2026年广东省、江西省上进联考高三5月高考大练兵数学试题及答案

绝密★启用前注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(3,1),b=(2,k),且a丄b,则k=6.已知偶函数f(x)满足当x>0时,f(x)=x+sin(x—1),则f(x)的图象在x=—1处的切线方程为A.2x+y+3=0B.2x—y+1=0C.2xy1=0D.2x+y+1=07.若球O1与球O2的体积之比为2a,表面积之比为a,且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O1的表面上,则球O2的表面积为8.已知面积为4的正方形ABCD的顶点都在双曲线E:—=1(a>0,b>0)上,点P是E上与点A,B,C,D都不重合的动点.记PA,PB,PC,PD的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若E的虚轴长的取值范围二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.12i,12i,2.若集合A={2,a,a2},B={2,4},且B≤A,则a的值为A.4B.2或43.函数f(x)=2sinxisinxi的值域为4.已知等比数列{an}的公比为q,且a2a3=a4,a1+a2=4,则q=5.某乡村合作社优化农产品种植结构,持续扩大蔬菜种植面积,统计该合作社近5年的蔬菜种植面积x(单位:亩)依次为8,10,13,16,20,且这5年的总利润为142.5万元,由这5年的数据求得年利润y(单位:万元)与x满足线性回归方程=2.5x+,则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为A.60万元B.z在复平面内对应的点位于第二象限 +(y2)2=4与曲线C2:x+ayy3=0,则A.C1,C2恒有公共点B.当a∈(0,1)时,C1,C2恰有2个公共点D.当a=3时,直线x=t与C2有3个公共点的充要条件是直线x=t与圆C1相交高三数学第1页(共4页)高三数学第2页(共4页)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2x-\)6展开式中的第5项的系数为.13.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,若点P为C在第一象限内的一点,且PF=6,则直线PF的斜率为.14.已知数列{an}中,an为正整数,且an+1-an=n,a1=3,an<12,则当a5的值最大时,满足四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知cosC=,且=2cosA.(1)求sinB;(2)若点D为BC的中点,且b=2,求AD.16.(15分)已知函数(1)讨论f(x)的单调性;若当x>0时,lnx<ax,求a的取值范围.17.(15分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2\,三棱锥C1-ABC是正三棱锥.(1)证明:平面BC1D丄平面ACC1A1;(2)求直线CA1与平面ABC1所成角的正弦值.11DAB18.(17分)某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验,根据以往数据可知,单次发射成功的概率为失败的概率为发射结果相互独立,计划发射多次.(1)若某次发射失败,则整个试验终止;若发射成功,则继续发射且至多发射4次.记发射的次数为X,求X的分布列与期望;(2)若在一次发射中发射失败,能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为即修复后,系统恢复到正常发射状态),修复失败的概率为考虑一个简化的连续发射模型,从第1次发射开始.若发射成功,则继续进行下一次发射;若发射失败但成功修复,则继续进行下一次发射;若发射失败且修复失败,则试验终止;此外,若连续2次发射失败,试验也终止.(i)求至少发射3次的概率;(ii)定义Pn为第n次发射成功的概率,是否存在实数t使得数列{Pn+1-tPn}为等比数列?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.19.(17分)已知点A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,A1A2=4且C的离心率(1)求C的方程;(2)若点P是C上与A1,A2不重合的点,直线A1P,A2P与直线x=4分别交于点G,H,求GH的最小值;(3)若不过点A1且斜率为的直线与C交于M,N两点,证明:△A1MN的外心恒在定直线上.A1A1高三数学第3页(共4页)高三数学第4页(共4页)数学参考答案【解析】因为a丄b,所以a.b=3×(-2)-1.k=0,所以k=-6.故选B.【解析】当a=4时A={2,4,16},满足B≤A;当a2=4时,因为a≠2,所以a=-2,此时A={-2,2,4},满足B≤A.故选C.[-,0,所以f(x)的值域为[-,.故选D.a34得a1=a1q3,因为a1≠0,q≠0,所以a1=1,a2=4-a1=3,q==3.故选A.【解析】由已知得x==13.4,y==28.5,因为点(x,y)在回归直线上,所以28.5=2.13.4+,=-5,所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为2.5×30-5=70万元.故选C.【解析】当x>0时f(x)=x+sin(x-1),fI(x)=1+cos(x-1),因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),当x≠0时两边求导得fI(-x)=-fI(x),所以f(-1)=f(1)=1,fI(-1)=-fI(1)=-2,所以f(x)的图象在x=-1处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.故选D.【解析】设球O1与球O2的半径分别为r1,r2,则=2a,=a,所以=2.因为棱长为1的正方体的所有顶点都2在球O1的表面上,所以r1=,r2=,所以球O2的表面积为4πr=.故选B.【解析】因为面积为4的正方形ABCD的顶点都在双曲线E上,由对称性,不妨令A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1), 2,a22,2m-1,2m-1,3a2,4449.【答案】BC(每选对1个得3分)【解析】对于A,izi=-=\=\,故A错误;对于B,z=-==-2+i,z在复平面内对应的点为(-2,1),位于第二象限,故B正确;对于C,z—=-2-i,故C正确;对于D,z+2=i,(z+2)7=i7=-i,故D错误.故选BC.GD.高三数学第1页(共6页)A正确;由<2,故B错误;由sin<0,故C正确;由=log210>3,故D正确.故选ACD.11.【答案】ABD(每选对1个得【解析】点(0,0)是圆x2+(y-2)2=4与曲线x+ay-y3=0的公共点,故A正确;对于B,当y≠0时,把x=y3-ay代入x2+(y-2)2=4,得y6-2ay4+(a2+1)y2-4y=0,因为y≠0,所以y5-2ay3+(a2+1)y-4=0,对于满足该方程的每一个y,代入x=y3-ay求得的x只有1个.设f(y)=y5-2ay3+(a2+1)y-4,则0不是f(y)的零点,f/(y)=5y4-6ay2+a2+1,当0<a<1时,(-6a)2-4×5(a2+1)=16a2-20<0,f/(y)>0,f(y)单调递增,且f(0)=-4<0,f(2)=30-16a+2a2>0,f(y)有1个零点,C1,C2共有2个公共点,故B正确;对于C,当a=时,f/=5y4-9y2+ 在区间0上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,且=-4+\<0,所以<0,又>0,所以在区间(0,+∞)上有唯一零点,故C错误;对于D,直线x=t与C1相交的充要条件是-2<t<2,设g(y)=y3-3y,则g/(y)=3(y2-1),g(y)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且g(-1)=2,g(1)=-2,所以直线x=t与曲线C2有3个公共点的充要条件是-2<t<2,故D正确.故选ABD.展开式中的第5项的系数为4=240. 【解析】由已知得F(2,0),设P(m,n)(m>0,n>0),则PF=m+2=6,m=4,n=4\所以直线PF的斜率为 【解析】由题意得a1,a2,a3,a4,a5的可能取值如图所示.由图可知a5最大为11,由a6-11=5,则a6=6或16,因为16>12,所以a6=6,所以an=3+2+4+7+11+6=33,当k=2mii=m=33,k=66,当k=2m-1.i=-1+=-m<0,满足条件的k不存在,所以k=66.a1a2a3a4a5a1243393946GD.高三数学第2页(共6页)15.解:(1)由余弦定理得=2cosA=整理得a=C,(3分)所以A=C,(4分)C3,(2)由(1)知A=C,所以b=2cosA=2cosC=C3,因为b=2,所以C=a=3,(9分)在△ACD中由余弦定理得16.解:因为+x,所以f,设g(x)=ex+1x,则g,(x)=ex1,(2分)所以g(x)≥g(0)=2>0,即f(x)=ex>0,(5分)所以f(x)在R即f(lnx)<f(ax),(8分)因为f(x)在R上单调递增,所以lnx<ax,即a>,(9分)所以GD●高三数学第3页(共6页)17.(1)证明:由已知可知四边形ABCD是菱形,所以AC丄BD,(1分)设AC∩BD=E,则E为AC的中点,连接C1E,因为三棱锥C1-ABC是正三棱锥,C1A=CC1,(2分)所以C1E丄AC,(3分)因为BD∩C1E=E,所以AC丄平面BC1D,(4分)因为ACC平面ACC1A1,所以平面BC1D丄平面ACC1A1.(6分)DEOADEOA1CBxABxAy (2)解:由已知可得三棱锥C1-ABC是所有棱长均为2\3的正三棱锥,过点C1作C1O丄BD于点O,则OC1丄平面ABCD,且OC1=2\2,OB=2,OE=1,(7分)以O为原点,在平面ABC内过点O与OB垂直的直线为x轴,直线OB,OC1分别为y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,(8分)则A(\,-1,0),B(0,2,0),C(-\,-1,0),C1(0,0,2\),(9分)所以A\,3,0),A1=(-\,1,2\),=(2\,0,0),1=(\,1,2\),(10分)→→→所以CA1=CC1+CA=(3\3,1,→→→→,即--(12分)→取x=2\3,则y=2,z=\2,得n=(2\3,2,\2),(13分)设直线CA1与平面ABC1所成的角为θ,所以直线CA1与平面ABC1所成角的正弦值为.(15分)18.解:(1)由题知,X的所有可能取值分别为1,2,3,4,(1分)i-1×(i=1,2,3),(2分)=,(3分)(4分)所以(4分)X1234P 3 9 E(X)=1×+2×+3×+4×=.(5分)GD●高三数学第4页(共6页)(2)(i)记第i次发射成功为事件Ai,第i次发射失败后修复成功为事件Bi,则P(Ai)=,P(Ai)=,P(Bi)=,(6分)记至少发射3次为事件C,则C=A1A2+A1A2B2+A1B1A2,(7分)所以P(C)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)(8分)(ii)第n+2次发射成功有2种情形:第n+1次、第n+2次发射成功,或第n次发射成功,第n+1次发射失败且发射失败后修复成功,第n+2次发射成功,(11分)所以Pn+2=Pn+1.+Pn.××=Pn+1+Pn,(13分)设Pn+2-tPn+1=s(Pn+1-tPn),则Pn+2=(s+t)Pn+1-stPn,(14分)所以{解得{或{(15分)l6,ls=6,ls=6,l6,ls=6,ls=6,因为P1=,P2=×+××=,所以t=时P2-tP1≠0,{Pn+1-tPn}是等比数列,(16分)所以t=.(17分)19.(1)解:因为A1A2=2a=4,所以a=2,(1分)因为C的离心率为1所以\a2-b2=\4-b2=1解得b2所以C的方程为+=1.(4分)(2)解:设直线A1P的方程为y=k(x+2),令x=4,得G(4,6k),(5分)设点P(xP,yP),其中xP≠±2,则yP=3-4,(6分) k,所以kAP=k,所以直线A2P的方程为y=-(x-2),所以H4,-,(8分)GH=6k-(-=6k+≥2\i6k.=6,(9分)当且仅当k=