北师大版（2024）八年级下册数学 暑假专题训练：直角三角形（含答案）

北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形一、选择题1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（）A.3米B.6米C.9米D.10米2.有下列说法：①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．其中错误的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（）A.135°B.150°C.120D.110°4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（）A.1.0米B.1.2米C.1.25米D.1.5米5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）A.30mB.40mC.50mD.60m6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（）A.B.5C.5或7D.5或7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（）A.1.5B.1C.0.5D.0.29.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A.20cmB.24cmC.12cmD.14cm11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（）A.3B.4C.D.12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（）A.9B.7C.5D.3二、填空题13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是

．14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为

．15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行

米．16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为

．17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是

；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是

．三、解答题18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC．19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．条件：

，结论：

．（填序号）证明：

．21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．22.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）出发3s后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形（参考答案）一、选择题1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（）A.3米B.6米C.9米D.10米【答案】C【解析】由题意可知，∠ACB＝90°，∵AB＝15米，BC＝12米，∴AC＝（米），故选：C．2.有下列说法：①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．其中错误的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】A【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误；②因勾股数必须都是整数，故②说法错误；③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误．故选：A．3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（）A.135°B.150°C.120D.110°【答案】A【解析】∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，∴∠FAB+∠FBA＝(∠CAB+∠CBA)＝45°，∴∠AFB=180°-45°=135°．故选：A．4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（）A.1.0米B.1.2米C.1.25米D.1.5米【答案】A【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米，∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米），在Rt△ADE中，由勾股定理得到，AD＝＝＝1.0（米），故选：A．5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）A.30mB.40mC.50mD.60m【答案】C【解析】根据题意得：∠APB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，AP＝3×10＝30（m），BP＝4×10＝40（m），∴AB==50(m)，即10s后他们之间的距离为50m．故选：C．6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（）A.B.5C.5或7D.5或【答案】B【解析】∵3,4,a为勾股数，∴当a最大时，此时a＝＝5，当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，故选：B．7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm【答案】C【解析】Rt△ACP中，AP＝AB＝4cm，CP＝3cm；根据勾股定理，得AC＝＝5（cm）；∴AC+BC﹣AB＝2AC﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：C．8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（）A.1.5B.1C.0.5D.0.2【答案】C【解析】∵AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米，∴AC2＝（）2＝5，CH2+AH2＝4+1＝5，∴AC2＝CH2+AH2，∴△ACH是直角三角形，∠AHC＝90°，∴BC＝＝＝2.5（千米），故2.5﹣2＝0.5（千米）．故选：C．9.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm【答案】C【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，∵AB＝12，BC＝18＝9，∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），故选：C．10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A.20cmB.24cmC.12cmD.14cm【答案】B【解析】如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得A'D＝＝12（cm），∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：B．11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（）A.3B.4C.D.【答案】D【解析】过点A作AG⊥BC于点G，∵∠C＝45°，∴∠GAC＝∠C＝45°，∴GA＝GC，∴AC=GA；∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝30°，∵DE＝4，∴AE==2，∴AD=，∴GD=，∴AG=，∴AC=GA，故选：D．12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（）A.9B.7C.5D.3【答案】A【解析】如图，分别以OA，OB，AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，则所有符合条件的三角形个数为9，故选A．二、填空题13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是

．【答案】15【解析】设第三个数为x，∵是一组勾股数，∴①x2+82＝172，解得x＝15，②172+82＝x2，解得x＝（不合题意，舍去），故答案为：15．14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为

．【答案】同旁内角互补，两直线平行15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行

米．【答案】10【解析】如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米），在Rt△AEC中，AC＝＝10（米），故答案为：10．16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为

．【答案】（15，112，113）【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61），第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61），第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113），故答案为（15，112，113）．17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是

；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是

．【答案】（1）2024（2）8190或4536或4563【解析】（1）∵22+22＝8，8≠20，∴2022不是“勾股和数”；∵22+32＝13，13≠20，∴2023不是“勾股和数”；∵22+42＝20，∴2024是“勾股和数”．（2）∵M为“勾股和数”，∴10a+b＝c2+d2，∴0＜c2+d2＜100，∵c+d＝9，∴＝为整数，∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，∴cd为3的倍数．又c≠0，∴①c＝9，d＝0，此时M＝8190；②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．即M的值为8190或4536或4563．故答案为：8190或4536或4563．三、解答题18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC．【答案】证明∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高线的定义），∴∠ADC=90°（垂直的定义），∴∠3+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余），又∵∠2+∠C=90°（已知），∴∠2=∠3（同角的余角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代换），∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行）．19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C；∴△ABC为等腰三角形．20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．条件：

，结论：

．（填序号）证明：

．【答案】解条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F，证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∵EF∥AD，∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC，∴∠AGF=∠F．21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG