即可解答；（2）连接AQ．证明△PAC≌△QBA（SAS），得到∠CPA＝∠AQB，因此∠BPC＝∠AQE，从而∠BCD＝∠AQE，进而证明△BDC≌△AEQ（AAS），即可得出CD＝QE；（3）延长AD至点F，使得AF＝AB，连接BF，PF．由等边对等角得到∠DFB＝∠ABF＝（180°﹣∠DAP）＝90°﹣∠DAP＝∠EQA，由△DFB≌△EQA（AAS）得到FD＝QE，根据线段的和差得出AP+BP＝AD+QE，根据矩形的性质有AD＝BE，因此AP+BP＝BQ+2QE，从而可得BP＝2QE．【解答】解：（1）∵BQ∥AC，∴∠PAC＝∠QBA，∵∠BPC＝∠CAQ，∴∠PAC+∠PCA＝∠PAC+∠QAB，∴∠PCA＝∠QAB，∵∠PAC＝∠QBA，AC＝BA，∠PCA＝∠QAB，∴△PAC≌△QBA（ASA），∴AP＝BQ＝2；（2）CD＝QE，理由如下：∵四边形AEBD为矩形，∴BE∥AD，∴∠PAC＝∠QBA，∵AC＝BA，∠PAC＝∠QBA，AP＝BQ，∴△PAC≌△QBA（SAS），∴∠CPA＝∠AQB，∴180°﹣∠CPA＝180°﹣∠AQB，即∠BPC＝∠AQE，∵∠BPC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠AQE，∵四边形AEBD为矩形，∴BD＝AE，∠BDC＝∠BDA＝∠AEQ＝90°，∴△BDC≌△AEQ（AAS），∴CD＝QE；（3）BP＝2QE，理由如下：如图，延长AD至点F，使得AF＝AB，连接BF