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文档简介

第六节

极限的运算法则本节学习目标01熟练掌握极限的基本运算法则极限的基本运算法则法则1如果极限limu与limv都存在,则极限lim(u±v)=limu±limv法则2如果极限limu与limv都存在,则极限limuv=limulimv法则3如果极限limu与limv都存在,且极限limv≠0,则极限

3法则4如果极限limu(x)存在,且函数值f(limu(x))有意义,则极限limf(u(x))=f(limu(x))法则5如果函数f(x)是定义域为D的初等函数,且有限点x0∈D,则极限

4极限的基本运算法则推论1如果有限个变量u1,u2,…,um的极限都存在,则极限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推论2如果有限个变量u1,u2,…,um的极限都存在,则极限limu1u2…um=limu1limu2…limum推论3如果极限limv存在,k为常数,则极限limkv=klimv5例1

=lg(2+0)=lg26本来在一般情况下,函数在属于定义域的有限点处的极限值与它在该点处的函数值没有必然联系,但法则5说明:

初等函数在属于定义域的有限点处的极限值却等于它在该点处的函数值,因此法则5解决了初等函数的基本极限计算

7

定义1.13若仅已知变量各部分的极限,不足以确定这个变量的极限,还必须进一步知道各部分的表达式,才能确定变量极限,则称这样的极限为未定式极限.

2.三种比较简单的未定式极限第一种基本情况

例1求极限

例2求极限

解法:分子P(x)、分母Q(x)同除以它们中x的最高次幂,并应用§1.3极限基本运算法则3与§1.4定理1.6及其推论.

例3填空题极限

例4填空题已知极限

存在,则常数k=___________

解:注意到当x→3时,分母x-3的极限为零.在这种情况下,若分子的极限不为零,根据§1.4定理1.6的推论,则分式的极限为∞,即分式的极限不存在;现在既然已知分式的极限存在,则分子的极限必然为零

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