【解析卷】专题一：等差数列与等比数列（8考点14考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

第2页，共17页专题一：等差数列与等比数列（解析卷）TOC\u\t"标题2,1,标题3,2,副标题,1"考点1：数列的概念与简单表示法 1考法1：利用数列的通项公式求指定项 1考法2：数列的单调性判断 3考点2：等差数列的判断与证明 3考法3：利用定义证明等差数列 3考点3：等差数列的通项公式与基本量计算 4考法4：已知等差数列两条件求通项 4考法5：等差数列的角标性质应用 6考点4：等差数列前n项和 7考法6：等差数列求和公式的基本量计算 7考法7：等差数列前n项和的最值问题 10考法8：等差数列前n项和与通项的关系 11考点5：等比数列的判断与证明 12考法9：利用定义证明等比数列 12考点6：等比数列的通项公式与基本量计算 13考法10：已知等比数列两条件求通项 13考法11：等比数列的角标性质应用 17考点7：等比数列前n项和 18考法12：等比数列求和公式的基本量计算 18考法13：等比数列前n项和的性质 19考点8：等差与等比的综合运用 20考法14：等差等比综合计算 20注意事项1.本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点.2.练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性.3.解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

12345BBbA证明见解析678910证明见解析C±BCa1112131415证明见解析，aCACCD1617181920BDnn=1A2122232425CABCABACD172627282930ACDb1BDA3132333435BCDAC(43aD3637383940DAA11B414243DAa考点1：数列的概念与简单表示法考法1：利用数列的通项公式求指定项1.（单选）已知数列{an}满足a1= A.14 B.13 C.12 D.11【答案】B【解析】由题意，a1则a2a3【点拨】已知递推公式求数列的项，直接依次代入计算即可，注意角标的对应关系.2.（单选）已知数列{an}通项公式为an=n- A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】若1≤m≤9，则若m≥10，则am=【点拨】分段数列求项数，需分类讨论，将值代入各段通项公式求解，并检验结果是否满足该段的定义域.3.（解答）设{an}是项数为m(m≥3①数列{bn}②{an}③{bn}（1）已知数列{bn}是{an}的“3-等比关联数列”，且a【答案】b【解析】解：（1）由题意，{bn}是{则{bn}的项数为3×(因为{bn}所以b1=所以{bn}是首项为2其通项公式为bn=【点拨】理解新定义数列的性质，根据定义列出有限项，再结合等比数列的通项公式求解.考法2：数列的单调性判断4.（单选）设数列{an}的通项公式为an=n2+ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列{an}为单调递增数列，等价于a即(n+1即k>-2n-1因为-2n-1的最大值（当n=1所以“k>-2”是“k【点拨】判断数列的单调性，常转化为an+1-考点2：等差数列的判断与证明考法3：利用定义证明等差数列5.（解答）已知数列{an}的首项是（1）证明：{a【答案】证明见解析【解析】证明：（1）当n为奇数时，n+由an+1=则an+即an故{an}的奇数项是首项为a1=【点拨】证明奇数项成等差数列，只需证明a2k+6.（解答）已知数列{an}的前n项和为S（3）设cn=1a【答案】证明见解析【解析】证明：（3）由2an=Sn+2，当当n≥2时，2an-1所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以cn=假设{cn}中存在不同的三项c则2cq=c两边同乘2r，得2r因为p<q<r，所以所以左边为偶数，右边为奇数，矛盾…………14分故{cn}【点拨】证明数列中不存在三项成等差数列，常用反证法，假设存在，利用等差中项性质导出矛盾.考点3：等差数列的通项公式与基本量计算考法4：已知等差数列两条件求通项7.（单选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=7 A.20 B.18 C.16 D.15【答案】C【解析】设等差数列{an}由S9=90得9又a4=7则a7【点拨】等差数列求和公式与等差中项的结合应用，灵活运用S2n-8.（单选）已知|an|是公差不为0的等差数列，a1=-2，若 A.-20 B.14 C.16 D.【答案】±【解析】设等差数列{|an|}因为a1=-2则|a4|=|因为a1,a即|a所以(2因为(2+3d所以a6代入得(2展开得4+12d+因为d≠0，解得所以|a所以a3【点拨】利用等差数列的通项公式将条件转化为关于首项和公差的方程，结合等比中项的性质求解.9.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2 A.存在n∈N B.a C.存在n∈N D.Sn的最大值为【答案】BC【解析】由2an+1由S2025=2025因为a1=2025公差d=所以an对于A，令an=2027-2n对于B，an=2027对于C，Sn=na1+n(对于D，Sn=-n2+2026n=-(n-1013)【点拨】根据递推关系判定数列为等差数列，利用求和公式求出公差和通项，再结合二次函数的性质求最值.10.（解答）已知数列{an}中，a1=（1）求{a【答案】a【解析】解：（1）设等差数列{ann由a1=3,所以2d=a33所以ann即{an}的通项公式为【点拨】将新数列看作一个整体，利用等差数列的通项公式求出其公差和通项，再还原出原数列的通项.11.（解答）已知数列{an}满足a（1）求证：{1an【答案】证明见解析，a【解析】解：（1）由an+1=即1an所以数列{1an}是首项为1a所以1an故{an}的通项公式为【点拨】对于形如an+考法5：等差数列的角标性质应用12.（单选）已知等差数列{an}的公差为-3，则 A.3 B.-9 C.-27 D.【答案】C【解析】由等差数列的通项公式性质可知，a11【点拨】熟练掌握等差数列的性质an-13.（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S A.d B.| C.n=7时， D.使Sn>0的【答案】AC【解析】由S15=15又a7a8<-1所以a7>0,a因为a7>-a8，所以因为a7>0,a8<0，所以前S14=7(a7+a8)>0，【点拨】利用等差数列前n项和公式的性质S2n-考点4：等差数列前n项和考法6：等差数列求和公式的基本量计算14.（单选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 A.26 B.28 C.30 D.32【答案】C【解析】在等差数列中，S2,因为S2=6所以S6则S6【点拨】利用等差数列前n项和的性质：Sk,15.（单选）等差数列{an}前n项的和为Sn，已知am A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】由等差数列性质，am-1+am+又S2m若am=0，则若am=23，则(2m【点拨】灵活运用等差中项性质am-1+a16.（单选）等差数列{an}中，a3+a7=12， A.55 B.65 C.110 D.130【答案】B【解析】由等差数列性质得a3+a代入a5⋅a8=公差d=S10【点拨】利用等差数列的性质am+17.（单选）已知等差数列{an}的公差d∈(0,1)，且sin2a3-sin2 A.(-5π8,-9π16) B.[-5π8【答案】D【解析】sin2所以-sin(a3+因为a3-a7=-由sin(-4d)=1得-4d=-π2+2kπ当n=10时，Sn取得最小值，说明aa10a11所以a1【点拨】利用三角恒等变换化简条件求出公差，再根据前n项和取最小值的条件（末项非正，下一项非负）列不等式组求解.18.（填空）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，设Tn为数列{Snn}的前【答案】n【解析】数列{Snn}是等差数列.设其首项为由S6=12,S所以A+5D=解得6D=12⇒所以SnTn【点拨】熟记等差数列前n项和的性质：数列{Sn19.（解答）在等差数列{an}（2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，求S【答案】n=1【解析】解：（2）由a2=首项a所以aSn=令Sn=an整理得n2-解得n=1或n所以Sn=an时n的值为1【点拨】先求出等差数列的基本量，写出通项公式和前n项和公式，再根据等量关系建立关于n的方程求解.考法7：等差数列前n项和的最值问题20.（单选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d<0，S2024⋅ A.1012 B.1013 C.2024 D.2025【答案】A【解析】S2024S2025因为d<0，所以aS2024即(a因为d<0，所以若a1013>0，则a1012所以a1013此时要使乘积小于0，必须a1012因为a1013<0，且a所以a1012>0因此使an>0的n【点拨】利用等差数列前n项和的性质将条件转化为相邻两项的符号关系，结合公差判断正负项的分界点.21.（单选）等差数列{an}(n∈N*)的公差为d，前n项和为Sn，若S A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由S3=3公差d=an令an≥0，得13所以a1,⋯,a当n=6时，S【点拨】求等差数列前n项和的最大值，只需找出所有非负项，令通项an≥22.（多选）已知数列{an}的前n项和Sn A.Sn的最大值为 B.a1 C.数列{S D.数列{a【答案】ABC【解析】对于A，Sn=-(n-92)2+814.当n对于B，ana1=8，a7=-4，a4=2.对于C，Snn=对于D，ann=10【点拨】已知Sn求an利用an=23.（多选）数列{an}的前n项和为Sn A.若an=-2n+13，则数列{ B.若等比数列{an}是递减数列，则公比 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn D.已知{an}【答案】AB【解析】对于A，an=-2n+13，令an>0⇒2n<13⇒n≤6.所以前对于B，若等比数列{an}是递减数列，若a1<0，则q>对于C，S2025=2025对于D，Snn=a1+题目要求选不正确的，故选A B.【点拨】等差数列前n项和的最值可能在相邻两项取得（当某项为0时）；等比数列的单调性与首项的符号和公比的范围均有关.考法8：等差数列前n项和与通项的关系24.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn A.数列{S B.当且仅当n=5时， C.a D.{2【答案】ACD【解析】对于A，Snn=-对于B，Sn=-(n-112)对于C，an=S对于D，2an=2【点拨】利用an=Sn25.（填空）设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,【答案】17【解析】由等差数列的性质，a2根据等差数列前n项和的性质，a5【点拨】等差数列中，anb考点5：等比数列的判断与证明考法9：利用定义证明等比数列26.（多选）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1= A.a B.数列{a C.S D.S【答案】ACD【解析】对于A，a2=S对于B，当n≥2时，an+1=Sn=S对于C，S1=3，S2=a3=2a2=6，Sn=对于D，Sn=an+1.因为an>0，所以Sn=Sn-1【点拨】利用an=Sn-S27.（解答）已知数列{an}满足（1）记bn=a2n+2，求【答案】b1【解析】解：（1）由题意得b1=b2=当n为奇数时，an+1=a所以bn+又2bn所以bn+1bn=2，数列{【点拨】对于分奇偶给出的递推公式，构造新数列时要注意角标的奇偶性，分别代入对应的递推式进行推导.考点6：等比数列的通项公式与基本量计算考法10：已知等比数列两条件求通项28.（单选）已知数列{an}满足a1= A.64 B.128 C.256 D.512【答案】B【解析】由anan两式相除得an所以奇数项和偶数项分别构成公比为2的等比数列.由a1=2a16是偶数项，a【点拨】通过递推式的比值发现数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，是处理此类乘积型递推式的常用技巧.29.（单选）某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%，合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月（n∈N*，且n≤12）生产合格品首次突破5000 A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】第n个月的产量为1000×(第n个月的合格率为80%+(合格品数量为1000×令10×1.2n代入选项检验：若n=10，若n=11，所以n=【点拨】根据题意列出不等式，结合参考数据，采用代入验证法求解最为快捷.30.（单选）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4 A.3 B.5 C.-3 D.【答案】A【解析】设公比为q，则a2q2=4aS4【点拨】将条件转化为关于公比的方程求出公比，再代入求和公式化简求值.31.（多选）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a2尺，⋯，第五天截取剩下的一半后剩下a5尺，则下列说法正确的是 A.a5a2=14 B.a3=【答案】BCD【解析】第一天剩下a1=12.第二天剩下对于A，a5a2对于B，a3=1对于C，a3-a对于D，a1+a2【点拨】根据题意写出数列的通项公式，再逐一验证各选项即可.32.（多选）已知等比数列{an}，a1=2 A.数列{1 B.数列{1an} C.数列{log D.数列{log2an【答案】AC【解析】由题意，an对于A，1an=对于B，{1an}的前n项和为对于C，log2an对于D，前10项和为10×1+10【点拨】等比数列的倒数仍为等比数列，等比数列取对数后构成等差数列，这是数列的基本性质.33.（填空）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为＿＿＿＿＿＿；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为＿＿＿＿＿＿.【答案】(43【解析】周长：每次迭代，每条边变成4条边，每条边长度变为原来的1/3.所以周长变为原来的第1个图形周长L1=1.第n面积：第1个图形面积S1第n个图形比第n-1个图形多出3×所以增加的面积为3×S=1【点拨】分形几何问题，关键是找出每次迭代后周长和面积的递推关系，利用等比数列求和公式求解.34.（解答）已知数列{an}满足a1=（2）求{a【答案】a【解析】解：（2）由an+1=3a即bn+1=又b1+所以数列{bn+1}所以bn+1=所以an=【点拨】对于an+1=pa考法11：等比数列的角标性质应用35.（单选）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1 A.39 B.156 C.395 D.【答案】D【解析】由等比数列性质，a3又a5所以a1S4【点拨】利用等比数列的通项公式将条件转化为关于首项和公比的方程，求出公比后代入求和公式.36.（单选）已知递增等比数列{an}，若a3+ A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】由等比数列性质，a3a3又a3所以a3,a5是方程x2因为数列递增，所以a3公比q2=aa7【点拨】利用等比中项性质求出中间项，再结合韦达定理求出其余两项，根据单调性确定公比.考点7：等比数列前n项和考法12：等比数列求和公式的基本量计算37.（单选）已知数列{an}满足a1=1,a2=3, A.5051 B.150 C.50101【答案】A【解析】由an+2令cn=an+所以cnan所以2abn前50项和为(1【点拨】先利用累加法求出数列{an}的通项，再利用裂项相消法求数列{b38.（单选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S10 A.12 B.2 C.±12【答案】A【解析】由等比数列求和公式的性质，S10所以q5【点拨】熟练运用等