角平分线知识点+经典例题

在平面几何的学习中，角平分线是一个基础而重要的概念。它不仅自身具有独特的性质，还是解决许多几何问题的关键桥梁，常与三角形、四边形等图形的性质结合考查。掌握角平分线的知识点，能够有效提升我们分析和解决几何问题的能力。一、角平分线知识点梳理（一）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。几何语言表示：如图1，若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。（注：此处“如图1”为行文习惯，实际撰写时若有配图则对应，无配图可省略或用文字描述图形关系）（二）角平分线的性质定理定理内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。几何语言表示：如图2，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。理解与延伸：这个定理揭示了角平分线上点的重要特性——“距离相等”。这里的“距离”指的是点到直线的垂线段的长度。该性质常用于证明两条线段相等，或在已知角平分线的条件下，构造相等线段以辅助解题。（三）角平分线的判定定理定理内容：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。几何语言表示：如图2，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或射线OP是∠AOB的平分线）。理解与延伸：此定理是角平分线性质定理的逆定理，它为我们提供了判断一个点是否在角平分线上的方法，进而可以用来证明某条射线是角平分线。在应用时，需注意“点在角的内部”这一前提条件（通常题目图形会隐含此条件）。（四）三角形的角平分线（补充延伸）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，即内切圆的圆心。二、经典例题解析例题1：直接应用角平分线性质定理题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且AB=8，AC=6，△ABC的面积是21，求DE的长。分析：题目中明确给出AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，这是角平分线性质定理的典型应用场景。根据性质定理，我们可以直接得出DE=DF。然后，△ABC的面积可以看作是△ABD和△ACD的面积之和，利用三角形面积公式即可建立关于DE（或DF）的方程，从而求解。详解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。设DE=DF=x。∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，而S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×8×x=4x，S△ACD=1/2×AC×DF=1/2×6×x=3x，∴4x+3x=21，即7x=21，解得x=3。故DE的长为3。点评：本题直接考查角平分线性质定理的应用，关键在于利用角平分线得到两条垂线段相等，再结合面积法列方程求解。面积法是几何中一种重要的解题方法，尤其在涉及垂线段长度时，常能化难为易。例题2：应用角平分线判定定理题目：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。分析：要证AM平分∠DAB，根据角平分线的判定定理，只需证明点M到∠DAB两边的距离相等即可。已知∠B=∠C=90°，即AB⊥BC，DC⊥BC。M是BC中点，DM平分∠ADC，我们可以过点M作AD的垂线，利用角平分线性质得到该垂线段与MC（或MB）相等，进而证明它与MB（或MC）相等，从而得出结论。详解：过点M作ME⊥AD于点E。∵DM平分∠ADC，∠C=90°（即MC⊥DC），ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。∵M是BC的中点，∴MB=MC。∴ME=MB。∵∠B=90°（即MB⊥AB），ME⊥AD，∴点M在∠DAB的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。故AM平分∠DAB。点评：本题考查角平分线判定定理的应用。解题的关键在于根据已知条件和待证结论，巧妙地作出辅助线（过角平分线上的点向角的两边作垂线），构造出判定定理所需的“距离相等”的条件。辅助线的添加是解决几何问题的常用技巧，需要结合定理特点灵活运用。例题3：角平分线与三角形内角和综合应用题目：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠A=60°，求∠BOC的度数。分析：已知△ABC的两个内角平分线交于点O（即O为△ABC的内心），要求∠BOC的度数。我们可以利用三角形内角和定理以及角平分线的定义，用∠A表示出∠BOC。详解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和定理）。∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°。∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB（角平分线定义）。∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×120°=60°。在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°（三角形内角和定理），∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°。点评：本题综合考查了角平分线的定义和三角形内角和定理。通过整体代换的思想，将∠ABC与∠ACB的和看作一个整体进行计算，使解题过程简洁明了。对于此类与三角形角平分线相关的角度计算问题，通常可以表示出两个分角的和，再利用三角形内角和求出第三个角。结语角平分线的知识点虽然基础，但在复杂的几何证明和计算中扮演着不可或缺的