初升高中数学暑假衔接材料：第07讲自由落体运动（培优讲义）（解析版）

2/14第07讲自由落体运动（培优讲义）课标要点课标要点1.理解自由落体运动的概念，掌握其基本特征和条件。2.掌握自由落体运动的规律，理解重力加速度的意义。3.掌握自由落体运动的速度公式和位移公式，能够灵活应用。4.理解竖直上抛运动的特点，掌握其运动规律。5.学会运用自由落体运动规律解决实际问题。1.通过概念辨析，理解自由落体运动的本质特征。2.通过公式推导，掌握自由落体运动的基本规律。3.通过实验探究，验证自由落体运动的规律。4.通过例题训练，掌握解题思路和方法。5.通过对比分析，理解自由落体运动与竖直上抛运动的联系与区别。方法指导考点01自由落体运动的基本概念知识点梳理要点内容定义物体只在重力作用下从静止开始下落的运动条件①只受重力作用；②初速度为零特征①初速度为零；②加速度恒定（重力加速度）；③轨迹为直线重力加速度大小：通常取9.8m/s²或10m/s²；方向：竖直向下；影响因素：纬度、高度运动性质初速度为零的匀加速直线运动【深化点拨】自由落体运动的条件：自由落体运动必须满足两个条件：①物体只受重力作用（忽略空气阻力）；②物体从静止开始下落（初速度为零）。重力加速度的特点：重力加速度的方向总是竖直向下重力加速度的大小随纬度增加而增大（赤道最小，两极最大）重力加速度的大小随高度增加而减小在同一地点，所有物体的重力加速度相同自由落体运动的实质：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动的特例，其加速度为重力加速度。空气阻力的影响：在实际情况下，空气阻力会影响物体的下落，但在高中物理中通常忽略空气阻力，将物体的下落近似为自由落体运动。1．（24-25高一上·广西崇左·期末）某棵苹果树上的苹果从离水平地面高5m处由静止下落，不计空气阻力和其他枝叶对苹果的影响，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（）A．苹果在空中运动时，相同时间内的速度变化量不同B．苹果在空中的运动时间为1.2sC．苹果着地前瞬间速度大小为10m/sD．苹果着地前0.5s内运动的位移大小为1.25m【答案】C【详解】A．苹果在空中运动时，相同时间内的速度变化量为：，可知相同时间内的速度变化量不变，故A错误；B．由，可得苹果在空中的运动时间为故B错误；C．苹果着地前瞬间速度大小为故C正确；D．苹果着地前0.5s内运动的位移大小为故D错误。故选C。2．（25-26高一下·云南昆明·期中）一个物体从离地某一高度开始做自由落体运动，该物体第1s内的位移恰好是最后1s内的位移的，已知重力加速度大小为10m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为（）A．45m B．50m C．60m D．75m【答案】A【详解】物体做自由落体运动，第1s内的位移为由题意可知最后1s内的位移，设物体下落时间为，则有解得则物体开始下落时距落地点的高度为故选A。考点02自由落体运动的规律知识点梳理1.1基本公式公式表达式说明速度公式v=gt速度与时间成正比位移公式h=(1/2)gt²位移与时间的平方成正比速度位移关系v²=2gh不含时间的关系式平均速度v平=(v₀+v)/2=v/2初速度为零的特例1.2比例关系（自由落体运动）1T末、2T末、3T末...的速度之比：v₁:v₂:v₃:...=1:2:3:...1T内、2T内、3T内...的位移之比：h₁:h₂:h₃:...=1:4:9:...第1个T内、第2个T内、第3个T内...的位移之比：hⅠ:hⅡ:hⅢ:...=1:3:5:...通过连续相等位移的时间之比：t₁:t₂:t₃:...=1:(2-1):(3-2):...1.3重要推论第n秒内的位移：hₙ=(1/2)g(2n-1)连续相等时间间隔内的位移差：Δh=gT²中间时刻的速度：v平=v/2=gt/2【深化点拨】2.1公式的推导速度公式：由加速度定义推导，a=Δv/Δt=g，v=gt位移公式：由v-t图像面积推导，h=(1/2)gt²速度位移关系：由速度公式和位移公式消去时间得到，v²=2gh2.2解题步骤①确定研究对象和运动过程②建立坐标系，规定正方向（通常取竖直向下为正方向）③分析已知条件，确定已知量和未知量④选择合适的公式列方程⑤求解并讨论结果的物理意义2.3注意事项单位统一：使用国际单位制，时间单位为秒（s），位移单位为米（m），速度单位为米/秒（m/s），加速度单位为米/秒²（m/s²）重力加速度的取值：通常取9.8m/s²或10m/s²，题目没有特别说明时，可取10m/s²简化计算空气阻力：在高中物理中通常忽略空气阻力3．（25-26高一下·北京西城·期中）一小球从楼顶自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2。下列说法正确的是（）A．第3s末小球的速度为20m/s B．前3s内小球的平均速度为20m/sC．第3s内小球的位移为45m D．前3s内小球的位移为45m【答案】D【详解】A．自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，第3s末小球的速度为，故A错误；BD．前3s内小球的位移为平均速度，故B错误，D正确；C．前2s内小球的位移为第3s内的位移为，故C错误。故选D。4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）小郑同学为了估测某品牌照相机的曝光时间，让一块石子从砖墙前高处自由下落，同时小王同学用该品牌照相机拍摄石子在空中的照片，如图所示，由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹，已知每块砖的平均厚度为5cm，若想要估算该品牌照相机拍这张照片的曝光时间，则还需要测量的一个物理量为（

）A．石子的质量B．照片中石子的径迹长度C．石子释放时距地面的实际高度D．每块砖的长度【答案】C【详解】设曝光时间为，从开始下落到A点的高度为h，时间为t，则从开始下落到B点可知或者可知想要估算该品牌照相机拍这张照片的曝光时间，则还需要测量的一个物理量为石子释放时距地面的实际高度H=h+8d，由此求h,即可得曝光时间。故选C。5．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）如图所示，甲的质量是乙质量的3倍，两物体同时从离地高度为2H和H的位置自由下落，不计空气阻力，下列说法正确的是（

）A．甲落地时的速率是乙落地时速率的倍B．甲下落的时间是乙下落时间的2倍C．乙落地之前，两者之间的距离逐渐增大D．乙落地之前，两者之间的距离逐渐减小【答案】A【详解】AB．甲、乙做自由落体运动，甲、乙落地时间分别为、，根据位移-时间公式得所以，故正确，B错误；CD．乙落地之前，甲、乙运动时间一致，根据位移-时间公式可得甲、乙下落的距离一致，下落过程甲、乙的距离保持不变，距离为，故C错误，D错误。故选A。考点03竖直上抛运动知识点梳理1.1竖直上抛运动的特点定义：物体以一定的初速度竖直向上抛出，在重力作用下的运动运动性质：匀变速直线运动（加速度为重力加速度）对称性：上升过程和下降过程具有对称性最高点：速度为零，加速度仍为g1.2基本公式公式表达式说明速度公式v=v₀-gt向上为正方向位移公式h=v₀t-(1/2)gt²向上为正方向速度位移关系v²-v₀²=-2gh不含时间的关系式1.3重要结论上升时间：t上=v₀/g下降时间：t下=v₀/g总时间：t总=2v₀/g最大高度：H=v₀²/(2g)对称性：上升过程和下降过程的时间相等、位移大小相等、速度大小相等【深化点拨】2.1解题方法分段法：将竖直上抛运动分为上升阶段和下降阶段分别处理上升阶段：匀减速直线运动，加速度为-g下降阶段：自由落体运动，初速度为零整体法：将竖直上抛运动作为整体处理，使用匀变速直线运动公式规定正方向（通常取竖直向上为正方向）加速度为-g位移可正可负（正表示在抛出点上方，负表示在抛出点下方）2.2对称性的应用速度对称：同一高度处，上升速度和下降速度大小相等，方向相反时间对称：上升到某高度的时间和从该高度下降到抛出点的时间相等能量对称：同一高度处，动能和势能之和相等2.3注意事项正方向的选择：通常取竖直向上为正方向，这样初速度为正，加速度为负最高点的特点：速度为零，但加速度仍为g（不是零）位移的正负：位移为正表示在抛出点上方，位移为负表示在抛出点下方6．（25-26高一下·云南昭通·期中）从同一高度同时以10m/s的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛。忽略空气阻力，重力加速度，则它们落地的时间差为（

）A．1s B．2s C．4s D．5s【答案】B【详解】做竖直上抛运动的小球当速度大小再次变为10m/s，方向竖直向下需要的时间为然后该小球做竖直下抛运动，与另一个做竖直下抛运动的小球到达地面时间相同，所以从同一高度同时以10m/s的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为2s。故选B。7．（25-26高一下·北京西城·期中）从高出地面15m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面。以竖直向上为正方向，以抛出点为原点建立坐标系，如图所示，则全过程中小球的位移和运动时间分别是（）A．-15m，3s B．-15m，2sC．15m，3s D．15m，2s【答案】A【详解】由图可知，物体的位移为x=-15m根据可得运动时间是故选A。自由落体的综合应用及解题步骤1.自由落体运动解题技巧"一定二选三计算"法①确定运动性质：判断是否为自由落体运动（初速度为零，只受重力）②选择正方向：通常取竖直向下为正方向③列方程计算：根据已知条件选择合适的公式列方程求解2.竖直上抛运动解题技巧"分段处理、整体分析"法①分段处理：将运动分为上升阶段和下降阶段②整体分析：将整个运动作为匀变速直线运动处理③对称性应用：利用上升和下降的对称性简化计算④正方向选择：通常取竖直向上为正方向3.比例关系应用技巧"初速为零"特例法①确认初速度为零②确认时间间隔相等③应用比例关系快速求解④注意比例关系的适用条件4.多过程问题处理技巧"找连接点、分段求解"法①找连接点：确定各段之间的连接条件（如速度相等、位置相同）②分段求解：将复杂运动分解为几个简单的运动过程③整体分析：必要时从整体角度分析问题④统一单位：确保所有物理量使用相同的单位制角度01自由落体运动的基本计算1.质量为0.5kg的足球以8m/s的速度水平飞来，运动员把它以12m/s的速度用脚反向踢回，作用时间为0.2s，运动员脚部受到足球的作用力大小约为（）A．2N B．10NC．20N D．50N【答案】D【解析】设足球踢回速度方向为正，根据动量定理可知Ft＝mv2－mv1，则F＝eq\f(mv2－mv1,t)＝eq\f(0.5×12－0.5×（－8）,0.2)N＝50N，故D正确，A、B、C错误。故选D。2.一质量为60kg的建筑工人不慎由静止从高空跌下，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起来。已知弹性安全带从开始伸直到拉伸到最长的缓冲时间是1.5s，安全带自然长度为5m，g取10m/s2，则安全带所受的平均冲力的大小为（）A．500N B．1100N C．600N D．1000N【答案】D【详解】设建筑工人下落5m时速度为v，则v==m/s=10m/s设安全带所受平均冲力大小为F，则由动量定理得（mg-F）t=-mv所以F=mg＋=60×10N＋N=1000N；所以D正确；ABC错误；故选D。角度02竖直上抛运动的综合应用1．（25-26高一上·四川广安·期末）在体育课上，小天同学用乒乓球拍练习垫球，乒乓球以某一速度离开球拍竖直向上运动，到达最高点又立即竖直落回到球拍，与球拍碰撞后重复前面的运动。取竖直向上为正方向，忽略空气的阻力，乒乓球可视为质点。则乒乓球在一次上下运动过程中的速度v随时间t变化的图像可能是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】乒乓球在空中只受重力作用，加速度为重力加速度，上升时做匀减速直线运动，下降时做匀加速直线运动，规定竖直向上为正方向，则速度先为正，后为负，根据图像的斜率表示加速度，可知乒乓球的图像为一条斜向下的直线。故选C。2．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）小明竖直向上弹离蹦床时的速度为，当地的重力加速度为g。小华描绘了小明在弹离蹦床后的运动过程中位移y、路程s、速度、加速度a随时间t变化的四个图像（以人弹离蹦床时的重心处为参考平面），不计空气阻力，下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】小明在弹离蹦床后做竖直上抛运动，初速度方向为正方向。A．由得根据对称性有由可判断图像为一条抛物线，且开口向下，故A正确；B．路程为物体实际运动轨迹的长度，单向直线运动时，路程与位移大小相等，所以上升阶段图像与相同，下落阶段路程随时间变化继续增大，故B错误；C．根据竖直上抛运动规律可知，上升过程为匀减速直线运动，时速度减为零；下落过程为自由落体运动，时速度为，故C正确；D．竖直上抛运动加速度为重力加速度，恒定不变，大小为g，方向始终竖直向下。图像应为平行于时间轴的一条直线，纵截距为，故D错误。故选AC。角度03自由落体运动的实验探究3．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）未来星际探索已经成为常态，在某新发现星球表面，宇航员利用图示装置探测该星球表面的重力加速度，铁架台竖直放置，其上端固定电磁铁K，通电后K能吸住铁质小球M，电磁铁正下方安装一个可上下调节位置的光电门A。已知小球直径为d、小球球心与光电门中心的高度差为H。断开电磁铁开关，小球立即自由下落，光电门可以记录小球挡光时间t，调节光电门位置，记录多组H、t数据。(1)小球经过光电门时的瞬时速度大小v=______（用已知物理量符号表示）。(2)应用多组H、t数据，绘制H-图像，得出的图像斜率为k，则该星球表面的重力加速度g=______（用d、k表示）。【答案】(1)(2)【详解】（1）小球经过光电门时的瞬时速度大小（2）根据自由落体运动规律可得所以根据题意可得所以4．（25-26高一下·新疆塔城·开学考试）某实验小组用图甲中装置研究自由落体运动的规律，实验使用频率为50Hz的交流电源。(1)打点计时器的周期T=__________s。(2)实验中重物应选下列两个物体中的。A．边长为3cm的实心铁块B．边长为3cm的空心塑料立方块(3)图乙中纸带__________（填“左”或“右”）端与重物相连。(4)按正确的操作步骤多次实验后，该同学得到一条点迹清晰纸带的部分如图乙所示，图中A、B、C、D、E、F、G为纸带上相邻的点。已知d1，d2，d3，d4，d5，d6，则在打E点时，重物下落的速度大小为__________，测出重物的加速度大小为___________。（用字母表示）(5)写出一条引起重力加速度的测量值小于真实值的原因：________________________________。【答案】(1)0.02(2)A(3)左(4)(5)存在一定的空气阻力和摩擦阻力【详解】（1）实验使用频率为50Hz的交流电源，则打点计时器的周期为（2）为了减小空气阻力的影响，实验中重物应选边长为3cm的实心铁块。故选A。（3）重物做加速运动，相同时间内通过的位移越来越大，则图乙中纸带左端与重物相连。（4）[1]在打E点时，重物下落的速度大小为[2]根据逐差法可得重物的加速度大小为（5）由于重物下落过程，存在一定的空气阻力和摩擦阻力，使得重力加速度的测量值小于真实值。1．（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1s后速度为故选B。2．（2023·广东·高考真题）铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度或加速度随时间变化的图像是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】AB．铯原子团仅在重力的作用，加速度g竖直向下，大小恒定，在图像中，斜率为加速度，故斜率不变，所以图像应该是一条倾斜的直线，故选项AB错误；CD．因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，选项D正确。故选D。3．（2024·贵州·高考真题）智能手机内置很多传感器，磁传感器是其中一种。现用智能手机内的磁传感器结合某应用软件，利用长直木条的自由落体运动测量重力加速度。主要步骤如下：（1）在长直木条内嵌入7片小磁铁，最下端小磁铁与其他小磁铁间的距离如图（a）所示。（2）开启磁传感器，让木条最下端的小磁铁靠近该磁传感器，然后让木条从静止开始沿竖直方向自由下落。（3）以木条释放瞬间为计时起点，记录下各小磁铁经过传感器的时刻，数据如下表所示：0.000.050.150.300.500.751.050.0000.1010.1750.2470.3190.3910.462（4）根据表中数据，在答题卡上补全图（b）中的数据点，并用平滑曲线绘制下落高度h随时间t变化的图线_____。（5）由绘制的图线可知，下落高度随时间的变化是_____（填“线性”或“非线性”）关系。（6）将表中数据利用计算机拟合出下落高度h与时间的平方的函数关系式为。据此函数可得重力加速度大小为_____。（结果保留3位有效数字）【答案】非线性【详解】（4）[1]由表中数据在图（b）中描点画图，如图所示。（5）[2]由绘制的图线可知，下落高度随时间的变化是非线性关系。（6）[3]如果长直木条做自由落体运动，则满足由可得解得1．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）随着科技的发展，我国将于2030年实现载人登月。假设宇航员在月球表面附近将一质量为0.1kg的小球由静止释放，释放瞬间用频闪周期为的频闪相机拍摄了小球下落的照片，照片与实际比例为，拍摄的照片如图所示，O、a、b、c、d为连续5次曝光时小球的位置，且O点为小球释放的位置，，，则下列说法正确的是（）A．月球表面的重力加速度大小为B．小球运动到a点时重力的瞬时功率为0.256WC．b、c间的实际距离为3.2mD．小球从O到d的平均速度大小为6.4m/s【答案】B【详解】A．根据可得月球表面的重力加速度大小为，A错误；B．小球运动到a点时重力的瞬时功率为，B正确；C．根据，可得b、c间的实际距离为，C错误；D．小球从O到d的平均速度大小为，D错误。故选B。2．（25-26高一上·北京西城·期中）某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取，则5s内物体的（）A．路程为45mB．位移大小为25m，方向向下C．速度改变量的大小为10m/sD．平均速度大小为5m/s，方向向上【答案】D【详解】A．上升到最高点的时间上升最大高度总时间，下落时间下落高度路程为上升高度加下落高度，即，故A错误；B．位移是从抛出点到末位置的有向线段，，末位置在抛出点上方，方向向上，故B错误；C．末速度速度改变量，大小为，故C错误；D．平均速度，位移方向向上，故平均速度方向向上，故D正确。故选D。3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图所示，某同学正在从1楼乘坐电梯去13楼，上升过程中他将手中的小球多次以相同的初速度（相对于电梯）竖直向上抛出（未撞击到天花板），每次小球均落回到手中（抛出点），抛出点相对于电梯的位置可认为不变。其中有三次分别在电梯匀加速、匀速和匀减速运动过程中抛出，小球这三次在空中运动的时间分别记作和，空气阻力忽略不计，小球每次抛出至落回抛出点的过程中电梯的运动规律不变，下列关系中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】以电梯为参考系，向上为正方向，分析小球相对电梯的加速度，结合运动学公式推导运动时间：设电梯加速度大小为a，小球初速度相对电梯恒为，落回抛出点时相对电梯位移为0。电梯匀加速上升（对应时间），实际小球相对电梯的加速度大小为由位移公式得解得同理可知，电梯匀速运动时电梯匀减速上升时，实际小球相对电梯的加速度大小为同理可得比较可知。故选A。4．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）嫦娥登月探测器平稳落月，中国首次地外天体软着陆成功。当它靠近月球后，先悬停在月球表面一定高度处，之后关闭发动机，以的加速度下落，经2s到达月面，下列说法正确的是（）A．悬停处距离月球表面高度为B．到达月面过程中探测器的平均速度为C．到达月面时探测器的速度为D．下落过程中通过前一半位移与后一半位移所用时间比为1：3【答案】A【详解】A．由初速度为0的匀加速位移公式代入数据得，故A正确；BC．匀变速直线运动的平均速度到达月面的末速度因此，故BC错误；D．设前一半位移用时为，有，解得后一半位移用时时间比，故D错误。故选A。5．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）在一竖直墙壁前、某同学将一可视为质点的小球竖直上抛，并同时用一架频闪照相机正对小球拍摄，1、2、3分别为上升过程中在连续相等时间间隔拍摄到的影像，如图所