2026年福建省高考考前最后一卷数学试题及答案

2026年高考考前最后一卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1热点）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，集合B={2,3,5}，则∁U(A∩B)=()A．{4}B．{2,5}C．{1,3,4}D．{1,2,3,5}2．已知复数Z满足(1+2i)Z=4+3i，则Z=()3．已知向量=1,0，b=2,3，=(1,−1)，若(λ+b)⊥，则λ=4．已知双曲线a>0,b>0的一条渐近线与直线bx+ay+a=0垂直，则其离心率为()5．若函数y=tanwx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，则w=()6新情境）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为PZ=P0e−αZ，其中P0为初始光功率，α为衰减系数，Z为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器3.5km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为()A．7.5kmB．5.25kmC．3.75kmD．2.05km7．直线l的方程为l:5x+39y+1=0，则圆C:x2+y2−6x=0上到直线l距离为1的点的个数为()8改编题）已知函数=ex−xlnx−对任意x1>x2>0，都满足>lna−1，则正数a的最大值为()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在[10,50的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直A．a=0.03B．B．该场观众年龄众数的估计值为40C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35D．D．该场观众年龄平均数的估计值为3510新考法）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为sn，a1+a2=3，a4+a5=24，则下列说法正C．a7+a8+a9=504D．a111．设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，与x轴交于点BF=4，则下列说法正确的是()A．y1y2=2B．p=4C．D.△AFB与△AFC的面积之比为3:1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式的第4项的系数是.13．已知函数若曲线y=fx有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为元.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示.性别男孩女孩喜欢豪车模型340不喜欢豪车模型300200(1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率；(2)根据α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828在等差数列{an}中，a1+a5=14，a2+a6=20.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn−an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和sn.如图，在正四棱台ABCD一A1B1C1D1中，E为BB1的中点，DD1=(2)平面A1EC1把四棱台ABCD一A1B1C1D1分成两部分，体积分别是V1和V2(V1<V2，求的值；(3)求平面A1EC1与平面EAC夹角的余弦值.1817分）在平面直角坐标系中，已知椭圆b＞0）的左、右顶点分别为A一3,0,B3,0，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若kpA.kpB=一，直线PF与椭圆C的另一个交点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△pAQ面积的最大值；(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数λ,使得k1+λk2=0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.1917分）已知函数fx=(x+1)ex一a.(1)当a=0时，若曲线y=fx在点p处的切线与x轴平行，求点p的坐标；(3)当a>e3时，求证：fx有且只有一个零点x0，且x0<一1+lna.4．【答案】A2026年高考考前最后一卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1热点）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，集合B={2,3,5}，则∁U(A∩B)=()A．{4}B．{2,5}C．{1,3,4}D．{1,2,3,5}1．【答案】C【解析】由题可知A∩B={2,5}，故选：C.2．已知复数Z满足(1+2i)Z=4+3i，则Z=()2．【答案】C【解析】因为1+2i=4+3i，所以Z=故选：C.3．已知向量=1,0，b=2,3，=(1,−1)，若(λ+b)⊥，则λ=3．【答案】C【解析】因为=1,0，b=2,3，=(1,−1)，所以λ+b=λ1,0+2,3=(2+λ,3)，因为(λ+b)⊥故选：C.4．已知双曲线−=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线bx+ay+a=0垂直，则其离心率为()【解析】因为双曲线−=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x，因为直线bx+ay+a=0，整理得y=−x−1，其斜率为k=−,因为两直线垂直，所以×−)=−1，即b2=a2，又因为c2=a2+b2，代入b2=a2，得c2=2a2，所以=2,故离心率e==2.故选：A.5．若函数y=tanwx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，则w=()5．【答案】D【解析】令wx=,k1∈Z，得x=,k1∈Z，所以函数y=tanwx的对称中心为(,0),k1∈Z，又函数y=sinx的对称中心为(k2π,0),k2∈Z，函数y=tanwx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，故选：D.6新情境）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为PZ=P0e−αZ，其中P0为初始光功率，α为衰减系数，Z为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器3.5km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为()A．7.5kmB．5.25kmC．3.75kmD．2.05km6．【答案】B【解析】由题意得P3.5=P0，即P0e−α⋅3.5=P0，化简得e−α⋅3.5=，解得α=，代入得PZ=P0e−Z，当PZ=P0时，得P0e−Z=P0，化简得两边取对数得z=ln−ln4=−ln2，解得z=5.25.故选：B.7．直线l的方程为l:5x+39y+1=0，则圆C:x2+y2−6x=0上到直线l距离为1的点的个数为()7．【答案】D【解析】C:x2+y2−6x=0⇒(x−3)2+y2=9，故圆心为C3,0，半径为3，C(3,0)到l:5x+39y+1=0的距离为又3−2=1，故过点C作CD垂直l与圆C交于点D，在CD上取点M，使得CM=1，过点M作AB⊥CD，交圆C于点A,B，所以圆C:x2+y2−6x=0上到直线l距离为1的点的个数为3，分别为A,B,D.故选：D.8改编题）已知函数=ex−xlnx−对任意x1>x2>0，都满足>lna−1，则正数a的最大值为()8．【答案】B【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),a>0，由条件可得fx1−fx2>(lna−1)(x1−x2)，所以fx1−(lna−1)x1>fx2−(lna−1)x2.设g(x)=f(x)−(lna−1)x=ex−xlnx−(a−1)x2−(lna−1)x，则g(x)在(0,+∞)上单调递增.求导得g′(x)=ex−lnx−(a−1)x−lna=(ex+x)−[ax+ln(ax)]，则g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，所以ex+x≥ax+ln(ax)，即ex+lnex≥ax+ln(ax)恒成立，易知y=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，故只需ex≥ax，即≥a在x>0时恒成立即可.设,x>0，则t′，可知t在上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则t(x)≥t(1)=e，所以a≤e，即a的最大值为e.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在[10,50]的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直A．a=0.03B．该场观众年龄众数的估计值为40C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35D．该场观众年龄平均数的估计值为359．【答案】AC【解析】A选项，由题意得(0.01+0.02+0.04+a)×10=1，解得a=0.03，A正确；B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间30,40]的观众频率最大，故该场观众年龄众数的估计值为=35，B错误；C选项，由于(0.01+0.02)×10=0.3<0.5，(0.01+0.02+0.04)×10=0.7>0.5，故该场观众年龄50%分位数处于30,40中，设为x，则(x−30)×0.04=0.5−0.3，解得x=35，所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确；D选项，该场观众年龄平均数的估计值为故选：AC.10新考法）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a1+a2=3，a4+a5=24，则下列说法正C．a7+a8+a9=504D．a110．【答案】AB【解析】对于A，由题意得=q3=8，则q=2，故A正确；对于B，由a1+a2=3，可得a1+2a1=3，解得a1=1，由等比数列前n项和公式得=2n−1，对于C，由等比数列性质得S3，S6−S3，S9−S6成等比数列，即a7+a8+a9=S9−S6=448，故C错误；故选：AB.11．设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，与x轴交于点C，AF=,BF=4，则下列说法正确的是()A．y1y2=2B．p=4C．AB=17D.△AFB与△AFC的面积之比为3:111．【答案】BCD【解析】由题得AF=y1+=,BF=y2+=4且y2>y1>0，则A在第二象限，B在第一象限，且p<8，联立⇒x2−2pkx−2p=0⇒x1+x2=2pk,x1x2=−2p，所以抛物线E:x2=8y，F(2,0)，,y2=2，所以可得A−2,,B4,2，k=，所以直线x+1与x轴交于点C−4,0，所以12所以S△AFB:S△AFC=1212iAFllABisin∠FAC):12AFACsin∠FAB)=AB:AC=:=3:1.所以A错误，BCD正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。x12．(x2x6的展开式的第4项的系数是.12．【答案】−160【解析】展开式的通项为Tr+1=Cx12−3r,r=0,1,⋯,6，则T4=−23Cx3=−160x3，故展开式的第4项的系数是−160.故答案为：−160.13．已知函数若曲线y=fx有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.13．【答案】(−∞,−4∪0,+∞)【解析】设过坐标原点的切线与y=fx相切于点(t,)，∴f′t)=，∴在点(t,)处的切线方程为2−at−a=0，∵t∈R，且过坐标原点的切线有两条，∴Δ=a2+4a>0，解得：a<−4或a>0，即a的取值范围为(−∞,−4∪0,+∞).故答案为：(−∞,−4∪0,+∞).14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为元.14．【答案】【解析】解法一：当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有2A当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有2A⋅A，则P(X=80)==；当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有2A故所求期望E(X)=50×+80×+100×=.解法二：两个6和两个8四张卡片，共有6种排法，其中相邻卡片上的数字都不相同的排法有2种，相邻卡片上数字只有一对相同的排法有2种，相邻卡片上数字有两对相同的排法有2种，可得P(X=50)=P(X=80)=P(X=100)=，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示.性别男孩女孩喜欢豪车模型340不喜欢豪车模型300200(1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率；(2)根据α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828【解析】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人，故至少有1人是女孩的概率为P=1−（2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关，故不能拒绝零假设，即根据α=0.001的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性.在等差数列{an}中，a1+a5=14，a2+a6=20.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn−an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和sn.【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得td所以an=3n−2.,（2）因为数列{bn一an}是首项为1，公比为2的等比数列，如图，在正四棱台ABCD一A1B1C1D1中，E为BB1的中点，DD1=(2)平面A1EC1把四棱台ABCD一A1B1C1D1分成两部分，体积分别是V1和V2V1<V2，求的值；(3)求平面A1EC1与平面EAC夹角的余弦值.【解析】（1）由题意知四边形ABCD为正方形，则AC丄BD，如图，作出符合题意的图形，（2）利用平面A1EC1把棱台分成三棱锥E一A1B1C1和几何体ABCDEC1D1A1，设DD1=DA=2D1C1=2，由题意得VABCD−A1B1C1D1=1+4+2因为VABCDEA1D1C1=VABCD−A1B1C1D1−VE−A1B1C1=−=>，所以V1=，V2=，故（3）以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1=2，则E(0,,，A2,0,0)，)，设平面A1EC1的法向量为=(x2,y2,Z2)，令Z2=7，则x2=0，y2=，可得=0,,设平面A1EC1与平面EAC的夹角为θ,即平面A1EC1与平面EAC夹角的余弦值为.1817分）在平面直角坐标系中，已知椭圆b＞0）的左、右顶点分别为A—3,0,B3,0，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若kPA.kPB=—，直线PF与椭圆C的另一个交点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△PAQ面积的最大值；(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数λ,使得k1+λk2=0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.1817分）【解析】（1）由椭圆的左右顶点可知a=3，设Px1,y1，则+=1，化简可得y=b21—，则kPA=,kPB=所以b2=5，则椭圆的标准方程为（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为2,0，设直线PF方程为x=my+2，Px1,y1,Qx2,y2，将直线和椭圆方程联立，代入可得(5m2+9)y2+20my−25=0，则y1−y2=y1+y22−4y1⋅y2=，而PQ=x1−x22+y1−y22=1+m2iy1−y2i，代入可得PQ=1+m2×=，根据点A−3,0到直线PF:x=my+2距离公式d==，所以s△APQ=×d×PQ=××=，令t=1+m2≥1则m2=t2−函数ft=5t+在1,+∞)上单调递增，所以t=1即(m=0)时，ftmin=9，此时s△APQ的面积最大，最大值为；（3）假设存在λ使得k1+λk2=0，分别求出k1=,k2=，因为P(x1,y1,Qx2,y2)在直线x=my+2上，所以x1=my1+2,x2=my2+2，化简可得m(1+λ)y1y2+5λy2−y1=0，由（2）知y1+y2=−,y1⋅y2=−,则y1=−−y2，所以可得−+5λy2++y2=0，整理化简可得+5λ+1y2=0，要对任意的m都成立，需系数满足−251+λ)+1917分）已知函数fx