总体集中趋势的估计高一下学期数学人教A版必修二

9.2用样本估计总体第九章

统计9.2.3总体集中趋势的估计复习引入1.第p百分位数的定义是什么？2.频率分布直方图估计百分位数的原理是什么？3.众数、中位数、平均数的意义分别是什么？4.根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据的频率分别直方图9.2-1，如何估计众数、中位数、平均数？1.第p百分位数的定义是什么？至少p%数据≤该值，至少(100−p)%数据≥该值.2.频率分布直方图估计百分位数的原理是什么？利用频率分布直方图的矩形面积（频率）累加，通过线性插值找到累计频率为p%的对应值来估计百分位数.3.众数、中位数、平均数的意义分别是什么？众数：一组数据中出现次数最多的数，反映数据中最普

遍的情况，对极端值不敏感.中位数：将数据从小到大排列后，处于中间位置的数，只与中间位置的数据有关，对极端值不敏感.平均数：所有数据的算术平均值，与每一个数据都有关，对极端值敏感.

4.根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据的频率分别直方图9.2-1，如何估计众数、中位数、平均数？

请同学们阅读教材.在上述案例计算中，如何提炼求众数、中位数、平均数的一般原理？教材导学

1.平均数、中位数、众数，三者的关系与分布形态如何？2.

在频率分布直方图中如何估计平均数、中位数、众数？1.

平均数、中位数、众数，三者的关系与分布形态如何？（1）对称分布：平均数≈中位数.（2）右偏分布（数据右尾长）：平均数>中位数.（3）左偏分布（数据左尾长）：平均数<中位数.

2.

在频率分布直方图中如何估计平均数、中位数、众数？众数：最高矩形底边中点数值；中位数：左右面积各0.5，锁定区间后线性插值；

（频率分布直方图上所有矩形面积平分线的横坐标）平均数：各组组中值×对应矩形面积，累加求和.拓展探究1.小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？2.

为什么说众数更适合描述分类数据的集中趋势？3.假如你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，我们企业员工的年平均收入是20万，你该如何理解这句话？4.在频率分布直方图中估计平均数、中位数的前提假设是什么？这种估计方法可能存在哪些误差？1.

小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？（1）平均数有所变化；样本的平均数与每个数据有关，样本中的每一个数据的变化都能引起平均数的变化；（2）中位数只与样本数据中间位置的一个或两个值有关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.2.为什么说众数更适合描述分类数据的集中趋势？众数是一组数据中出现次数最多的数值.分类数据（如颜色、职业、性别等非数值型数据）无法计算平均数和中位数（既不能求和也无法排序取中间值），但可以统计各类别出现的频次，出现次数最多的类别就是众数，能直接反映分类数据最普遍的情况，所以众数更适合描述分类数据的集中趋势.3.

假如你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，我们企业员工的年平均收入是20万，你该如何理解这句话？这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况.例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低（如大多数是5万元左右），而少数员工的年收入很高，甚至达到100万元，在这种情况下年收入的平均数就比中位数大得多.尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数.所以，我们要强调“用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，这就需要掌握更多的统计知识和方法.4.在频率分布直方图中估计平均数、中位数的前提假设是什么？这种估计方法可能存在哪些误差？前提假设是组内数据均匀分布.误差来源包括:①组内分布假设偏差；②分组丢失细节；③极端值影响被弱化.1.

一组数据的众数是唯一的吗？不一定.一组数据中，出现次数最多的数可能有多个.例如：数据

1,2,2,3,3,4

中，2和3都出现了2次且次数最多，这组数据就有两个众数：2和3.巩固应用不一定.频率分布直方图是对数据的分组近似，计算时假设每组内的数据均匀分布，这是一种估计值；而原始数据的中位数是根据真实数据计算得到的精确值，两者可能存在差异.2.频率分布直方图估计的中位数一定和原始数据的中位数完全一致吗？3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）求这次测试数学成绩的众数;（2）求这次测试数学成绩的中位数.（3）求这次测试数学成绩的平均分.解：（1）如图，众数在最高矩形底边中点数值；即（70，80）的中点处，

（2）中位数为频率分布直方图上所有矩形面积平分线的横坐标∵0.005×10=0.05，0.015×10=0.15，0.02×10=0.2，0.03×10=0.3∴中位数落在区间[70,80)内，设中位数是x，则0.05+0.15+0.2+(x-70)·0.03=0.5解得，x≈73.3∴中位数约为73.3（3）平均数为各组组中值×对应矩形面积，累加求和.∴平均数=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72.小结1.

知识总结（1）三个统计量：平均数、中位数、众数的定义与特点.（2）