2026年四川省泸州市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列四个数中，是整数的是（）A．2026 B． C． D．2.0262．（4分）据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（）A．1.29×106 B．12.9×107 C．1.29×107 D．1.29×1083．（4分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（）A． B． C． D．4．（4分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2 B．（a3）2＝a5 C．2a6÷a2＝2a3 D．a2•a4＝a65．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°6．（4分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC⊥BD C．AC⊥BD，AC＝BD D．OA＝OC，OB＝OD7．（4分）不等式组的所有整数解的和为（）A．3 B．5 C．7 D．98．（4分）若方程的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（）A． B． C． D．29．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（）A．45° B．55° C．60° D．65°10．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（）A． B． C． D．11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则的值为（）A． B． C． D．12．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论：①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）分解因式：x2﹣1＝．14．（4分）函数y自变量x的取值范围是．15．（4分）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为．16．（4分）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是．17．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为．三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）18．（8分）计算：．19．（8分）化简：．四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）20．（10分）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：运动员平均数中位数众数甲mn8乙7.37.5t（1）m＝，n＝；（2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值；（3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？21．（10分）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元．（1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？（2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？22．（10分）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）23．（12分）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．（1）求该轮船的航行速度；（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC．（1）求证：∠CAD＝∠BCD；（2）若AE∥CD，BD＝3，，求EF的长．25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+1．（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1对称，求二次函数的解析式；（2）当时，该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积；（3）当b＝1时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在0≤x≤1上的最大值m的取值范围．

2026年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列四个数中，是整数的是（）A．2026 B． C． D．2.026【分析】先判断各个选项中的数是哪种实数，再判断是不是整数即可．【解答】解：∵2026不是平方数，∴不是整数，∵是分数，2.026是小数，2026是整数，∴B，C，D选项不符合题意，A选项符合题意，故选：A．【点评】本题主要考查了实数，解题关键是熟练掌握实数的有关定义．2．（4分）据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（）A．1.29×106 B．12.9×107 C．1.29×107 D．1.29×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：12900000＝1.29×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（）A． B． C． D．【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．【解答】解：A．该图形左视图是正方形，故此选项不符合题意；B．该图形左视图是三角形，故此选项符合题意；C．该图形左视图是矩形，故此选项不符合题意；D．该图形左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．（4分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2 B．（a3）2＝a5 C．2a6÷a2＝2a3 D．a2•a4＝a6【分析】利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，单项式除以单项式法则逐项判断即可．【解答】解：2a+3a＝5a，则A不符合题意，（a3）2＝a6，则B不符合题意，2a6÷a2＝2a4，则C不符合题意，a2•a4＝a6，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠ACB，然后利用AB⊥BC得到∠CBA＝90°，最后利用角的和差关系求解∠CAB的度数，再由邻补角和角平分线的性质可得答案．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝40°，∴∠ACB＝40°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∴∠2（180°﹣∠CAB）（180°﹣50°）＝65°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠ACB的度数．6．（4分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC⊥BD C．AC⊥BD，AC＝BD D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的性质得OA＝OCAC，OB＝ODBD，则选项D一定成立，符合题意，由于平行四边形的对角线不一定相等，因此选项A不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角线不一定垂直，因此选项B不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，因此选项C不一定成立，不符合题意．综上所述即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，故选项D一定成立，符合题意；对于选项A，∵平行四边形的对角线不一定相等，∴OA＝OB＝OC＝OD不一定成立，故选项A不符合题意；对于选项B，∵平行四边形的对角线不一定垂直，∴AC⊥BD不一定成立，故选项B不符合题意；对于选项C，∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，∴AC⊥BD，AC＝BD不一定成立，故选项C不符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．7．（4分）不等式组的所有整数解的和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】解各不等式求得对应的解集后求得它们的公共部分，然后确定其所有整数解，最后把它们相加并计算即可．【解答】解：解第一个不等式得x＞2，解第二个不等式得x＜4.5，故原不等式组的解集为2＜x＜4.5，其整数解为3，4，则3+4＝7，故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．8．（4分）若方程的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（）A． B． C． D．2【分析】将分式方程去分母后化为整式方程，解得x的值并检验后代入ax＝1﹣x中，解得a的值即可．【解答】解：将分式方程去分母得：2x﹣2＝x，解得：x＝2，经检验，x＝2是分式方程的解，∵方程的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，∴2a＝1﹣2，解得：a，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．9．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（）A．45° B．55° C．60° D．65°【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ACD＝∠ABD＝40°，再利用三角形内角和定理可得：∠CAE＝75°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC＝15°，最后进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∵∠AEC＝65°，∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠ACD＝75°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝15°，∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝55°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．10．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（）A． B． C． D．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果．【解答】解：设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝2，由勾股定理得：，∵三角形的面积，∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根与系数的关系，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则的值为（）A． B． C． D．【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．【解答】解：由题知，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC，∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C，∴△ABC∽△BDC，∴．又∵AD＝BD，∴．令AC＝k，则k（k﹣AD）＝AD2，解得AD（舍负），∴，∴（）2．故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义及相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论：①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据“倒数点”定义，若（x，y）为倒数点，则满足xy＝1（x≠0），即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可．【解答】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即，①联立，则，整理得3x2＝1，解得，∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确；②联立，∵y＝|x﹣1|≥0，∴x＞0，当x≥1时，，整理得x2﹣x﹣1＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0，解得，，正根x，存在解，∴图象上存在倒数点，故②错误；③联立，∴，画出函数和y＝2x2+1图象的草图如图所示：∴由图象知：函数和y＝2x2+1图象有唯一的交点，∴有唯一的解，∴存在1个倒数点，故③正确；④联立，整理得kx2+2x﹣1＝0，当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得，y＝2，满足，是倒数点，此时k＝0＞﹣1，故④错误；综上，正确的结论共2个，故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）分解因式：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．14．（4分）函数y自变量x的取值范围是x≥5．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．15．（4分）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为12．【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD＝6，再根据三角形中位线定理得到EH＝GFBD6＝3，EF＝GHAC6＝3，最后求出中点四边形的周长即可．【解答】解：已知矩形的对角线长为6，如图，∴AC＝BD＝6，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，∴EH＝GFBD6＝3，EF＝GHAC6＝3，∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，解答本题的关键要明确：三角形的中位线等于第三边的一半．16．（4分）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数为4，所以抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．17．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为．．【分析】根据正方形性质证明△ADE≌△BAF，得出AF⊥DE，等积法求出AM的长，勾股定理求出DM的长，证明△AND∽△FNB，推出，连接BG，易得四边形DEBG为平行四边形，得到BG∥DE，，证明△DMP∽△BGP，推出，进而得到，勾股定理求出BD的长，即可得出结果．【解答】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2，在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF，∴∠ADE+∠DAF＝90°∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE，在Rt△ADE中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF，∴△AND∽△FNB，∴，∴，连接BG，∵AB∥CD，BE＝DG＝2，∴四边形DEBG为平行四边形，∴BG∥DE，，∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB，∴△DMP∽△BGP，∴，∴，∴，在Rt△ABD中，，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）18．（8分）计算：．【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝41＝21＝3．【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．19．（8分）化简：．【分析】先把卡号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．【解答】解：原式••＝c+1．【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）20．（10分）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：运动员平均数中位数众数甲mn8乙7.37.5t（1）m＝7.4，n＝7.5；（2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值；（3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？【分析】（1）根据平均数与中位数的含义求解即可；（2）根据平均数的含义建立方程求解第三次的成绩，再根据众数的含义求解t；（3）根据样本估计总体的思想求解即可．【解答】解：（1）根据题意可得：（环），∵第5个，第6个数据为7，8，∴（环），故答案为：7.4，7.5；（2）设第三次成绩为x，∴乙的成绩为4，6，x，8，9，7，7，9，8，9，∴，解得x＝6，∴乙的设第三次成绩为6环，∵9出现的次数最多，为3次，∴t＝9（环）；（3）∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有5次，∴（次），∴甲运动员射击80次的优秀次数为40次．【点评】本题主要考查了折线统计图，用样本估计总体，条形统计图，中位数，众数，掌握其相关知识点是解题的关键．21．（10分）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元．（1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？（2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？【分析】（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元，根据“购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为27m元，选择乙超市所需费用为（24m+36）元，分27m＜24m+36，27m＝24m+36及27m＞24m+36三种情况，可求出m的取值范围或m的值，进而可得出结论．【解答】解：（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元，根据题意得：，解得：．答：购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元；（2）180÷30＝6（份）．当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为30×0.9m＝27m元，选择乙超市所需费用为180+0.8×30（m﹣6）＝（24m+36）元，若27m＜24m+36，则m＜12，∴当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；若27m＝24m+36，则m＝12，∴当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；若27m＞24m+36，则m＞12，∴当m＞12时，应选择乙超市购买．答：当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式分别表示出选择甲、乙两家超市购买所需费用．22．（10分）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．【分析】（1）依据题意，由一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，则当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6，从而A（4，6），将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，进而可以得解；（2）依据题意，过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，从而BE∥CF，可得△DCF∽△DBE，故，由点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，可得BE＝4，故CF＝3，则C（3，8），设OD＝x，从而DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，故3（10﹣x）＝4（8﹣x），进而计算可以得解．【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，∴当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6．∴A（4，6）．将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，∴反比例函数的解析式为y；（2）过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴．∵点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，∴B（4，10），则BE＝4，∴CF＝3，∴C（3，8）．设OD＝x，∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）．∴x＝2．∴D（0，2）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）23．（12分）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．（1）求该轮船的航行速度；（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．【分析】（1）易得△ABC为顶角为120度的等腰三角形，△BCE为直角三角形，作AF⊥BC，三线合一结合勾股定理求出BC的长，勾股定理求出BE的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；（2）作DH⊥CE于点H，设CD＝2xnmile，则DE＝4xnmile，分别解Rt△CHD和Rt△EHD即可．【解答】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20nmile，CE＝60nmile，∠BAC＝90°+30°＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°，作AF⊥BC于点F，则BC＝2BF，在Rt△ABF中，nmile，nmile，在Rt△ECB中，由勾股定理，得nmile，故该轮船的航行速度为，答：该轮船的航行速度为；（2）作DH⊥CE于点H，∵点D到E的距离是D到C的距离的2倍，∴设CD＝2xnmile，则DE＝4xnmile，在Rt△CDH中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴CH＝CD•cos60°＝xnmile，nmile，∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x）nmile，在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2，∴，解得5或（舍去）；）nmile；故点D，E间的距离为．【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC．（1）求证：∠CAD＝∠BCD；（2）若AE∥CD，BD＝3，，求EF的长．【分析】（1）连结OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用同角的余角相等得到∠BCD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠CAD得到∠CAD＝∠BCD；（2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，利用正弦的定义得到sinD，则设OC＝2x，OD＝3x，则3x＝2x+3，解得x＝3，再利用勾股定理得到CD＝3，利用面积法得到CH＝2，再次利用勾股定理计算出DH＝5，所以BH＝2，接着证明△FCB∽△FDC，利用相似比得到FC2＝FB•FD，即FC2＝（FH+2）（FH+5），由于FC2＝FH2+CH2＝FH2+（2）2，所以（FH+2）（FH+5）＝FH2+（2）2，则可求出FH，所以DF，AF，于是利用勾股定理可计算出CF，然后证明△AEF∽△DCF，从而利用相似比可求出EF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°，∴∠BCD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BCD；（2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图，在Rt△OCD中，∵sinD，∴设OC＝2x，OD＝3x，∵OD＝OB+BD，∴3x＝2x+3，解得x＝3，∴OC＝6，OD＝9，∴CD3，∵CH•ODOC•CD，∴CH2，∴DH5，∴BH＝DH﹣BD＝5﹣3＝2，∵AE∥CD，∴∠E＝∠DCE，∵∠E＝∠ABC，∴∠DCE＝∠ABC，∵∠CFB＝∠DFC，∴△FCB∽△FDC，∴FC：FD＝F