2027届高考数学一轮复习8.4圆与圆的位置关系圆的综合应用（课件）

第四讲圆与圆的位置关系圆的综合应用知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点圆与圆的位置关系方法位置

关系

几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况公切线条数外离_____________________4外切_____________一组实数解3相交___________________两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)______________1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)________0d>r1＋r2无解

d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2一组实数解无解归

纳

拓

展1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(

)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(

)(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√题组二走进教材2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.3．(选择性必修1P98T10)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1,2)的圆的方程为____________.题组三走向考场5．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(

)[答案]

C考点突破·互动探究圆与圆的位置关系——自主练透1．(2026·四川绵阳模拟)已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(

)A．外离

B．外切

C．相交

D．内切[答案]

C2．(多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，下列说法正确的是(

)A．两圆有两条公切线B．两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2[答案]

ACD3．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________.[引申]本例2中两圆的公共弦长为________.名师点拨：如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交(内切、外切)，则两圆公共弦(外公切线、内公切线)所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．公共弦长问题在一个圆中求解．【变式训练】(多选题)(2024·广东六校联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是(

)A．圆O与圆C相交C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°[答案]

AC弦长、弦的中点问题——多维探究角度1弦长问题[答案]

B[答案]

D[答案]

D名师点拨：弦长的求法注：①过圆C内定点P的弦中，以P为中点的弦最短；最长的弦是直径．②遇弦的中点，注意垂直关系的应用．【变式训练】[答案]

D与圆有关的轨迹问题——师生共研1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(

)[答案]

A2．已知点P(4,0)，A，B是圆x2＋y2＝36上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为____________.[答案]

x2＋y2＝56名师点拨：求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【变式训练】[答案]

x2＋y2－6x＋1＝02.如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则AC的中点P的轨迹方程为____________；△ABC的垂心H的轨迹方程为____________.[答案]

x2＋(y－1)2＝1(x≠0)

x2＋(y－2)2＝4(x≠0)[解析]

由P为AC的中点知OP⊥AC，∴点P的轨迹是以OA为直径的圆(去掉A，O两点)，其方程为x2＋(y－1)2＝1(x≠0)．圆的综合应用——师生共研【变式训练】(2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切．(1)求圆C的标准方程；(2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．[解析]

(1)由题意，设圆心为C(a,0)(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r＝a，又圆C与直线3x＋4y－8＝0相切，名师讲坛·素养提升“隐形圆”问题[答案]

A2．(2024·云南联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若直线l：y＝kx＋3上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k的取值范围为(

)[答案]

B3．(2026·江苏南京外国语学校调研)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是(

)[答案]

B名师点拨：有些题中没有明确给出圆，而是隐藏在题设中，可通过分析、转化发现圆——隐形圆，从而利用圆的性质求解，以简化运算，常见的“隐形圆”类型：(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆；(4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐形圆；(5)两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆．【变式训练】(2026·江苏盐城调研)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是(

)A．[4,6] B．(4,6)C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)[答案]

A提能训练练案[50]A组基础巩固一、单选题A．内切

B．外离

C．外切

D．内含[答案]

A2．(2025·北京师大附中开学考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则常数m＝(

)[答案]

C[答案]

B4．(2026·安徽六校教育研究会联考)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为(

)[答案]

D5．(2026·广西示范性贵州期中联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(

)A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0B．圆C1与圆C2有两条公切线C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2[答案]

C6．(2024·福建龙岩适应性考试)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6,0)，B(0,8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为(

)A．(0,5] B．[5,15]C．[10,15] D．[15，＋∞)[答案]

B7．(2026·山西长治质检)从点P(m,2－m)向圆Q：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为(

)[答案]

C[答案]

C[解析]

动弦AB中点的轨迹方程为O：x2＋(y－m)2＝1，又由题意知圆O与圆O2有公共点，∴2≤|OO2|≤4，即2≤|m|≤4，∴2≤m≤4或－4≤m≤－2.故选C．二、多选题9．(2026·江苏部分学校入学考试)已知直线l：(m＋n)x＋(m－n)y－2m＝0(mn≠0)．圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，下列说法不正确的是(

)A．l过定点(1，－1)B．l与C一定相交C．若l平分C的周长，则m＝1D．l被C截得的最短弦的长度为4[答案]

ACD10．(2026·江苏盐城学情调研)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(

)[答案]

BD11．(2025·贵州贵阳七校联考)已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(

)A．直线l恒过某一定点

B．k＝1时，|AB|最大

D．当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点[答案]

ACD12．(2026·江苏南京六校联合体调研)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，以下四个命题表述正确的是(

)A．若圆C1：x2＋y2－10x－8y＋m＝0与圆C恰有3条公切线，则m＝16B．圆C2：x2＋y2＋2y＝0与圆C的公共弦所在直线为2x＋y＝0C．直线l：(2m＋1)x＋(3m＋2)y－5m－3＝0与圆C恒有两个公共点D．点P为y轴上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，若定点N(5,3)，则|MN|的最大值为6[答案]

BCD14．(2026·江西赣抚吉十二校联考)直线ax－4y＋12＝0与圆x2＋y2＝16相交于A，B两点，且∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则a＝________.四、解答题[解析]

解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．

⑤∴D－3E＝0. ⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B组能力提升

1．(2026·河北石家庄质检)若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为(

)[答案]

AA．相离

B．外切

C．相交

D．内切[答案]

C3．(2026·河南焦作期中)已知点A(－3,0)，B(3,0)，若在直线l上有唯一点P满足PA⊥PB，且有唯一点Q满足|QA|＝2|QB|，则符合条件的l有(

)A．4